初中數(shù)學(xué)北師大八年級(jí)上冊(cè)（2023年修訂） 實(shí)數(shù)立方根學(xué)案（教師大比武）

1、北師版八年級(jí)數(shù)學(xué)（上）第二章實(shí)數(shù) 立方根 成都市石室聯(lián)中 岳迎春學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解立方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示一個(gè)數(shù)的立方根.2.能用立方運(yùn)算求某數(shù)的立方根，了解開立方與立方互為逆運(yùn)算.3.區(qū)分立方根與平方根的不同.學(xué)習(xí)重點(diǎn)：立方根的概念.學(xué)習(xí)難點(diǎn)：1.正確理解立方根的概念.2.區(qū)分立方根與平方根的不同之處.學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)：一 問題情境 由，如何求它的棱長？有問題，也有情境，導(dǎo)入新課，開門見山。要解決問題，自然想到類似問題，類比平方根。1.一個(gè)體積為27 cm3的正方體盒子，它的棱長是多少？2.一個(gè)體積為5 cm3的正方體盒子，它的棱長是多少？二 類比引入立方根定義 （2）表示方法 記作 下定義的類比

2、，巧妙帶出N次方根的意義，有順手拈來之妙。拓展：類比平方根和立方根的定義：三 初步探究做一做 (1)怎樣求下列括號(hào)內(nèi)的數(shù)？各題中已知什么數(shù)？求什么數(shù)？ ； ； 2的立方等于多少？是否有其他的數(shù)，它的立方也等于8？-3的立方等于多少？是否有其他的數(shù)，它的立方也等于-27?議一議（1）正數(shù)有幾個(gè)立方根？（2）0有幾個(gè)立方根？ （3）負(fù)數(shù)呢？立方根的性質(zhì) 由于立方運(yùn)算具有保留運(yùn)算符號(hào)的性質(zhì)，所以立方根也保留原來運(yùn)算符號(hào)。性質(zhì)探究是用歸納法，由特殊到一般。開立方的定義 四 反饋練習(xí)例1 求下列各數(shù)的立方根如何求立方根？注意前兩個(gè)是完全立方數(shù)，而 -5不是一個(gè)完全立方數(shù)。例題數(shù)據(jù)的設(shè)計(jì)有代表性，有整數(shù)，

3、分?jǐn)?shù)，有完全立方數(shù)，也有非完全立方數(shù)。（1）；（2） ； （3）五 深入探究探究1 探究1，由特殊到一般，引導(dǎo)猜想。一個(gè)數(shù)a的立方冪再開立方，仍為這個(gè)數(shù)a,探究2，由特殊到一般，引導(dǎo)猜想。一個(gè)數(shù)a的立方根的立方，仍為這個(gè)數(shù)a,事實(shí)上，乘立方與開立方互為逆運(yùn)算。就像一個(gè)數(shù)a的相反數(shù)的相反數(shù)，是數(shù)a本身。 從以上式子中發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？（用來表示） 結(jié)論 探究2從以上式子中發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？結(jié)論 探究3 互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，其立方根也互為相反數(shù)。這是一個(gè)有趣也有用的結(jié)論。類比算術(shù)平方根的平方。及時(shí)將知識(shí)縱橫聯(lián)系，有利于比較其差異。從以上式子中發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？結(jié)論 我們可以通過具體例子歸納出上面結(jié)論，還能進(jìn)行

4、理論解釋嗎？ 由二次根式，三次根式的性質(zhì)，及時(shí)拓展到n次根式，由特殊到一般，邏輯連貫，一氣呵成。既利于知識(shí)本身的延伸拓展，更有利于邏輯思維訓(xùn)練，在追問中學(xué)會(huì)提出新問題的方法。拓展： ， 例2 求下列各式的值法1：用結(jié)論，被開方數(shù)互為相反數(shù)，所以，即，原式=法2：，兩邊立方，得，所以后略這是給條件求值問題，妙在整體代入。接下來的歸納一般結(jié)論，并與平方根的相關(guān)結(jié)論對(duì)比，設(shè)計(jì)巧妙。 例題4及其變式，由簡單問題出發(fā)。 若，求的值巧解1：由立方根的意義得，若，顯然符合題意若，兩邊同時(shí)除以，則得，所以巧解2：由方程兩邊同時(shí)立方得 即，分解因式得所以賞析：法1巧在分兩種情況討論，巧妙避開因式分解解三次方程；

