5.16無窮級數(shù)與線面積分

1、第九講 無窮級數(shù)(一)大綱要求：1理解常數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件掌握正項級數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法用根值判別法了解任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關系理解冪級數(shù)收斂半徑的概念、并掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項求導和逐項積分），會求一些冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會由此求出某些數(shù)項級數(shù)的和了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件.（數(shù)一）8掌握ex 、sin x 、cos x 、ln(1 x) 及(1 x) 的麥克勞林（M

2、aclaurin）展開式.會用它們將一些簡單函數(shù)間接展開成冪級數(shù).（數(shù)一）級數(shù)的概念和狄利克雷收斂定理，會將定義在l, l上的函數(shù)展開為9了解級數(shù)，會將定義在0, l 上的函數(shù)展開為正弦級數(shù)與余弦級數(shù)，會寫出級數(shù)的和函數(shù)的表達式.（數(shù)一）(二)知識講解：一、數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì)1 數(shù)項級數(shù)的概念 n(1)定義 設 u是一個數(shù)列，則稱為一個數(shù)項級數(shù)，簡稱級數(shù)，un u1 u2 u3 unn1稱為數(shù)項級數(shù)的通項或一般項(2)部分和 Sn u1u un 稱為級數(shù)的部分和u(3)收斂與發(fā)散 若lim Sn S ，稱級數(shù)收斂， S 為該級數(shù)的和；若該極限值不存在，稱級n. 1 .數(shù)發(fā)散11n【例 9.1

3、】判別下列級數(shù)的斂散性： aqn1n1n1n1，1)n(n 2 數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)(1) 級數(shù) kun 與un 同斂散性，其中k 0 .n1n1(2) 若級數(shù)un 和 n 都收斂，則級數(shù)(un n )必收斂.n1n1n1在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項、不會改變級數(shù)的收斂性.如果級數(shù)un 收斂，則對這級數(shù)的項任意加括號后所成的級數(shù)仍收斂，且其和不變.n1n1收斂，則lim u 0 .(5）級數(shù)收斂的必要條件：若級數(shù)unnn【例 9.2】若級數(shù) an 收斂，則級數(shù)（n1）a a（A） ann1收斂 （B） (1) a 收斂 n n 1n1n nn12C）a a收斂（）收斂Dnn1n1.2.二、正項級數(shù)

4、的斂散性的判別1 正項級數(shù)的概念及其收斂的充要條件(1)定義： un ， un 0 ，則稱un 為正項級數(shù)n1(2)正項級數(shù)收斂的充要條件n1部分和數(shù)列 有上界S正項級數(shù)收斂unnn12 正項級數(shù)斂散性判別法(1)比較判別法1.比較審斂法的一般形式：設兩個正項級數(shù)un 與 n ,且存在自然數(shù)N ，使當n N 時n1n1有un vn 成立，如果級數(shù) n 收斂，則級數(shù)un 收斂；如果級數(shù)un 發(fā)散，則級數(shù)vnn1n1n1n1發(fā)散2.比較判別法的極限形式：設兩個正項級數(shù)與,如果存在極限lim un，則unnn n1n1n 當0 l 時,則級數(shù)un 與 n 同時收斂或同時發(fā)散.n1n1 當l 0 時,

5、如果 n 收斂,則級數(shù)un 必收斂.n1n1 當l ,如果 n 發(fā)散,則un 必發(fā)散.n1n11【例 9.3】級數(shù)的斂散性.n1n n 1【例 9.4】級數(shù)sin 1 的斂散性.nn1. 3.u n l ，則 n1un（2）比值審斂法:若正項級數(shù)u 滿足limnn1當l 1時un 收斂；當l 1時un 發(fā)散；當l 1時無法判斷n1n12n 1【例 9.5】判斷下列級數(shù)斂散性： n12n（3）根值審斂法(數(shù)一)若正項級數(shù)u 滿足lim n un l ，則nnn1當l 1時un 收斂；當l 1時un 發(fā)散；當l 1時無法判斷n1n12 1n【例 9.6】判斷下列級數(shù)斂散性： n12n三、任意項級數(shù)

