基于MATLAB的倒立擺系統(tǒng)控制系統(tǒng)設計與仿真【畢業(yè)作品】

1、1緒論11倒立擺系統(tǒng)簡介倒立擺系統(tǒng)是一種很常見的又和人們的生活密切相關的系統(tǒng)，它深刻揭示了自然界一種基本規(guī)律，即自然不穩(wěn)定的被控對象，通過控制手段可使之具有良好的穩(wěn)定性。倒立擺系統(tǒng)是一個非線性，強耦合，多變量和自然不穩(wěn)定的系統(tǒng)。它是由沿導軌運動的小車和通過轉軸固定在小車上的擺桿組成的。在導軌一端裝有用來測量小車位移的電位計，擺體與小車之間由軸承連接，并在連接處安置電位器用來測量擺的角度。小車可沿一筆直的有界軌道向左或向右運動,同時擺可在垂直平面內自由運動。直流電機通過傳送帶拖動小車的運動，從而使倒立擺穩(wěn)定豎立在垂直位置。圖1.1一級倒立擺裝置簡圖由圖1.1中可以看到，倒立擺裝置由沿導軌運動的小

2、車和通過轉軸固定在小車上的擺體組成。導軌的一端固定有位置傳感器，通過與之共軸的輪盤轉動可以測量出沿導軌由圖中可以看到,倒立擺裝置由沿導軌運動的小車和通過轉軸固定在小車上的擺運動的小車位移；小車通過軸承連接擺體，并在小車與擺體的連接處固定有共軸角度傳感器，用以測量擺體的角度信號；并通過微分電路得到相應的速度和角速度信號；導軌的另一端固定有直流永磁力矩電機，直流電機通過傳送帶驅動小車沿導軌運動，在小車沿導軌左右運動的過程中將力傳送到擺桿以實現(xiàn)整個系統(tǒng)的平衡。倒立擺的種類很多，有懸掛式倒立擺、平行式倒立擺、和球平衡式倒立擺；倒立擺的級數(shù)可以是一級，二級，乃至更多級?？刂品椒ㄒ彩嵌喾N，可以通過模糊控制

3、，智能控制，PID控制，LQR控制等來實現(xiàn)倒立擺的動態(tài)平衡，本文介紹的是狀態(tài)反饋極點配置方法來實現(xiàn)一級倒立擺的控制。1.2倒立擺的控制規(guī)律當前，倒立擺的控制規(guī)律可總結如下:狀態(tài)反饋H控制1，通過對倒立擺物理模型的分析，建立倒立擺的動力學模型，然后使用狀態(tài)空間理論推導出狀態(tài)方程和輸出方程，應用狀態(tài)反饋和Kalnian濾波相結合的方法，實現(xiàn)對倒立擺的控制。利用云模型2-3實現(xiàn)對倒立擺的控制，用云模型構成語言值，用語言值構成規(guī)則，形成一種定性的推理機制。這種擬人控制不要求給出被控對象精確的數(shù)學模型，僅僅依據(jù)人的經驗、感受和邏輯判斷，將人用自然語言表達的控制經驗，通過語言原子和云模型轉換到語言控制規(guī)則

4、器中，就能解決非線性問題和不確定性問題。神經網(wǎng)絡控制，已經得到證明，神經網(wǎng)繳(NeuralNetworkNN)能夠任意充分地逼近復雜的非線性關系，NN能夠學習與適應嚴重不確定性系統(tǒng)的動態(tài)特性，所有定量或定性的信息都等勢分布貯存于網(wǎng)絡內的各種神經元，故有很強的魯棒性和容錯性;也可將Q學習算法和BP神經網(wǎng)絡有效結合，實現(xiàn)狀態(tài)未離散化的倒立擺的無模型學習控制。遺傳算法(GeneticAlgorithms,GA),高曉智a在Michine的倒立擺控制Boxes方案的基礎上，利用GA對每個BOX中的控制作用進行了尋優(yōu)，結果表明GA可以有效地解決倒立擺的平衡問題。自適應控制，主要是為倒立擺設計出自適應控制

