初中數(shù)學(xué)教材解讀人教九年級上冊(2023年修訂)第二十四章圓弧長及扇形面積教學(xué)設(shè)計_第1頁
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1、弧長及扇形面積教學(xué)設(shè)計瀘縣得勝鎮(zhèn)順河學(xué)校 九年級 賀華友教學(xué)任務(wù)分析: 弧長和扇形面積公式是與圓有關(guān)的計算中的兩個常用公式應(yīng)用弧長和扇形面積公式可以計算一些與圓有關(guān)的圖形的周長和面積,也可以解決一些簡單的實際問題學(xué)習(xí)這兩個公式也為圓錐側(cè)面積公式的推導(dǎo)打下了基礎(chǔ)弧長公式是在圓周長公式的基礎(chǔ)上,借助部分與整體之間的聯(lián)系推導(dǎo)出來的運用相同的研究方法,可以在圓面積公式的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出扇形面積公式,進而通過弧長表示扇形面積教學(xué)目標:1理解 1的圓心角所對的弧長等于圓周長的,所對的扇形面積等于圓面積的;能夠發(fā)現(xiàn) n的圓心角所對的弧長和扇形面積都是 1的圓心角所對的弧長和扇形面積的 n 倍;能利用弧長表示扇形

2、面積并能利用公式計算弧長和扇形面積2在弧長和扇形面積公式的推導(dǎo)過程中,發(fā)現(xiàn)弧長與圓周長、扇形面積與圓面積都是部分與整體之間的關(guān)系,從而將計算弧長和扇形面積的問題轉(zhuǎn)化為求圓周長和圓面積的一部分來解決,體會轉(zhuǎn)化、類比的數(shù)學(xué)思想教學(xué)重點:弧長和扇形面積公式的推導(dǎo)及運用教學(xué)難點:運用弧長和扇形面積解決問題.教學(xué)過程情景導(dǎo)入問題情境:在一塊空曠的草地上有一根柱子,柱子上拴著一條長3m的繩子,繩子的另一端拴著一頭牛.如果這頭牛只能繞柱子轉(zhuǎn)過角,那么這頭牛吃草的最大活動區(qū)域有多大?你能畫出這個區(qū)域嗎?圖1學(xué)生思考回答:畫出牛吃草的最大活動區(qū)域的草圖.這個圖形由哪幾部分組成?你知道每一部分的大小嗎?你解決問題

3、的辦法是什么?師生活動:學(xué)生畫出牛吃草的活動區(qū)域草圖(如圖1),師生共同總結(jié)得出:這個圖形有兩條半徑,圓心角所對的弧.半徑、圓心角可以通過度量直接得到大小,提出弧長和圖形面積的計算問題.形成扇形面積的概念.設(shè)計意圖:通過實際問題的提出和解決,從現(xiàn)實情境中引入本節(jié)課要講授的內(nèi)容.形成概念扇形概念:由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形.判斷:設(shè)計意圖:加強扇形概念“元素”的鞏固:圓心角、圓心角所對的?。▋?yōu)弧、劣弧或半圓).探究弧長公式我們知道,弧是圓的一部分,弧長就是圓周的一部分.如何計算圓周長?如何計算弧長?教師追問1:復(fù)習(xí)回憶:圓的周長公式:_圓的周長可以看作是多少度的圓

4、心角所對的弧長?在同圓或等圓中,每一個 1的圓心角所對的弧長有怎樣的關(guān)系?1的圓心角所對的弧長是多少? n的圓心角所對的弧長是多少?教師追問2:怎樣計算半徑為 R 的圓中,1的圓心角所對 的弧長?怎樣計算半徑為 R 的圓中,2的圓心角所對 的弧長?怎樣計算半徑為 R 的圓中,5的圓心角所對 的弧長?設(shè)計意圖:引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圓心角,讓學(xué)生體驗弧長公式的推導(dǎo)過程.教師追問3:當半徑為 R ,圓心角為n時,你能計算出弧長嗎?師生活動:學(xué)生獨立思考,n的圓心角所對的弧長是1的圓心角所對弧長的n倍,半徑為R的圓周長為2R,利用1圓心角所對的弧長,再乘n,就可以得到n的圓心角所對的弧長為.此時教師還要強調(diào)公

5、式中n的意義,n表示1的圓心角的倍數(shù),它是不帶單位的,公式中,180也是不帶單位的.設(shè)計意圖:讓學(xué)生經(jīng)歷從整體到部分的研究過程,從圓周長公式出發(fā)推導(dǎo)出弧長公式.教師追問4:弧長的大小由哪些量決定?師生活動:學(xué)生獨立思考,在弧長公式中,180和是常數(shù),n和R是變量.弧的長度與圓心角的度數(shù)和圓的大?。ò霃剑┯嘘P(guān):當圓的大小一定時,圓心角越大,弧的長度越大;當圓心角的度數(shù)一定時,圓越大,弧的長越大.設(shè)計意圖:通過辨析弧長公式,讓學(xué)生加深對公式的理解.探究面積公式教師提問:如何計算扇形面積?你能類比研究弧長公式的方法推導(dǎo)出扇形面積的公式嗎?師生活動:學(xué)生獨立思考并討論.類比弧長公式的研究過程(從求36