6、1 交錯級數(shù)及其審斂法(1)定義：設un 0 ，稱級數(shù)(1)n1u 為交錯級數(shù)nn1(2)萊布尼茲定理：若交錯級數(shù)(1)n1u 滿足條件： un un1 ；lim un ，nnn1則級數(shù)(1)n1u n1收斂n.4.(1)n n【例 9.7】判斷級數(shù)n2的斂散性n 12 任意項級數(shù)設un 為任意項級數(shù),若級數(shù) un收斂,就稱un 絕對收斂;若 un發(fā)散，而un 收斂,n1n1n1n1n1則稱un 為條件收斂n1如果級數(shù)un 絕對收斂，則級數(shù)un 必定收斂n1n1【例 9.8】 判定下列級數(shù)的是絕對收斂，條件收斂或發(fā)散的sin nsin 1 1（2）(1)n1 sin x（1） 3 （3）(1)

7、n1 n(x 0)n2nnn1n1n1四、函數(shù)項級數(shù)設函數(shù)列un (x)(n 1, 2,3. 都在 I 上有定義，則稱u1(x) u2 (x) u1.定義為定義在 I 上的一個函數(shù)項級數(shù)， un (x) 稱為通項，若數(shù)項級數(shù)un (x0 ) 收斂，則稱x0 是n1. 5 .un (x) 的一個收斂點，所有收斂點n1的集合稱為級數(shù)的收斂域設級數(shù)un (x) 的收斂域為 I ，對于任意的 x I ，存在唯一的實數(shù) S2.和函數(shù)，使xn1得un (x) = Sn1成立，則定義域為 I 的函數(shù) S稱為函數(shù)項級數(shù)un (x) 的和函數(shù)xxn1五、冪級數(shù)1.冪級數(shù)及相關概念設an(n 0,1, 2, 3,

8、) 是實數(shù)列，則形如a)n 的函數(shù)項級數(shù)稱為x0 處的冪級數(shù)，(x xn0n0n0 x 0 時的冪級數(shù)為xn ，其中常數(shù)a0 , a1, a2 , an ,叫做冪級數(shù)的系數(shù)a 0n2.阿貝爾定理若冪級數(shù) a x0 ) 處收斂,則當 xx0在時,冪級數(shù)絕對收斂； 若級數(shù)xn0nn0 a xn 在0 時發(fā)散,則當時,冪級數(shù)發(fā)散0nn0由此可知存在 R 0 ，當 x R 時， a xn 發(fā)散，在 x RR 時， a xn 絕對收斂，當 xnnn0n0時， a可能收斂也可能發(fā)散，R 稱為收斂半徑，開區(qū)間(R, R) 叫做冪級數(shù)nxn 的xa nnn0n0收斂區(qū)間3 收斂半徑的求解方法 0 ，且存在極限

9、lim an1xn ,其系數(shù)當n N 時a ，(1)不缺項：設冪級數(shù)annann0n1 0 , 0, 則收斂半徑 R 0(2)缺項：設冪級數(shù) a xn ，其系數(shù)有無窮項為0 ，例如ax2n , a an0 x2n1 ，將xn2n1n2nnn0n0n0.6.un1 (x)，則 R 為收斂半徑的通項整體看成u (x), 由比值法， limnu (x)nn(1)n1n12n1x的收斂域【例 9.9】求冪級數(shù)n(2n 1)a2531和 ，則冪級數(shù) n x nnnxn 的收斂半徑分別為【例 9.10】設冪級數(shù)a n x 與b 的nn1 b231n 1n收斂半徑為（）531（C）1（D）（A） 5（B）3

10、54 冪級數(shù)的運算設 a n收斂半徑為R ，xn 收斂半徑為Rbnxb ann0n0,收斂半徑為 R minR a n (a bbxnxnnnn0n0n05 冪級數(shù)的性質(zhì)(1) 冪級數(shù) a xn 的和函數(shù) S (x) 在其收斂域 I 上連續(xù)nn0(2) 冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導，即(a xn ) nn0n0(3) 冪級數(shù)在其收斂域內(nèi)可逐項積分，即. 7.xa xndx n0n06 冪級數(shù)求和S(x) a xn , x D , D 為收斂域nn01利用ex ,sin),的冪級數(shù)展開式求和1 x分析運算在求冪級數(shù)的和函數(shù)時經(jīng)常要用到，其方法是先逐項求導或逐項積分，將其變?yōu)閹讉€已知和函數(shù)的冪級