5、器。模糊控制，主要是確定模糊規(guī)則，設計出模糊控制器實現(xiàn)對倒立擺的控制。使用幾種智能控制算法相結合實現(xiàn)倒立擺控制，比如模糊自適應控制，分散魯棒自適應控制等等。采用遺傳算法與神經網(wǎng)絡相結合的方法，首先建立倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型，然后為其設計出神經網(wǎng)絡控制器，再利用改進的遺傳算法訓練神經網(wǎng)絡的權值，從而實現(xiàn)對倒立擺的控制，采用GA學習的NN控制器兼有NN的廣泛映射能力和GA快速收斂以及增強式學習等性能。1.3對倒立擺系統(tǒng)研究的意義倒立擺裝置被公認為自動控制理論中的典型實驗設備，也是控制理論教學和科研中的典型物理模型。通過對它的研究不僅可以解決控制中的理論和技術實現(xiàn)問題，還能將控制理論涉及的主要基礎學科

6、:力學，數(shù)學和計算機科學進行有機的終合應用。倒立擺的研究不僅有其深刻的理論意義，還有重要的工程背景。在多種控制理論與方法的研究與應用中，特別是在工程實踐中，也存在一種可行性的實驗問題，使其理論與方法得到有效檢驗，倒立擺就能為此提供一個從理論通往實踐的橋梁，由于倒立擺系統(tǒng)與火箭飛行和雙足步行機器人的行走有很大的相似性，因此倒立擺的研究對于火箭飛行和機器人的控制等現(xiàn)代高新技術的研究具有重要的實踐意義。4目前，對倒立擺的研究己經引起國內外學者的廣泛關注，是控領域研究的熱門課題之一。在控制理論發(fā)展的過程中，某一理論的正確性及在實際應用中的可行性需要一個按其理論設計的控制器去控制一個典型對象來驗證這一理

7、論，倒立擺就是這樣一個被控對象。倒立擺本身是一個自然不穩(wěn)定體，在控制過程中能夠有效地反映控制中的許多關鍵問題，如鎮(zhèn)定問題，非線性問題，魯棒性問題，隨動問題以及跟蹤問題等。倒立擺的典型性在于作為一個裝置，成本低廉，結構簡單，形象直觀，便于實現(xiàn)模擬和數(shù)字兩者不同的方式的控制;作為一個被控對象，又相當復雜，就其本身而言，是一個高階次、不穩(wěn)定、多變量、非線性、強耦合的快速性系統(tǒng)，只有采取行之有效的控制方法方能使之穩(wěn)定。因此，倒立擺系統(tǒng)在控制理論研究中是一種較為理想的實驗裝置。對倒立擺系統(tǒng)進行控制，其穩(wěn)定效果非常明了，可以通過擺動角度、位移和穩(wěn)定時間直接度量，控制好壞一目了然。理論是工程的先導，對倒立擺

8、的研究不僅有其深刻的理論意義，還有重要的工程背景。從日常生活中所見到的任何重心在上、支點在下的控制問題，到空間飛行器和各類伺服云臺的穩(wěn)定，都和倒立擺的控制有很大的相似性，故對其的穩(wěn)定控制在實際中有很多用場，如海上鉆井平臺的穩(wěn)定控制、衛(wèi)早發(fā)射架的穩(wěn)定控制、火箭姿態(tài)控制、飛機安全著陸、化工過程控制等都屬這類問題。因此付倒立擺機理的研究具有重要的理論和實際意義，成為控制理論中經久不衰的研究課題。1.4倒立擺的發(fā)展狀況倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定與控制的研究在國外始于60年代，我國則從70年代中期開始研究。首先根據(jù)經典控制理論與現(xiàn)代控制理論應用極點配置法，設計模擬控制器。國內外專家學者先后控制了單倒立擺與二級倒立擺

9、的稱定。隨著微機的廣泛應用，又陸續(xù)實現(xiàn)了數(shù)控二級倒立擺的租定。此外，由于智能控制理論的興起，相繼應用模糊理論與神經網(wǎng)絡控制了二級倒立擺的穩(wěn)定5。早在60年代人們就開始了對倒立擺系統(tǒng)的研究，1966年Schaefer和Cannon應用Bang-Bang控制理論，將一個曲軸穩(wěn)定于倒置位置。在60年代后期，作為一個典型的不穩(wěn)定、嚴重非線性證例提出了倒立擺的概念，并用其檢驗控制方法對不穩(wěn)定、非線性和快速性系統(tǒng)的控制能力，受到世界各國許多科學家的重視，從而用不同的控制方法控制不同類型的倒立擺，成為具有挑戰(zhàn)性的課題之一。直到70年代初，用狀態(tài)反饋理論對不同類型的倒立擺問題進行了較為廣范的研究5-7，雖然在

