大數(shù)定律即中心極限定理

1、第1頁，共46頁，2022年，5月20日，14點35分，星期二第一節(jié) 大數(shù)定律大數(shù)定律依概率收斂定義及性質(zhì)小結(jié)第2頁，共46頁，2022年，5月20日，14點35分，星期二 大量隨機試驗中大數(shù)定律的客觀背景大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率字母使用頻率生產(chǎn)過程中的廢品率第3頁，共46頁，2022年，5月20日，14點35分，星期二一、大數(shù)定律定理1（切比雪夫定理的特殊情況）切比雪夫 則對任意的0，有做前 n 個隨機變量的算術(shù)平均第4頁，共46頁，2022年，5月20日，14點35分，星期二證由切比雪夫不等式上式中令得第5頁，共46頁，2022年，5月20日，14點35分，星期二說明第6頁，共46頁，20

2、22年，5月20日，14點35分，星期二二、依概率收斂定義及性質(zhì) 定義性質(zhì)第7頁，共46頁，2022年，5月20日，14點35分，星期二請注意 :第8頁，共46頁，2022年，5月20日，14點35分，星期二第9頁，共46頁，2022年，5月20日，14點35分，星期二問題 :伯努利 設(shè)nA是n重貝努里試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，是事件A發(fā)生的頻率.第10頁，共46頁，2022年，5月20日，14點35分，星期二 設(shè) nA 是n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意正數(shù) 0 ，有 定理2（貝努里大數(shù)定律）或 伯努利證明第11頁，共46頁

3、，2022年，5月20日，14點35分，星期二 證畢注 貝努里大數(shù)定律表明，當重復(fù)試驗次數(shù)n充分大時，事件A發(fā)生的頻率nA/n與事件A的概率p有較大偏差的概率很小.或第12頁，共46頁，2022年，5月20日，14點35分，星期二下面給出的獨立同分布下的大數(shù)定律，不要求隨機變量的方差存在. 設(shè)隨機變量序列X1,X2, 相互獨立，服從同一分布，具有數(shù)學(xué)期E(Xi)=, i=1,2,， 則對于任意正數(shù) ，有定理3（辛欽大數(shù)定律）辛欽大數(shù)定律辛欽請看演示第13頁，共46頁，2022年，5月20日，14點35分，星期二 1、辛欽大數(shù)定律為尋找隨機變量的期望值提供了一條實際可行的途徑.注2、伯努利大數(shù)定

4、律是辛欽定理的特殊情況.3、辛欽定理具有廣泛的適用性. 要估計某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量 ，要收割某些有代表性塊，例如n 塊地. 計算其平均畝產(chǎn)量，則當n 較大時，可用它作為整個地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個估計.第14頁，共46頁，2022年，5月20日，14點35分，星期二例 在一個罐子中,裝有10個編號為0-9的同樣的球，從罐中有放回地抽取若干次，每次抽一個，并記下號碼. 設(shè)，k=1,2, 問對序列Xk能否應(yīng)用大數(shù)定律？即對任意的0,解: k=1,2, E(Xk)=0.1, 諸Xk 獨立同分布，且期望存在，故能使用大數(shù)定律.第15頁，共46頁，2022年，5月20日，14點35分，星期二三、小結(jié)大數(shù)定律

5、大數(shù)定律以嚴格的數(shù)學(xué)形式表達了隨機現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一：平均結(jié)果的穩(wěn)定性第16頁，共46頁，2022年，5月20日，14點35分，星期二第二節(jié) 中心極限定理中心極限定理例題課堂練習小結(jié)第17頁，共46頁，2022年，5月20日，14點35分，星期二 中心極限定理的客觀背景 在實際問題中許多隨機變量是由相互獨立隨機因素的綜合（或和)影響所形成的.例如：炮彈射擊的落點與目標的偏差，就受著許多隨機因素（如瞄準，空氣阻力，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)等）綜合影響的.每個隨機因素的對彈著點（隨機變量和）所起的作用都是很小的.那么彈著點服從怎樣分布哪 ？第18頁，共46頁，2022年，5月20日，14點35分，星期二

6、如果一個隨機變量是由大量相互獨立的隨機因素的綜合影響所造成，而每一個別因素對這種綜合影響中所起的作用不大. 則這種隨機變量一般都服從或近似服從正態(tài)分布. 自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見. 現(xiàn)在我們就來研究獨立隨機變量之和所特有的規(guī)律性問題.高斯 當n無限增大時，這個和的極限分布是什么呢？第19頁，共46頁，2022年，5月20日，14點35分，星期二 由于無窮個隨機變量之和可能趨于，故我們不研究n個隨機變量之和本身而考慮它的標準化的隨機變量. 在概率論中，習慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極限定理.第20頁，共46頁，2022年，5月

7、20日，14點35分，星期二一、中心極限定理定理1（獨立同分布下的中心極限定理）第21頁，共46頁，2022年，5月20日，14點35分，星期二注 3、雖然在一般情況下，我們很難求出 的分布的確切形式，但當n很大時，可以求出近似分布.第22頁，共46頁，2022年，5月20日，14點35分，星期二定理2（李雅普諾夫(Liapounov)定理)第23頁，共46頁，2022年，5月20日，14點35分，星期二第24頁，共46頁，2022年，5月20日，14點35分，星期二請注意 :第25頁，共46頁，2022年，5月20日，14點35分，星期二定理6(棣莫佛拉普拉斯（De Laplace定理） 設(shè)

8、隨機變量 (n=1,2,)服從參數(shù)n,p(0p1)的二項分布，則對任意x，有證第26頁，共46頁，2022年，5月20日，14點35分，星期二 定理表明，當n很大，0p1920)設(shè)第i只元件的壽命為Xi , i=1,2, ,16例1解答：E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心極限定理,近似N(0,1)P(Y1920)=1-P(Y1920) =1-(0.8)1-=1-0.7881=0.2119第39頁，共46頁，2022年，5月20日，14點35分，星期二（1)解：設(shè)應(yīng)取球n次，0出現(xiàn)頻率為由中心極限定理例2解答：第40頁，共46頁，2022年，5月20日，14點35分，星期二欲使即查

9、表得從中解得即至少應(yīng)取球3458次才能使“0”出現(xiàn)的頻率在0.09-0.11之間的概率至少是0.95.第41頁，共46頁，2022年，5月20日，14點35分，星期二（2）解：在100次抽取中, 數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)為由中心極限定理,即其中E(Xk)=0.1, D(Xk)=0.09第42頁，共46頁，2022年，5月20日，14點35分，星期二即在100次抽取中，數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)在7和13之間的概率為0.6826.=0.6826第43頁，共46頁，2022年，5月20日，14點35分，星期二四、小結(jié)中心極限定理注第44頁，共46頁，2022年，5月20日，14點35分，星期二這一節(jié)我們介紹了中心極限定理 在后面的課程中，我們還將經(jīng)常用到中心極限定理. 中心極限定理是概率論中最著名的結(jié)果之一，它不僅提供了計