11、數(shù)，再求和7 函數(shù)的冪級數(shù)展開式(1) 直接展開法f (n ) (x).a 0 , limnn!n(2) 間接展開法常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式： ex , sin x, cos x,.通過求導或積分或拆分使 f (x) 變成已知冪級數(shù)展開式函數(shù)的組合，把已知展開式帶入.展開成 x 1 的冪級數(shù).x 3f 【例 9.11】將函數(shù).8.11)x在區(qū)間(1,1) 內(nèi)的和函數(shù) S(x) 2n【例 9.12】求冪級數(shù)(n12n 1) ，求 I 【例 9.13】設 I 4 sinn x cos xdx(n 0,1, 2,nn0n0. 9 .習題1.判斷級數(shù)1 cos 1 的收斂性n n1 ：收斂 x 3n的收

12、斂域2求冪級數(shù)n1n 3n： 0, 6n13.已知1n1an 2, a2n1 5 ，則 an n 1n1：81n14.（2010 年數(shù) 1）求冪級數(shù)x2n 的收斂域及和函數(shù)2n 1n1：收斂域1,1；和函數(shù)為1,15.（2006 年數(shù) 1）將函數(shù) f 展開成 x 的冪級數(shù)。x21 13n0, x 1,1n1x2n n1：.10.第十講曲線積分與曲面積分(一)大綱要求：理解兩類曲線積分的概念，了解兩類曲線積分的性質(zhì)及兩類曲線積分的關系掌握計算兩類曲線積分的方法掌握格林公式并會運用平面曲線積分與路徑無關的條件，會求二元函數(shù)全微分的原函數(shù)了解兩類曲面積分的概念、性質(zhì)及兩類曲面積分的關系，掌握計算兩類

13、曲面積分的方法，掌握用高斯公式計算曲面積分的方法，并會用斯托克斯公式計算曲線積分了解散度與旋度的概念，并會計算會用曲線積分及曲面積分求一些幾何量與物理量(二)知識講解一、曲線積分 對弧長的曲線積分(1) 對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)1.對弧長的曲線積分的定義設 L 為 xoy 面內(nèi)的一條光滑曲線弧， f (x, y) 在 L 上有界，用Mi 將 L 分成n 小段si ，任取一點(i ,i ) si i 1, 2, 3., n ，n，令 maxs1, s2,.作和 f (i ,i )si1n, s 當 0 時，limf ( , )s 存在，稱此極限值為 f (x, y) 在 L 上對弧長的曲線積

14、iiin 0 i1分(第一類曲線積分）nL f (x, y)ds lim f (i ,i )si 記為 0 i12.對弧長曲線積分的性質(zhì)設 L L1 L2 ，則L f (x, y)ds = L1f (x, y)ds + f (x, y)dsL2L f (x, y) g，,為常數(shù). 11 . f (x, y) 1 ，則Lf (x, y)ds s ( s 為 L 的弧長）； 設在 L 上 f (x, y) g(x, y)，則L f (x, y)ds L g(x, y)ds(2）對弧長曲線積分的計算 ( ) )(設 f (x, y) 在弧 L 上有定義且連續(xù)， L 方程(），t=f (t), (t)

15、 2 (t) 2 (t)dt f (x, y)dsL(3) 簡化運算1.利用奇偶性、對稱性若 L 關于 y 軸對稱，則, f (x, y) f (x, y)，其中L 為 L 在 y 軸右邊0,f (x, y)ds 2 f (x, y)ds , f (x, y) f (x, y)1LL12.利用輪換對稱性若 L 關于 y x 對稱，則Lf (x, y)ds L f ( y, x)ds 【例10.1】設 L 是 y2 4x 從O(0, 0) 到 A(1, 2) 一段，試計算 yds .L【例10.2】求 L y ds ，其中 L 為2圓周 x2 y2 1.12.對坐標的曲線積分(1) 對坐標的曲線