5、法2用因式分解解三次方程，是常用的通法。如果將原方程中的用一個(gè)代數(shù)式表示，則可以得到一系列變式問題，其解決方法也很巧妙，只需令這個(gè)代數(shù)式的整體值為0，1，-1。變式1：若，求的值答案：可以取值，所以的值為1或者2或者0.變式2：若，求的值答案：原方程變形得，可以取值，所以的值為1或者2或者0.變式3：若，求的值答案：原方程變形得，可以取值 所以的值為或者1或者.賞析：由簡單問題逐步演變?yōu)閺?fù)雜問題，既展示了數(shù)學(xué)思維的逐步深刻化過程，更重要的是揭示原來“復(fù)雜的問題并不復(fù)雜”，在復(fù)雜中揭示“簡單性”，這是數(shù)學(xué)理性之美；這一串變式問題，在離散中，可以概括解決方法的統(tǒng)一性，這是數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美！用文字描述上

6、式規(guī)律 用符號(hào)語言：六 課時(shí)小結(jié)平方根與立方根的聯(lián)系與區(qū)別 定義 表示方法 存在條件及運(yùn)算結(jié)果 特殊規(guī)律等 本節(jié)課重要的數(shù)學(xué)思想關(guān)于滲透數(shù)學(xué)美：1.由特殊到一般，歸納探究，.類比思考，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)，滲透數(shù)學(xué)思維的方法美；2. 歸納出來的立方根的性質(zhì)，用字母表示，簡單明了，簡潔美；3.乘方與開方互為逆運(yùn)算，辯證統(tǒng)一具有和諧之美。拓展：1.請(qǐng)先觀察下列等式賞析：觀察等式發(fā)現(xiàn)，根號(hào)內(nèi)的帶分?jǐn)?shù)，其整數(shù)居然可以跑到根號(hào)外面，根號(hào)對(duì)整數(shù)很“寬容”，允許整數(shù)在“根號(hào)內(nèi)外自由進(jìn)出”！等式竟然成立。顯然，并不是所有帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)，都能“享有這項(xiàng)特權(quán)”（根號(hào)內(nèi)外自由進(jìn)出），這是一類奇異的帶分?jǐn)?shù)！讓我們欣賞

7、到數(shù)學(xué)的奇異美！經(jīng)過觀察，寫出滿足上述各式規(guī)律的一般公式 請(qǐng)先觀察下列等式經(jīng)過觀察，寫出滿足上述各式規(guī)律的一般公式 賞析：由二次根式、三次根式。推廣到n次根式，由特殊到一般，驚奇地發(fā)現(xiàn)，每一類n次根式，都分別有一類特殊的帶分?jǐn)?shù)，它們的整數(shù)享有自由進(jìn)出n次根號(hào)的“特權(quán)”!數(shù)學(xué)世界也很奇妙！成立嗎？ 七 作業(yè)布置習(xí)題 八 課外閱讀 倍立方問題很久很久以前，在古希臘的某個(gè)地方發(fā)生大旱，地里的莊稼都干死了，人們找不到水喝，于是大家一起到神廟里祈求神說，我之所以不給你們降水，因?yàn)槟銈兘o我做的正方體祭壇太小了，如果你們做一個(gè)比它大1倍的祭壇放在我面前，我就給你們降下雨水大家覺得這好辦，很快做好一個(gè)祭壇送到神那兒，新祭壇的邊長是原祭壇