網(wǎng)格中的三角函數(shù)

1、網(wǎng)格中的三角函數(shù)構(gòu)造直角】例：如圖， 網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1， ABC 每個(gè)頂點(diǎn)都在網(wǎng)格的交點(diǎn)處，則sinABP 變式 1：網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，ABC 每個(gè)頂點(diǎn)都在網(wǎng)格的交點(diǎn)處， 求 tan變式 2：網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是 BAP 的值。1， ABC 每個(gè)頂點(diǎn)都在網(wǎng)格的交點(diǎn)處，求tan2BAP 的值1.網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1， ABC 每個(gè)頂點(diǎn)都在網(wǎng)格的交點(diǎn)處，則sinA 的解析】CE CE如圖，過 點(diǎn) C 作 CEAB ， 則 siAn CE = CE ，利用等積法， 可 知AC 2 51 BC AD 1 AB CE ， 1 2 2 3 2 1 2

2、5 CE ， CE 6 5 ， sinA2 2 2 2 565525【等角轉(zhuǎn)換】2.如圖，在邊長(zhǎng)相同的小正方形組成的網(wǎng)格中， 點(diǎn) A 、B 、C、D 都在這些小正方形的頂點(diǎn)上， AB 、CD 相交于點(diǎn) P，則 tan APD 的值是解析】思路一：構(gòu)造直角BF連接 BE，由四邊形 EDBC 為正方形可知， CDBE，tanAPD=tan BPF=，設(shè)小正PF方形邊長(zhǎng)為 2 （可自己思考一下為什么？） ，可得 BF=1 ， CD=2 ，由 APC BPD，且相似比為 3：1 可得 PC 3， PCDP CD3 31，PC= 2 = ，PF=PCCF= ，tanBPF=4 2211 2思路二：角度轉(zhuǎn)

3、換連接 BE，可知 BECD， APD= BPF= ABE ，連接 AE ， AE 和 BE 均為正方形對(duì) AE角線，易得 AE BE， tanABE= AE 2BEB、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上， AB，CD 相交于點(diǎn) P，AP 則的值=，tanAPD 的值 = PB4.如圖，在 44 的正方形方格圖形中，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，上，則圖中 ABC 的余弦值是 .ABC 的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)5.如圖，在網(wǎng)格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn) A，B，C 都在格點(diǎn)上，則 ABC 的正切值A(chǔ)BC 的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則 tan ACB 的值為是.6.如圖，在正方形網(wǎng)格中，7.如圖， 6 個(gè)形狀、大小完全相

4、同的菱形組成網(wǎng)格，菱形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)已知菱形的一個(gè) 角（O）為 60，A ， B， C 都在格點(diǎn)上，則 tanABC 的值是8.如圖，網(wǎng)格中的四個(gè)格點(diǎn)組成菱形ABCD ，則 tan DBC 的值為C、 D 都在網(wǎng)格的格點(diǎn)上，AC、10.（一）探索發(fā)現(xiàn)1）如圖 1，當(dāng) AB=2 時(shí)，連接 AD ，則 ADO=90 ， BO=2DO ，AD= 2 ，BO= 2 2 ，3tanAOD=如圖 2，當(dāng) AB=3 時(shí)，畫 AH BD 交 BD 的延長(zhǎng)線于 H，則 AH= 3 2 ， 2BO= ， tanAOD= 如圖 3，當(dāng) AB=4 時(shí)， tan AOD=（結(jié)果用含 n 的代數(shù)式表（2）猜想：當(dāng) AB=

5、n （n 0）時(shí)， tan AOD= 示），請(qǐng)證明你的猜想（二）解決問題（3）如圖，兩個(gè)正方形的一邊 CD、CG 在同一直線上， 連接 CF、DE 相交于點(diǎn) O，若 tan COE= 17，求正方形 ABCD 和正方形 CEFG 的邊長(zhǎng)之比13解析】（一）探索發(fā)現(xiàn)1）如圖 1，當(dāng) AB=2 時(shí)， BO=2DO ，BO= 2 2 ，32OD=，又 ADO=90 ， AD= 2 ，3AD 2tanAOD=3，即 tanAOD=3 OD 23如圖 2，設(shè) DCBE 為正方形，連接 CE，交 BD 于 F四邊形 BCDE 是正方形，11DF=CF=BF= BD= CE，BD CE22根據(jù)題意得： AB

6、 DC ， AOB COD， DO ： BO=CD ：AB 當(dāng) AB=3 時(shí)， DO ：BO=1 ：3， BO= 3 24SABD = 1 BD ?AH=21AH= AB EDBD32DO： BO=CD ：OF： DF=1 ：3，AB=1 ：2，即 OF： DO：DF=1： 2，CF=1：2在 RtOCF中，tanCOF= CF =2， OF AOD= COF， tanAOD=2 ； 如圖 3，當(dāng) AB=4 時(shí)， DO ： BO=CD ： DO ： DF=1 ：2.5=2：5，OF： DF=3 ： 5，即 OF： CF=3：55， 3，CF 在 RtOCF中， tanCOF=OFAB=1 ：

7、4， AOD= COF，5；3tanAOD=故答案是：3；322；5；32）猜想：AB=nn 0）時(shí)，tan AOD=（結(jié)果用含 n 的代數(shù)式表示） n - 1證明：過點(diǎn)作 AH BH 于點(diǎn) H則 AH=BH= 2 n 2AB OD ， AOB COD，OB ABOD CDOB= 2n OH=BH OB= 2 n 2 n n 1 2 n 121 AB ?ED， BD?AH=AB ?ED，tanAOD=n 1 ； ； n-1故答案是：n1n - 1二）解決問題3）解：如圖 4，過點(diǎn) D 作 DHCF 于點(diǎn) H，則 tanDOH= DOH= COE，17tanDOH=，13又由（一）結(jié)論得：n 1