10、許多方面都取得了較滿意的效果，但其控制方法過多的依賴于線性化后的數(shù)學模型，故對一般工業(yè)過程尤其是數(shù)學模型變化或不清晰的對象缺乏指導性的意義。在80年代后期，隨著模糊控制理論的快速發(fā)展，用模糊控制理論控制倒立擺也受到廣泛重視，其目的在于檢驗模糊控制理論對快速、絕對不穩(wěn)定系統(tǒng)適應能力，并且用模糊控制理論控制一級倒立擺取得了非常滿意的效果，由于模糊控制理論目前尚無簡單實用的方法處理多變量問題，故用適合的方法處理二級倒立擺多變量之間的關系，仍是模糊控制二級倒立擺的中心問題之一。清華大學的張乃堯先生等提出了雙閉環(huán)模糊控制方法控制一級倒立擺。常見的模糊控制器是根據(jù)輸出偏差和輸入偏差變化率來求控制作用，是二

11、輸入一輸出的控制器。當控制器的輸入為兩個以上時，控制規(guī)則數(shù)隨輸入變量數(shù)指數(shù)增加，不僅使模糊控制器的設計非常復雜，也使模糊控制的執(zhí)行時間大大增長，難于實時應用。張乃堯先生對倒立擺采用雙閉環(huán)模糊控制方案，很好的解決了上述問題，并在實際裝置上取得了滿意的結果，并對其他模糊串級控制也具有參考價值。程福雁先生等研究了使用參變量模糊控制對二級倒立擺進行實時控制的問題。作者擬通過傳統(tǒng)的控布鯉論得出各種狀態(tài)變量間的綜合關系，來處理系統(tǒng)的多變量問題;通過仿真尋優(yōu)和重復試驗相結合的方法，得到控制倒立擺所謂的最優(yōu)參數(shù);采用高精度清晰化方法，使輸出控制等級更為細膩。神經網(wǎng)絡控制倒立擺的研究，自90年代初開始得以快速的

12、發(fā)展。而早在1963年，Widrow和Smith就開始將神經網(wǎng)絡應用于倒擺小車系統(tǒng)的控制。神經網(wǎng)絡控制倒立擺是以自學習為基礎，用一種全新的概念進行信息處理，顯示出巨大的潛力。今天有許多學者正致力于引用神經網(wǎng)絡控制一級或二級倒立擺的研究。另外還有許多其他的控制方法用于倒立擺的控制。近代機械控制系統(tǒng)中，如直升飛機、火箭發(fā)射、人造衛(wèi)星運行及機器人舉重物、做體操和行走機器人步行控制等等都存在有類似于倒擺的穩(wěn)定控制問題.倒立擺系統(tǒng)大概可以歸納為如下幾類:懸掛式倒立擺、平行式倒立擺和球平衡式倒立擺系統(tǒng)。倒立擺的級數(shù)可以是一級、二級、三級乃至多級，倒擺系統(tǒng)的運動軌道可以是水平的，還可以是傾斜的（這對實際機器

13、人的步行穩(wěn)定控制研究更有意義）。早在60年代，人們就開始了對倒立擺系統(tǒng)控制的研究。1966年Schaefer和Cannon應用Bang-Bang控制理論，將一個曲軸穩(wěn)定于倒置位置。在60年代后期，作為一個典型的不穩(wěn)定、嚴重非線性系統(tǒng)的例證，倒立擺系統(tǒng)的概念被提了出來。人們習慣于用它來檢驗控制方法對不穩(wěn)定、非線性和快速系統(tǒng)的控制處理能力。因而受到了普遍的重視。(2.3)2倒立擺系統(tǒng)數(shù)學模型的建立21系統(tǒng)的物理模型如圖2.1所示，在慣性參考系下，設小車的質量為M,擺桿的質量為m,擺桿長度為1,在某一瞬間時刻擺角(即擺桿與豎直線的夾角)為，作用在小車上的水平控制力為f。這樣，整個倒立擺系統(tǒng)就受到重力

