平均值定理的運用

1、一、什么叫做平均值定理?定理1:若白，隊R則疽+護(hù)至泌,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號。J R+,則江* 2氣膈.定理2：若當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號。定理3：若a、b、ce&*，則投+妒仃23成當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取等號。奴 hr C E氏七 則 一-_- 動思U.定理4：若當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取等號。利用以上定理可推廣得如下極值定理：定理5：若冷件 礦且，=其定值），那么當(dāng)x=y時，xy有最大值，且等于定理6：若志即因七且廠尸紈定值），那么當(dāng)x=y時，x+y有最小值，且等于2抒定理7：若x、y、zR+，且x+y+z=p（定值）。那么當(dāng)x=y=z時，xyz有最大值，且等于刀定理8：若志八*礦且十嚴(yán)=尸癥

2、值）.那么當(dāng)x=y=z時，x+y+z有最小值，且等于3據(jù)以上定理的證明詳見高二代數(shù)課本P8-Pio.二、你知道下面的題解錯誤在哪里?0,求函數(shù)的最小值.已知：解：T 十芝=，-32-=2. AXX X X A=十求函數(shù) 石不的最小值.解： 抨十4仙十4 TOC o 1-5 h z | 2十 4 , 1= 2V J+4已知日頃，且=1.求攔的最小值解：.化 0,. +- 2(1)a:b + | 2(a+ + (- + -) 4由(1) +得，皿為1 + 1 4-1 = 3 a b已知：口頊求函數(shù)ys-F的最大值.尸=4汗一 / =&(2 + Q(2 &) =-a(2+x)(4-2a) 解：& 1

3、.工+(2 + # + (4-況=4再=4三、上面各題的錯誤分析及正確解法如下:錯誤分析：當(dāng)且僅當(dāng)三正數(shù)*五都相等時，等號成立。但這三數(shù)是不可能全相等的，故等號不成立。圣工亞正確解法：MX Z.2T 丫 dZ dX S當(dāng)且僅當(dāng)土，即說時，等號成立.十 4 = j 1，即 J = -3 時，錯誤分析：當(dāng)且僅當(dāng)放 X等號成立，顯然此方程無 解，Tmin 正確解法：y=,腭。,+ 時擰十4是遞增函數(shù)，當(dāng)工=0時，四=|.1 ? 1a = ; =,錯誤分析：當(dāng)且僅當(dāng) 即a=1，b=1時，等式成立，這與已知條件一 一一1 - ULU-La+b=1相矛盾，以正確解法：. 十.=1.口 =冬+嘗=2十（攵十

4、與a b a b a ba = b =當(dāng)且僅當(dāng)2時，等號成立.錯誤分析：當(dāng)且僅當(dāng)mzu 這三正數(shù)都相等時，等號成立，但這是不 可能的四正確解法：。=沖“口頂=而-仃.。，鬼8 0, tgC 0.A=B = C =-當(dāng)且僅當(dāng)3時，等號成立.I 皿能（。，5 尸=A + 2-2例2.已知2求 *活m皿。汕Q的最小值.sec解：sec3 +4csc2 成上5十2 JfgW m 牝冒 # = 9當(dāng)且僅當(dāng)湖24=1客尸是卵0口解:= |sm必 gin”歹 2cos2 ff1 .sin 3 sin3 2 cos3 今84. 一 27 27當(dāng)且僅當(dāng)SillV279五、高考中的應(yīng)用題常常須用平均值定理求解。（

5、97年、全國、22題）.甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地， 速度不得超過c千米/時，已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部 分和固定部分組成，可變部分與速度v千米/時的平方成正比，且比例系數(shù)為b， 固定部分為a元。（1）把全程運輸成本y （元）表示為速度，（千米/時）的函數(shù)，并指出這個函 數(shù)的定義域。（2）為了使全程運輸成本最小，汽車應(yīng)以多大的速度行駛？解：（1）依題意知汽車從甲地勻速行駛到乙地所用時間為板全程運輸成本為y =淫十即苴=（竺十既）. h u V v ，故所求函數(shù)及其定義域為y = S（ + 折）,ve （0, c右七乂時，當(dāng)時，有S（蘭g）十（趴;淀） V

6、 c （c- -cv）.VC c - v 0,且d!*己故有十她 5（蘭十況）且僅當(dāng) = c。時，等號成立，也即當(dāng)V*時，全程運輸成本y最小。氣倔綜上可知，為使全程運輸成本y最小，當(dāng) C時， 八耳當(dāng)互對時，行駛速度應(yīng)為也 出行駛速度應(yīng)為皆=.（98年，全國、22題）如圖：為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為 2米的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出。設(shè)箱體的長 度為a米，高度為b米，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a、b的乘積ab 成反比，現(xiàn)有制箱材料60平方米，問a、b各為多少米時，經(jīng)沉淀后流出的水中 該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小。（A、B孔的面積忽略不計）。 TOC o 1-

7、5 h z 解法1設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，則為翳y =二,其中任0,、P品為比例系數(shù)，比/依題意，即所求a、b值使y值最小。根據(jù)題意，有45十2泌十2企=佃（a0，b0）64（-10舍去）時，于是以十2當(dāng) 口十2取等號。這時y達(dá)到最小值，把a(bǔ)=6代入（1）得b=3.故當(dāng)a=6米，b=3米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì) 的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小。解法2依題意，即所求的a、b值使ab最大.由題設(shè)知4小溢+必=網(wǎng)S。, SO）,即 + 必 +感=30 b 0）a +2 22ah.242-Jab +破? 土 30.當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時，上式取等號。由謹(jǐn)對,E,解得。 0, b 0,且皿 +也=1.盧=（一1）（4一1）,4.設(shè)/ 尸則（）A. F的最小值是8最小值