函數(shù)連續(xù)的定義性質(zhì)解析課件

1、函數(shù)連續(xù)的定義性質(zhì)解析函數(shù)連續(xù)的定義性質(zhì)解析定義1 設(shè)函數(shù) 在 內(nèi)有定義,如果函數(shù) 當(dāng) 時的極限存在,且等于它在點 處的函數(shù)值 ,即 那末就稱函數(shù) 在點 連續(xù). 定義2設(shè)函數(shù) 在 內(nèi)有定義, 稱函數(shù) 在點 連續(xù). 一、連續(xù)的定義9/9/20222福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院定義1 設(shè)函數(shù) 在 內(nèi)有定義,如果定定義3設(shè)函數(shù) 在 內(nèi)有定義, 稱函數(shù) 在點 連續(xù). 9/9/20223福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院定義3設(shè)函數(shù) 在 內(nèi)有定義, 稱函數(shù) 1.函數(shù)的增量9/9/20224福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院1.函數(shù)的增量9/6/20226福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院2.連續(xù)定義的另一表述定義4 設(shè)函數(shù) 在 內(nèi)有定義

2、，如果當(dāng)自變量的增量 趨向于零時，對應(yīng)的函數(shù)的增量 也趨向于零，即 或 ,那末就稱函數(shù)在點 連續(xù)， 稱為 的連續(xù)點.注意到:9/9/20225福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院2.連續(xù)定義的另一表述定義4 設(shè)函數(shù) 在 3.單側(cè)連續(xù)定理9/9/20226福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院3.單側(cè)連續(xù)定理9/6/20228福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院9/9/20227福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院9/6/20229福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院例1證9/9/20228福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院例1證9/6/202210福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院例2解右連續(xù)但不左連續(xù) ,9/9/20229福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院例2解右連續(xù)但不左連續(xù) ,

3、9/6/202211福州大學(xué)數(shù)學(xué)與4. 連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間9/9/202210福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院4. 連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間9/6/202212福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),稱函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)，或者叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如,(錯)9/9/202211福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),稱函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)，或者叫做在9/9/202212福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院9/6/202214福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院例3證法二9/9/202213福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院例3證法二9/6/202215福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院例4證

4、9/9/202214福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院例4證9/6/202216福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院例5解9/9/202215福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院例5解9/6/202217福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院二、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)與運算定理1連續(xù)函數(shù)的四則運算9/9/202216福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院二、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)與運算定理1連續(xù)函數(shù)的四則運算9/6/20即9/9/202217福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院即9/6/202219福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院例19/9/202218福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院例19/6/202220福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院例29/9/202219福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院例29/6/202

5、221福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理2 嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).例如,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).9/9/202220福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理2 嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格定理3例如,9/9/202221福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院定理3例如,9/6/202223福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院證將上兩步合起來:定理3得證.9/9/202222福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院證將上兩步合起來:定理3得證.9/6/202224福州大學(xué)數(shù)兩個定理的意義1.極限符號可以與函數(shù)符號互換;注意定理3是定理4的特殊情況.定理49/9/202223福州大學(xué)

6、數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院兩個定理的意義1.極限符號可以與函數(shù)符號互換;注意定理3是定理4的證明證9/9/202224福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院定理4的證明證9/6/202226福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院將上兩步合起來:9/9/202225福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院將上兩步合起來:9/6/202227福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院三、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.9/9/202226福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院三、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連例19/9/202227福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院例19/6/202229福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院例29/9/202228

7、福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院例29/6/202230福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院定理5 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.(均在其定義域內(nèi)連續(xù) )定理6 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.9/9/202229福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院定理5 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.(均在其定義域內(nèi)1. 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù), 在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);例如,這些孤立點的去心鄰域內(nèi)沒有定義.注意9/9/202230福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院1. 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù), 在其定義域內(nèi)不一定例1解例2解2. 初等函數(shù)求極限的方法-代入法.9/9/202231福州大學(xué)數(shù)學(xué)

8、與計算機(jī)學(xué)院例1解例2解2. 初等函數(shù)求極限的方法-代入法.9/例3解9/9/202232福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院例3解9/6/202234福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院例4解9/9/202233福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院例4解9/6/202235福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院例5解同理可得9/9/202234福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院例5解同理可得9/6/202236福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院例6解9/9/202235福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院例6解9/6/202237福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院3. 分段函數(shù)的連續(xù)性：各段內(nèi)部的連續(xù)性及各分段點處的連續(xù)性.9/9/202236福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院3. 分段函數(shù)的連續(xù)性：各段內(nèi)部的連續(xù)性及各分段點處的連續(xù)性思考題9/9/202237福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院思考題9/6/202239福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院思考題解答且9/9/202238福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院思考題解答且9/6/20224