16、積分定義和性質(zhì)1.定義：設 L 為 xoy 面內(nèi)從點 A 到點 B 的一條有向光滑曲線弧，函數(shù) P(x, y),Q(x, y) 在 L一點列 Mi1 (xi1 , y(i 1, 2,., n) 把 L 分成n 個上有界.在 L 上沿 L 的方向任意有向小弧段， Mi1Mi (i 1,2, , n設xi xiyi1 ，上任意取定的點. 如果當個小弧段長度的最大值 0 時， 點 (i ,i )為 Mi1Min P(i ,i )xi 的極限總存在，則稱此極限為函數(shù) P(x, y) 在有向曲線弧 L 上對坐標 x 的曲i1n線積分，記作L P(x, y)dx .類似地，如果Q(i ,i )y 的極限值

17、總存在，則稱此極限為i1函數(shù)Q( x, y) 在有向曲線弧 L 上對坐標 y 曲線積分(第二類曲線積分），記作 L Q(x即.P(x, y)dx lim，Q(x, y)d 0LL2.對坐標曲線積分的性質(zhì) L aP(x, y)dx aL L 為有向曲線弧， L 為 L 與方向相反的曲線，則L= L， L Q(x, y)dy = L Q(x, y 設 L L L ，則Pdx QdyPdx QdyPdx Qd=+12LLL12(2) 對坐標的曲線積分的計算x (t),設 P(x, y),Q(x, y) 在LL上有定義，且連續(xù),的參數(shù)方程為y (t),L P(x, y)dx Q.13 .3 兩類曲線積

18、分之間的關系L P(x, y ) dx Q(x, y) dy P(x, y ) cos Q(x, y) cos dsL其中，、cos 為有向曲線 L 正向切向量的方向余弦與平面曲線積分類似，對于空間曲線積分有L P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz L P(x, y, z) cos Q(x, y, z) cos ds其中， cos 、 cos 為有向曲線 切向量的方向余弦 x y dx x y dyx2 y2【例 10.3】計算曲線積分 L，其中 L 為圓周 x y a （按逆時222針方向繞行）.【例 10.4】計算曲線積分 xdx ydy x y 1

19、 dz ，其一段直線.中 是從點1,1,1 到點2,3, 4 的二、曲面積分1 對面積的曲面積分(1) 對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)1.定義 ：設曲面 是光滑的, f (x, y, z) 在 上有界，把 分成n 小塊，任取(i ,i , i ) Si ,作乘積 f (i ,i , i ) Si (i 1, 2,., n) ，再作和 f (i ,i , i )Si (i 1, 2,., n) ，i1n.14.當各小塊曲面直徑的最大值 0 時，這和的極限存在，則稱此極限為 f (x, y, z) 在 上對面積的曲面積分或第一類曲面積分，記 f (x, y, z)dS ，即n2.性質(zhì)：與二重積分類似

20、1 f (x, y, z) 1時， S dS 為曲面 的面積 lim f (i ,i , i ) Sif (x, y, z)dS 0 i1， f (x, y, z)dS f (x, y, z)dS f (x, y, z)dS 212(2) 對面積的曲面積分的計算方法如果曲面 的方程 z z(x, y) 為單值函數(shù)， 在 xoy 面上的投影區(qū)域為 Dxy ，則f (x, y, z)dSf x, y, z(x, y) 1 z2 (x, y) z2 (x, y) dxdyxyDxy如果曲面 的方程 y y(x, z) 為單值函數(shù)， 在 xoz 面上的投影區(qū)域為 Dxz ，則f (x, y, z)dS

21、 f x, y(x, z), z 1 y2 (x, z) y2 (x, z) dxdzxzDxz如果曲面 的方程 x x( y, z) 為單值函數(shù)， 在 yoz 面上的投影區(qū)域為 Dyz ，則f (x, y, z)dS f x( y, z), y, z 1 x2 ( y, z) x2 ( y, z) dydzyzDyz(3) 簡化運算1.利用奇偶性對稱性：若 關于 xoy 對稱，則f (x, y, z) f (x, y, z)0,f (x, y, z)dS 2f (x, y, z)dS, f (x, y, z) f (x, y, z)1其中1 是 在 z 0 部分2.利用輪換對稱性：若 的方程