6、0的圓心角所對的弧長出發(fā),先研究1的圓心角所對的弧長,在研究n的圓心角所對的弧長),可以發(fā)現(xiàn)在半徑為R的圓中,360的圓心角所對的扇形的面積就是圓面積,所以1的圓心角所對的扇形面積是圓面積的,即,則n的圓心角所對的扇形面積為.設(shè)計意圖:類比弧長公式的發(fā)現(xiàn)過程,由學(xué)生獨立思考、歸納出扇形的面積公式.五、探究扇形的面積和弧長、半徑之間的關(guān)系教師提問:比較扇形面積公式和弧長公式,你能用弧長表示扇形面積嗎?師生活動:學(xué)生獨立思考并討論.通過觀察可以發(fā)現(xiàn)扇形面積公式中,分子含有因式,則分子可寫成;分母360可寫成.所以可以用弧長來表示扇形面積,,所以.其中l(wèi)為扇形的弧長,R為半徑.此時教師可以引導(dǎo)學(xué)生,

7、扇形面積的另一個計算公式與三角形的面積公式類似,只要把扇形看作是一個曲邊三角形,把弧長l看成底,半徑R看成高就可以了.設(shè)計意圖:通過對比弧長和扇形面積公式,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以通過弧長表示扇形面積,為圓錐側(cè)面積公式的推導(dǎo)作準備.六、公式的直接運用例1.已知扇形的半徑為12cm,圓心角為120.求弧長和扇形面積.先學(xué):學(xué)生直接代公式計算,同桌互相訂正.后教:(1)思考問題方法(2)教師根據(jù)學(xué)生反映的問題進行說明:公式中的180、n表示倍分關(guān)系,是無名數(shù)沒有特別要求,計算結(jié)果保留.例2.已知一個扇形的圓心角是120,面積是48,求弧長.鼓勵學(xué)生獨立思考或交流,發(fā)表自己的想法.設(shè)計意圖:讓學(xué)生對公式的運用

8、達到靈活的程度.先利用扇形面積公式列方程,解出半徑R,然后再代入弧長公式進行計算,讓學(xué)生明確弧長(或扇形面積),圓心角度數(shù)、半徑三個量中,只要知道其中的兩個量,就可以求出第三個量.七、公式的實際應(yīng)用例3、制造彎形管道時,經(jīng)常要先按中心線計算“展直長度”,再下料,試計算圖中所示的管道的展直長度 L(結(jié)果取整數(shù))師生活動:(1)學(xué)生分析題中條件和解題思路:管道由三個圖形組成(兩條線段和一條?。?,要求展直長度L,需要知道兩條線段長和弧長;其中線段長已知,要求弧長需要知道圓心角和半徑;而圓心角和半徑題目都已經(jīng)給出了,由弧長公式即可求出弧長,進而可求出展直長度L.(2)學(xué)生獨立完成解題過程,一名學(xué)生板書

9、,師生共同交流.設(shè)計意圖:通過實際問題,加深學(xué)生對弧長公式的認識.OABCD圖3例4、如圖,水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是 m,其中水面高 m,求截面上有水部分的面積(結(jié)果保留小數(shù)點后兩位)教師追問:(1)你能否在圖中標出截面半徑和水高?(2)分析截面上有水部分圖形的形狀,如何求它的面積?ABCDOR=900 mm 700 mm 700 mm師生活動:(1)教師通過問題引導(dǎo)學(xué)生分析解題思路,并畫出相應(yīng)的圖形(圖3).然后分析有水部分的形狀為弓形,從而確定可弓形面積的計算方法(扇形面積三角形面積).進而通過已知求出相應(yīng)線段和圓心角即可解決本題.(2)學(xué)生獨立完成解題過程,一名學(xué)生板書.(3)師生共同分析板書學(xué)生的解題過程.設(shè)計意圖:結(jié)合具體例子介紹弓形的面積,加深學(xué)生對扇形面積公式的認識.同時小結(jié)不規(guī)則圖形的解法:若圖形為不規(guī)則圖形時,要把它轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形來解決.練習(xí) 教科書第113頁練習(xí)第1、2、3題師生活動:兩名學(xué)生分別板書第2,3題,其他學(xué)生在練習(xí)本上完成,教師巡視、知道.然后小組交流,并評價.O設(shè)計意圖:練習(xí)1是對弧長公式進行辨析,半徑和圓心角的大小都對弧長的大小有影響.練習(xí)2是鞏固弧長公式.練習(xí)3是鞏固扇形的面積公式.八、小結(jié) 教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課

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