14、，水平控制力和摩擦力的3外力的共同作用。圖2.1一級倒立擺物理模型2.2系統(tǒng)的微分方程在系統(tǒng)數(shù)學模型中，本文首先假設：擺桿為剛體；忽略擺桿與支點之間的摩擦；忽略小車與導軌之間的摩擦。然后根據(jù)牛頓第二運動定律，求得系統(tǒng)的運動方程為:(2.2)M竺+md2(X+1Sin9)dt2dt2d2(x+1sin9)mlcos9=mglsin9dt2首先對該模型進行線性化。原因如下：目前，許多非線性模型都能在適當?shù)那闆r下近似線性化；對于非線性模型，目前還沒有確定的一般性的分析方法；那么，如何進行線性化呢？可以通過如下的結論倒立振子的垂直傾斜角度屮同1弧度相比屮1的話，那么singcos0匕1方程2.2、2.

15、3是非線性方程，由于控制的目的是保持倒立擺直立，在施加合適的外力條件下，假定很小，接近于零是合理的。則sine.9，coso沁1.在以上假設條件下，對方程線性化處理后，得到倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型如下：(M+m)X+ml9=f(2.4)ml20+mix二mgl9(2.5)即令:2.3系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程以擺角9,角速度0,小車的位移x,速度x為狀態(tài)變量,輸出為y。xyx111xeyxx=2y22xxyx333xxyxL4J111-4L4則一級倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程為:(2.6)(2.7)(2.8)(2.9).m1x4=Mgx1+Mf;圖3.1狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)42.14)0.-101001-1x1M

16、+m心心心x11g000 x2Mlx2+Mlx0001x03m小小小3xg000 x14M4M即2.10)1000 x10100 xy二00102x30000 x4+0Xf將上式改寫成向量和矩陣的形式，2.11)就成為線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程2.12)而系統(tǒng)矩陣A和輸入矩陣B為下列形式：01000a000cB二00010b000d_X是四維的狀態(tài)向量,A二X=Ax+Bu其中參數(shù)a,b,c,d為下列表達式確定的常數(shù)。M+ma=lMFgmb一Mg1c二一一Ml而系統(tǒng)的輸出如下，選擇振子的傾斜角度e作為倒立擺系統(tǒng)的輸出，這是與控制系統(tǒng)有直接關系的向量。若e為選擇輸出，因為其自身狀態(tài)變量是x,則輸出方程式y(tǒng)

17、=Cx+Du有x2.13)=CXX3綜上所述，可得倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程X=Ax+Buy二Cx3狀態(tài)空間極點配置經典控制理論的研究對象主要是單輸入單輸出的系統(tǒng)，控制器設計時一般需要有關于被控對象的較精確模型。現(xiàn)代控制理論主要是依據(jù)現(xiàn)代數(shù)學工具，將經典控制理論的概念擴展到多輸入多輸出系統(tǒng)。極點配置法通過設計狀態(tài)反饋控制器將多變量系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)極點配置在期望的位置上，從而使系統(tǒng)滿足工程師提出的瞬態(tài)性能指標。前面我們已經得到了倒立擺系統(tǒng)的比較精確的動力學模型，下面我們針對直線型一級倒立擺系統(tǒng)應用極點配置法設計控制器。31狀態(tài)空間極點配置基本原理單級倒立擺系統(tǒng)是一個不穩(wěn)定的連續(xù)系統(tǒng)，當?shù)沽[出

18、現(xiàn)偏角后，若不給小車施加控制力，倒立擺會向左或向右傾倒。所以本文采用極點配置法設計控制器的目的都是通過調節(jié)水平力的大小來控制小車的運動，使倒立擺處于平衡位置。極點配置的方法就是通過一個適當?shù)臓顟B(tài)反饋增益矩陣的狀態(tài)反饋方法，將閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置到任意期望的位置?？紤]控制系統(tǒng)：*=Ax+Bu(3.1)其中x是狀態(tài)向量(n維向量)，u是控制信號(純量)，選取控制信號為:u=-Kx(3.2)這樣控制信號是由瞬時狀態(tài)確定,此方法稱為極點配置狀態(tài)反饋法。圖3.1為具有u=-Kx的閉環(huán)控制系統(tǒng)將式(3.2)代入式(3.1)得：乂(t)=(A-BK)x(t),該方程的解為：x(t)二e(A-BK)tx(O)對

