初中數(shù)學(xué)北師大八年級上冊（2023年修訂） 勾股定理勾股定理教案

1、探索勾股定理的歷史和證法崇州市三郎學(xué)校 張義一學(xué)習(xí)目標(biāo)1通過查閱相關(guān)資料，了解勾股定理的歷史，了解勾股定理的廣泛應(yīng)用，體會勾股定理的文化價值。經(jīng)歷探索勾股定理不同證明方法的探索過程，發(fā)展合情推理能力，體會同一問題可以有多種證明方式。掌握勾股定理的內(nèi)容。二. 學(xué)習(xí)重點與難點1. 了解并掌勾股定理。2. 了解勾股定理多種證明方式。三學(xué)習(xí)過程（一）.講故事在西方，畢達哥拉斯（公元前572前497年），古希臘著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家.有一次在朋友家做客，偶然的在地磚上發(fā)現(xiàn)了畢達哥拉斯定理。中國古代的數(shù)學(xué)家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理，而且很早就嘗試對勾股定理作理論的證明。最早對勾股定理進行證明

2、的，是吳國的數(shù)學(xué)家。創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明。（二）勾股定理的內(nèi)容1、關(guān)于勾股定理結(jié)論如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。注意：（1）由于我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦，因此上結(jié)論被稱為“勾股定理”。（2）勾股定理有著悠久的歷史，古巴比倫和古中國人最早發(fā)現(xiàn)（看出）了這個關(guān)系，古希臘畢達哥拉斯學(xué)派首先證明了這個關(guān)系，因此，國際上稱該結(jié)論為“畢達哥拉斯定理”（3）勾股定理是反映自然界基本規(guī)律的一條重要結(jié)論，它從邊的角度進一步刻畫了直角三

3、角形的性質(zhì)。它把三角形有一個直角的“形”的特征，轉(zhuǎn)化為三邊“數(shù)”的關(guān)系，體現(xiàn)了重要的數(shù)學(xué)思想-數(shù)形結(jié)合。（4）勾股定理不僅源于生活，同時又廣泛應(yīng)用于生活。2、關(guān)于勾股逆定理結(jié)論如果直角三角形三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形。（且C=90）注意：（1）勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而此結(jié)論是直角三角形的判定定理，它不僅可以判定三角形是否為直角三角形，而且可以判定直角三角形中哪一個角為直角，這種利用計算的方法來證明的方法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。（2）事實上，當(dāng)三角形三邊為a、b、c，且c為最大邊時，若a2+b2=c2，則C為直角；若c2a2+b2，則C為鈍角；若c

4、2a2+b2，則C為銳角。（3）滿足條件a2+b2=c2的三個整數(shù)，稱為勾股數(shù)。常見的勾股數(shù)組有：3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 20、21、29； 9、40、41； 這些勾股數(shù)組的整數(shù)倍仍然是勾股數(shù)組。3、關(guān)于勾股定理的證明這里再介紹幾種典型的利用拼圖驗證的方法：（1）趙爽的方法如圖，由大正方形面積等于四個小直角三角形及中間 如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。（三）勾股定理的證明方法1.課本方法：畫兩個邊長為(a+b)的正方形，如圖，其中a、b為直角邊，c為斜邊。這兩個正方形全等

5、，故面積相等。 左圖與右圖各有四個與原直角三角形全等的三角形，左右四個三角形面積之和必相等。從左右兩圖中都把四個三角形去掉，圖形剩下部分的面積必相等。左圖剩下兩個正方形，分別以a、b為邊。右圖剩下以c為邊的正方形。于是 a2+b2=c2。 2.拼圖的方法如圖，由圖1中兩個小正方形的面積之和等于圖2中的小正方形面積可得勾股定理。 3.總統(tǒng)的方法如圖，用兩個全等的正方形紙板拼得，由梯形面積等于三個三角形面積之和可得勾股定理。4.七巧板拼法利用兩付同樣大小的七巧板拼圖，也能驗證勾股定理。DBAC5.相似三角形的方法：在學(xué)習(xí)了相似三角形以后，我們知道在直角三角形中，斜邊上的高把這個直角三角形所分成的兩個三直角角形與原三角形相似。如圖，RtABC中，ACB=90。作CDAB，垂足為D。則 BCDBAC，CADBAC。 由BCDBAC可得BC2=BD BA， 由CADBAC可得AC2=AD AB。 我們發(fā)現(xiàn)，把、兩式相加可得 BC2+AC2=AB（AD+BD）， 而AD+BD=AB， 因此有 BC2+AC2=AB2，這就是 a2+b2=c2。 這也是一種證明勾股定理的方法，而且也很簡潔。它利用了相似