22、關于 x, y, z 具有輪換對稱性，則 f (x, y, z)dS f ( y, z, x)dS f (z, x, y)dS . 15.【例 10.5】計算 (x2 y2 z)ds ，其中 為錐面 z x2 y2 介于 z 0 及 z 1之間的部分2 對坐標的曲面積分(1) 對坐標的曲面積分的概念與性質(zhì)1.定義：設 為光滑的有向曲面，R(x, y, z) 在 上有界，把 分成n 塊Si ，Si 在 xoyn上任一點，若 0 ，lim，( , , ) 是S面上投影(S )存在，R(i xyiiii 0 i1稱此極限值為 R(x, y, z) 在 上對坐標 x, y 的曲面積分，或 R(x, y

23、, z)dxdy 在有向曲面 上的第二類曲面積分，記為 R(x, y, z)dxd ，即nR(x, y, z)dxdy limR( 0 i1類似 P, Q 對 yoz 及 zox 曲面積分分別為：nnPdydz =Qdzdx = , ,limP(limQiii 0 i1 0 i12.性質(zhì)：(1）若 1 2 ，則 Pdydz Pdydz + Pdydz12(2）設 為有向曲面， 表示與 相反的側(cè)，則 Pdydz = Pdydz ； Qdzdx = Qdzdx ； Rdxd = R(2) 對坐標的曲面積分的計算法.16.設 由 z z(x, y) 給出的有向曲面， 在 xoy 面上的投影為 Dxy

24、 ，z z(x, y) 在 Dxy內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)， R 在 上連續(xù)，則 Rdxdy = D Rx, y, z(x,xy其中當曲面取上側(cè)，取正號，曲面取下側(cè)，則取負號 3 兩類曲面積分間的關系 Pdydz Qdzd= P cos其中(cos, cos , cos ) 為有向曲面 在點(x, y, z) 處的法向量的方向余弦轉(zhuǎn)換投影法：若 S : z z(x, y),(x,，分塊光滑，則 Pdydz Qdzd其中 z z(x, y) , S 取上側(cè)，取 ， S 取下側(cè)，取 【例 10.6】計算 (x z) cos zdx介于 z 0, z 之間的部分的下側(cè)，其中 為曲面 z 1 (x22【例

25、 10.7】計算 (z2 x)dydz介于 z 0 和z 2 之間的下側(cè). 17 .三、三大公式及其應用1 格林公式設閉區(qū)域 D 由分段光滑的曲線 L 圍成，函數(shù) P(x, y) 和Q(x, y) 在 D 上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則有QPPdx Qdy dxdyxyLD其中 L 為 D 的取正向的邊界曲線該公式叫做格林公式2 平面上曲線積分與路徑無關的條件設區(qū)域G 是一個單連通區(qū)域，函數(shù) P(x, y),Q(x, y) 在G 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則曲線積分 L Pdx Qdy 在G 內(nèi)與路徑無關(或沿G 內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零）的充要條件是：P Q 在G 內(nèi)恒成立yx3 二元函數(shù)的全微分求

26、積設區(qū)域G 是一個單連通區(qū)域，函數(shù) P(x, y),Q(x, y),在G 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則表達式 P(x, y)dx Q(x, y)dy 在G 內(nèi)為某函數(shù)u(x, y) 的全微分的充分必要條件是P Q 在G 內(nèi)恒成立,yx(uyx) Pyx)dx Q(x, y)dy 且( x y004 高斯公式設空間閉區(qū)域 是由分片光滑的閉曲面 所圍成的，函數(shù) P(x, y),Q(x, y) ，R(x, y, z)在 上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則 ( P Q R )dv Pdydz Qdzdx Rdxdyxyz (P cos Q cos R cos )ds其中 是 的整個邊界曲面的外側(cè)，cos, cos , cos 是 上點(x, y, z) 處的法向量的方向余弦，稱之為高斯公式.18.5 斯托克斯公式設 為分段光滑的空間有向閉曲線， 是以 為邊界的分片光滑的有向曲面， 的正向與的 側(cè)符合右手規(guī)則， P, Q, R 在曲面 (連同邊界 )上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則有 R Q dydz P R dzdx Q P dxdy yPdx Qdy Rdz zx xy z四、散度、