19、于系統(tǒng)：x=Ax若矩陣A的特征值實部全為負值，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。對于狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)：X二(A-BK)x若矩陣A-BK的特征值實部全為負值，則控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的式中x(0)是外部干擾引起的初始狀態(tài)。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應和瞬態(tài)響應特性由矩陣A-BK的特征決定。如果矩陣K選取適當，則可使矩陣A-BK構成1個漸近穩(wěn)定矩陣，并且對所有的x(0)H0，當t趨于無窮時,都可使x(t)趨于0。稱矩陣A-BK的特征值為調節(jié)器極點。如果這些調節(jié)器極點均位于s的左半平面內，則當t趨于無窮時,x(t)趨于0。將閉環(huán)極點配置到所期望的位置，稱為極點配置問題。因而極點配置狀態(tài)反饋控制器的設計最主要就是K值的計算。3.2狀態(tài)反饋的

20、優(yōu)越性在狀態(tài)空間中，狀態(tài)反饋的優(yōu)越性在于可將系統(tǒng)的狀態(tài)和輸入綜和起來組成系統(tǒng)的控制信號，從而可以完全確定系統(tǒng)的未來行為，得到較好的控制效果。在工程上，狀態(tài)反饋可應用現(xiàn)代控制理論，設計各種最優(yōu)控制系統(tǒng)，如最短時間控制系統(tǒng)、最小能量控制系統(tǒng)、線性二次型最優(yōu)控制系統(tǒng)。對于有隨機擾動的系統(tǒng)，可通過對狀態(tài)的估計，設計最優(yōu)控制系統(tǒng)，同時可對變化的系統(tǒng)模型進行自適應控制。3.3極點配置的提出動力學的各種特性或各種品質指標在很大程度上是由系統(tǒng)的極點決定的，因此系統(tǒng)綜合指標的形式之一可以取為s平面上給出的一組所希望的極點。所謂極點配置問題，就是通過狀態(tài)反饋矩陣K的選擇，使閉環(huán)系統(tǒng)(A-BK)的特征根，恰好處于所

21、希望的一組極點的位置上。因為希望的極點具有任意性,所以極點的配置也應當做到具有任意性。事實上，古典控制理論中采用的綜合法，無論是根軌跡法還是頻率法，本質上也是一種極點配置問題。從極點配置問題的定義可知，對希望極點的選取，實際上是確定綜合目標的問題，也是首先要考慮的復雜的問題。3.3.1期望極點的選擇選取極點時所遵循的原則如下：對于一個n維控制系統(tǒng)，可以而且必須給定n個希望的極點。所希望的極點可以為實數(shù)或復數(shù)，但是當以復數(shù)形式給出時，必須共軛復數(shù)對形式出現(xiàn)，即物理上是可實現(xiàn)的。選取所希望極點的位置，需要研究它們對系統(tǒng)品質的影響，以及它們與零點分布狀況的關系，從工程實際的角度加以選取。在所希望極點

22、的選取中，還必須考慮抗干擾和低靈敏度方面的要求，即應當具有較強的抑制干擾的能力，以及較低的對系統(tǒng)參數(shù)變動的靈敏度。在綜合時，需要解決極點配置的理論問題與方法問題。3.3.2極點配置需要注意的問題使用極點配置方法時，要注意的問題：（1）系統(tǒng)完全狀態(tài)可控是求解的充分必要條件。（2）應把閉環(huán)系統(tǒng)的期望特性轉化為Z平面上的極點位置。（3）理論上，選擇反饋增益可使系統(tǒng)有任意快的時間響應。加大反饋增益可提高系統(tǒng)的頻帶，加快系統(tǒng)的響應。但過大的反饋增益，在有一定誤差信號時，導致控制信號的無限增大，這在工程上無法實現(xiàn)。因而必須考慮反饋增益的物理實現(xiàn)可能性。（4）當系統(tǒng)的階次較高時，可用Ackerman公式，通