8、 17n -1 1315 n=215 正方形 ABCD 和正方形 CEFG 的邊長(zhǎng)之比為2DHHO強(qiáng)化訓(xùn)練11.閱讀下面的材料：某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組遇到這樣一個(gè)問題：如果 ，都為銳角，且 tan= ， tan= ，求 +的度數(shù) 該數(shù)學(xué)課外小組最后是這樣解決問題的：如圖 1，把 ，放在正方形網(wǎng)格中，使得ABD=，CBE=，且BA，BC在直線 BD的兩側(cè)，連接 AC1）觀察圖象可知： +=2）請(qǐng)參考該數(shù)學(xué)小組的方法解決問題： 如果 ，都為銳角， 當(dāng) tan=3，tan= 時(shí)，在圖 2的正方形網(wǎng)格中，畫出 MON= ，并求 MON 的度數(shù)12.問題呈現(xiàn)如圖 1，在邊長(zhǎng)為 1的正方形網(wǎng)格中，連接格點(diǎn) D，N

9、和E，C，DN 和EC相交 于點(diǎn) P，求 tan CPN 的值方法歸納 求一個(gè)銳角的三角函數(shù)值，我們往往需要找出（或構(gòu)造出）一個(gè)直角三角形觀 察發(fā)現(xiàn)問題中 CPN 不在直角三角形中，我們常常利用網(wǎng)格畫平行線等方法 解決此類問題，比如連接格點(diǎn) M，N，可得 MN EC，則 DNM= CPN，連接 DM ，那么 CPN 就變換到 RtDMN 中 問題解決（1）直接寫出圖 1中 tanCPN的值為；（2）如圖 2，在邊長(zhǎng)為 1的正方形網(wǎng)格中， AN 與CM 相交于點(diǎn) P，求cosCPN 的值；思維拓展3）如圖 3，ABBC，AB=4BC ，點(diǎn)M在AB 上，且 AM=BC ，延長(zhǎng) CB到N， 使 BN

10、=2BC ，連接 AN 交 CM 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) P，用上述方法構(gòu)造網(wǎng)格求 CPN的度數(shù)13（1）在ABC中，AB、BC、AC 三邊的長(zhǎng)分別為 、 、 ，求這個(gè) 三角形的面積如圖 1，某同學(xué)在解答這道題時(shí)， 先建立一個(gè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是 1的網(wǎng)格， 再在網(wǎng)格中畫出邊長(zhǎng)符合要求的格點(diǎn)三角形 ABC（即 ABC 三個(gè)頂點(diǎn)都在小 正方形的頂點(diǎn)處），這樣不需要求 ABC 的高，而借用網(wǎng)格就能就算出它的 面積請(qǐng)你將 ABC 的面積直接填寫在橫線上 思維拓展：（2）已知 ABC 三邊的長(zhǎng)分別為a（a0），求這個(gè)三角形的面積我們把上述求 ABC 面積的方法叫做構(gòu)圖法 如圖 2，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊 長(zhǎng)都

11、是 a，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中畫出相應(yīng)的 ABC ，并求出它的面積類比創(chuàng)新：（3）若ABC 三邊的長(zhǎng)分別為（m0，n0，且 mn），求出這個(gè)三角形的面積如圖 3，網(wǎng)格中每個(gè)小長(zhǎng)方形長(zhǎng)、 寬都是 m，n，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中畫出相應(yīng)的 ABC ，14如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為 1 的網(wǎng)格中，點(diǎn) A，B，C 均在格點(diǎn)上 （ 1） AB 的長(zhǎng)等于；（2）在 ABC 的內(nèi)部有一點(diǎn) P，滿足 SPAB：SPBC：SPCA=1：2：3，請(qǐng)?jiān)谌鐖D 所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，畫出點(diǎn) P，并簡(jiǎn)要說明點(diǎn) P 的位置是如何找到的（不要求證明）15如圖，在由完全相同的小正方形組成的網(wǎng)格中， ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)都在格 點(diǎn)上（1）請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)

12、格中找一個(gè)格點(diǎn) P，連接 PB、PC，使 BPC= BAC ，并簡(jiǎn)要說 明理由；2）直接寫出此時(shí) tan BPC 的值16如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為 1，點(diǎn) A 點(diǎn) B 在網(wǎng)格中 的位置如圖所示（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系， 使點(diǎn) A 點(diǎn) B 的坐標(biāo)分別為 （1，2）（4，3）； （2）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，6），在平面直角坐標(biāo)系中找到點(diǎn) C的位置，連接 AB、 BC、CA，則 ACB=；（3）將點(diǎn) A、B、C 的橫坐標(biāo)都乘以 1，縱坐標(biāo)不變，分別得到點(diǎn) A1、B1、C1， 在圖中找到點(diǎn) A 1 、B1、 C1并順次連接點(diǎn) A1、B1、C1，得到 A 1B1C1，則這 兩個(gè)三角形關(guān)于 對(duì)稱17如圖，在正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，格點(diǎn) O 為原點(diǎn)，格點(diǎn) A 的坐 標(biāo)為（ 1，3）（1）