23、過計算機求解。3.4理論分析方程組2.4、2.5對9和X解代數(shù)方程，得到解如下:M+m1Mlgxi一Mlf；Mgx+MfM1M以擺角9，角速度9，小車的位移X，速度X為狀態(tài)變量,輸出為y。即令:XyX1i1X9yXX=2=y=2=2XXyX333XXyX41144則一級倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：x=x；12MlX=X；34X=4m-Mgx0.-101001-1X1M+m門門門X11g000X2MlgX2+MlX0001X03m小小小3X-g000X14M4M即1000X10100Xy=00102X30000X4+0Xf將上式改寫成向量和矩陣的形式，就成為線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程X=Ax+Buf是四維的

24、狀態(tài)向量，而系統(tǒng)矩陣A和輸入矩陣B為下列形式:-0100-0-a000cB二00010b000d_A二其中參數(shù)a,b,c,d為下列表達式確定的常數(shù)。M+ma=gMlmb一Mg1c二一-Mld二丄M接下來進行可控制性和可觀測性的判斷確認控制系統(tǒng)的是否可控是很重要的。所謂可控制性是在理論上保證某種控制向量的存在。就狀態(tài)方程X=Ax+Bu來說，使初始狀態(tài)x在某有限時間0內轉變?yōu)槿我鉅顟B(tài)xf，這樣的控制向量u（t）存在的話，則該狀態(tài)方程表示的系統(tǒng)就是可控制的。那么，如何判別可控制性呢？根據(jù)狀態(tài)方程X=Ax+Bu中系統(tǒng)矩陣A和輸入矩陣B構成（nxnm）矩陣，可控制性矩陣V=L,AB,A2B,.A（n-i

25、）B的秩數(shù)是n,為系統(tǒng)的可控制性的充要條件。（其中n是系統(tǒng)的階數(shù)，m為輸入的個數(shù)。）現(xiàn)在開始對“倒立擺系統(tǒng)”的可控制性進行判別。已知該系統(tǒng)的階數(shù)為n=4，控制力u有一個，即m=1,所以可控制性矩陣V為（4X4）矩陣，V的秩數(shù)為4,這成為可控制性的充要條件,矩陣V二L,AB,A2B,A3b1其中B二0c0d-c-0-ac-0,A2B二ac,A3B二0d0bc0bc0，AB二故而，0,c,0,acc,0,ac,0V二0,d,0,bed,0,be,0。由上述式可知，秩數(shù)為4，因為該矩陣所有列都是相對獨立的。于是，由可控制性的判定條件可知；該系統(tǒng)是可控制的?，F(xiàn)在，就系統(tǒng)的可觀測性進行分析?？捎^測性表示

26、：通過檢測系統(tǒng)的輸出，判斷能否推測出所有狀態(tài)變量的值。就狀態(tài)方程X=Ax+Bu來說，若通過觀測輸出向量y可確定向量x得初始值x，則此系統(tǒng)是可觀測的。0可觀測性的判別方法：當由系統(tǒng)矩陣B和輸出方程的矩陣C派生出下面的(nlXn)矩陣：CCA可觀測性矩陣S=CA2，矩陣的秩數(shù)為n，為系統(tǒng)可觀測的充要條件。.CA(n-1)在式中，A:(nXn),B:(nXl),n:狀態(tài)變量的個數(shù)l:輸出量的個數(shù)對倒立擺系統(tǒng)進行判別：系統(tǒng)的輸出為臺車的位置y,而狀態(tài)變量有振子的角度，角速度以及臺車的位置和速度四項。在四項狀態(tài)變量中臺車的位置y是輸出，另三項是以輸出的微分形式給出的。由此可知，該系統(tǒng)是可觀測的。下面用可

27、觀測性矩陣來確認一下。已知n=4，因為輸出有一個，故l=1，所以可觀測性矩陣S階數(shù)為4X4,表示為CCAS=CA2CA3其中，c=boioCA,CA2,CA3分別為ca=booica2=boooCA3=bboo因此，可觀測性矩陣可寫成0001S=b0000010，自第一行到第四行是相對獨立的，由此可知，該矩陣的秩數(shù)0b00為4,可觀測性矩陣S的秩數(shù)和系統(tǒng)階數(shù)n=4一致，所以該系統(tǒng)是可觀測的。即：由輸出y可觀測全部的狀態(tài)變量。綜上所述，該倒立擺系統(tǒng)是可控制的，可觀測的。35根據(jù)極點配置法確定反饋系數(shù)一級倒立擺系統(tǒng)是一個不穩(wěn)定的系統(tǒng)?？刂破鞯哪康氖鞘沟沽[系統(tǒng)動態(tài)穩(wěn)定，即保持倒立擺在垂直的位置，使

28、小車在外力作用下其位移以較小的誤差跟隨輸入的變化。由于系統(tǒng)的動態(tài)響應主要是由他的極點位置決定的，同時容易證明一級倒立擺系統(tǒng)是一個能控而且能觀的系統(tǒng)。因此本文通過極點配置狀態(tài)反饋控制器來使系統(tǒng)保持穩(wěn)定。狀態(tài)反饋控制方程為：f=-Kx二-Kl,K2,K3,K4x，閉環(huán)系統(tǒng)的方程為：=Ax+Bf=（A-BK）x。選取所期望的閉環(huán)極點位置：口1,口2,口3,口4。倒立擺系統(tǒng)各參數(shù)如下：振子質量m=1kg長度2L=2m臺車的質量M=1kg重力加速度g-io輕爲帶入式（3.13）和（3.15）得：A=0100;20000;0001;-10000;B=0-101;C=1000;0100;0010;0001;

29、D=0;用MATLAB軟件計算狀態(tài)反饋增益矩陣K埃克曼公式：對任一正整數(shù)n有K二0001B:AB:An-1B卜環(huán)(A)其中0(A)=B(a*K+a*KA+KA2)+AB(a*K+KA)+A2BK2113.5)a*K+a*KA+KA2=B:AB:A2B211K用愛克曼公式法根據(jù)如下matlab程序可求得狀態(tài)反饋增益KA=0100;20000;0001;-10000;輸入矩陣AB=0-101;輸入矩陣BM=BA*BA2*BA“3*B;構造可控性矩陣Mrank(M);計算矩陣M的秩J=-1+2j000；0-1-2j00；00-2+j0；000-2-j;假定期望閉環(huán)極點jj=poly(J);求特征方程

30、|SI-A|=0的系數(shù)Phi=polyvalm(poly(J),A);計算矩陣多項式0(A)K=0001*(inv(M)*Phi；運用愛克曼公式式子(3.5)為用于確定狀態(tài)反饋增益矩陣K的愛克曼方程?，F(xiàn)在令閉環(huán)極點口1,口2,口3,口4=-l+2j,-l-2j,-2+j,-2-j;運行程序后求得:K1=-40.5000K2=-9.0000K3=-2.5000K4=-3.0000即若施加在臺車水平方向的控制力u可用式(3.6)表示，則該控制系統(tǒng)具有指定的特征根，為一個穩(wěn)定系統(tǒng)。u=40.50+90+2.5y+3y(3.6)進行上式給出的狀態(tài)反饋，可以使處于任意初始狀態(tài)的系統(tǒng)穩(wěn)定在平衡狀態(tài)，即所有

31、的狀態(tài)變量0,0,y,刃都可以穩(wěn)定在平衡狀態(tài)。這就是說即使在初始狀態(tài)或因為存在外擾時振子稍有傾斜或臺車偏離平衡位置，依靠該狀態(tài)反饋也可以使振子垂直豎立，使臺車保持在穩(wěn)定狀態(tài)。相對平衡狀態(tài)的偏移，得到的迅速修正的程度要依賴于指定的特征根的值。所以，將指定的特征根配置在原點的左側，離原越遠，控制動作越迅速，但是相應的需要更大的控制力和快速的靈敏度。如表所示為在復平面上指定的特征根配制成三種情況分別得到的反饋系數(shù)k,k,k,k。由表3.7可以看出，特征根越往復平面的左側配置，k,k,k,k的12341234絕對值就越大。表3.7特征根對應的反饋系數(shù)指定特征根反饋系數(shù)九二0.5土j.1,2九二1土0.

32、5j3,4k=24.66,k=3.3712k=0.156,k=0.37534九=-1+2j入二-2土j3,4k=40.5,k=9.012k=2.50,k=3.034九=4+3j入=5土j3,4k=216,k=63.812k=65.0,k=45.8344一級倒立擺系統(tǒng)模塊仿真MATLAB軟件是目前國際上最流行、應用最廣泛的科學與工程計算軟件,具有高級的數(shù)學分析和運算能力,可以如上編寫MATLAB程序計算倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)反饋增益K同時還具有強大的動態(tài)系統(tǒng)的分析和仿真能力。以下是用MATLAB軟件中Simulink工具箱來設計仿真一級倒立擺系統(tǒng)。用鼠標雙擊計算機桌面上的Matlab圖標，啟動Matl

33、ab，在指令區(qū)運行指令simulink或雙擊Matlab的工具欄中圖標(SimulinkLibraryBrowser)均可啟動Simulink模塊庫瀏覽器：然后左擊瀏覽器的工具欄中圖表(createanewmode)，新建一個simulink模型窗。從Simulink模塊庫瀏覽器的菜單Simulink的子菜單Signals&Systems下選Subsystem拖到Simulink模型窗的編輯窗口中，將所有的模塊連接起來。應用MATLAB中的Simulink設計用極點配置控制的一級倒立擺系統(tǒng)的仿真模型如圖4.1所示。圖中State-Space模塊填入了上面程序計算所得的A,B,C,D值。然后用1

34、個BusSelector輸出轉角、角速度、位移和速度4個量,之后用4個Gain(分別輸出參數(shù)K1，K2,K3,K4和1個Sum構成狀態(tài)反饋，同時用示波器輸出轉角、角速度、位移和速度4個量。圖4.1倒立擺極點配置仿真框圖下面首先根據(jù)指定的特征根值-1土2j,-2土j得到的反饋系數(shù)k=-40.5,k=-9.0,k=-2.5,k=-3的情況進行分析。作為倒立擺系統(tǒng)的控制1234目標的狀態(tài)，是一種保持倒立振子垂直，使臺車最后處于穩(wěn)定的狀態(tài)。如圖4.2所示：倒立擺系統(tǒng)在所期望極點P=-l+2*j-1-2*j-2+j-2-j小車的角度，位置隨時間變化的曲線?？梢钥闯?，倒立擺系統(tǒng)在4秒鐘后可以達到平衡狀態(tài)。

35、圖4.2仿真后的響應曲線圖現(xiàn)在進行倒立擺系統(tǒng)在所期望的極點在P二-0.5+j-0.5-j-1+0.5*j-1-0.5*j時的仿真模擬分析。如圖4.3所示為小車的位置隨時間變化的曲線.可以看出，倒立擺系統(tǒng)在8秒鐘后可以達到平衡狀態(tài)圖4.3仿真后的響應曲線圖下面就倒立擺系統(tǒng)在期望極點P=-4+3*j-4-3*j-5+j-5-j時，進行模擬仿真分析。小車的位置隨時間變化的曲線如圖4.4所示。可以看出，倒立擺系統(tǒng)在2秒鐘后可以達到平衡狀態(tài)BJFigures-ScapeI=FilrEditViewInsertTodsDebugDrs-ktopWindHelp勺pX國自An：0aji田m日fflnrriTrrrt：cilfce:ID圖4.4仿真后的響應曲線圖根據(jù)圖4.2圖4.3和圖4.4所示控制系統(tǒng)的時間響應和表3.7所示的特征根的配置分析可得：對所有這些反饋系數(shù)的系統(tǒng)，隨時間的變化都將穩(wěn)定在目標狀態(tài)而成為穩(wěn)定的控制系統(tǒng).控制系統(tǒng)的特征根，在復平面內的左側離原點越遠，越能在較短的時間內達到目標狀態(tài)。另外，隨著控制系統(tǒng)的特征根，在復平面內的左側離原點越遠，振子的傾斜角度的變動振幅越來越大。結論倒立擺系統(tǒng)的控制設計