數(shù)值分析典型習(xí)題

1、01 2 3 13. 給定數(shù)據(jù) 特別聲明：考試時需帶計算器作輔助計算*11x* = 2015是經(jīng)四舍五入得到的近似值，則其相對誤差 er* 1 10-3.42. l0(x),l1(x), ,ln(x)是以 x0,x1, , xn為節(jié)點的拉格朗日插值基函數(shù)，則3設(shè) f(0)=1,f(1)= 3, f(2)= 4,f(3)= 2 ， f 0，1，2，3 = 1 .3274. 利用 Simpson 公式求 x2dx= 7 .1 n n 3 15. 設(shè)求積公式 0 f(x)dxAk f (xk),( n 1)是 Gauss型求積公式，則Akxk3.0 k=0 k 0 46. 數(shù)值微分公式 f (xi)

2、 f(xi h 2) f(xi h 2)的截斷誤差為 O(h2) .h117. 設(shè)A，則 A的譜半徑 (A) 1 ， A的條件數(shù) cond1(A)= 4 .0 112x33 (xn2 1)8. 用牛頓下山法求解方程 x x 0根的迭代公式是 x n 1 x n x3 3x ,3xn 3x下山條件是f(xn 1) f(xn) .9.對任意初始向量 x(0) 及任意向量 f ，線性方程組的迭代公式 x(k 1) Bx (k) f (k 0,1,2, ) ，迭代序列 x(k) 收斂于方程組的精確解 x 的充分必要條件是(B) 1 .10. 應(yīng)用冪法迭代公式 x(k+1) = Ax(k)當(dāng)k充分大時有

3、 x(k+2)+px(k+1)+qx(k) 0，則 A 的按模最大的p p 4q特征值 1,2 =.1,2 211. 設(shè)數(shù)據(jù) x1, x2的絕對誤差分別為 0.005和0.002，則 x1 x2的絕對誤差約為( D )0.005 B. 0.002 C. 0.003 D. 0.00712. 對于多項式 Pn(x) a0 a1x a2x2anxn 在某點 x0處函數(shù)值的秦九韶算法基于如下公式：算法計算的始點為 an ，而這一算法的優(yōu)點在于( C )精度高 B. 計算量小 C. 精度高，且計算量小 D. 既收斂又穩(wěn)定x0 x1x2xnf (x0 )f (x1)f(x2 )f (xn )由它們所確定的

4、 Lagrange 多項式與 Newton 多項式，以下說法正確的是( C )A.從數(shù)值算法上講，它們是不同的，不過 , 一般而言 , 后者計算結(jié)果精度會更高 B.無論從數(shù)值算法 還是從數(shù)學(xué)意義上講，它們都是相同的 , 只是后者計算更靈活C.從數(shù)值算法講它們不同，但數(shù)學(xué)意義上講它們卻是相同的D.無論從數(shù)值算法還是從數(shù)學(xué)意義上講，它們都是不同的14. 利用求解方程 f (x) 0根的牛頓迭代法公式為 xn 1 xn f (xn) 。利用這一方法進行求解時，n n f (xn)迭代所用初始點的選取很關(guān)鍵，以下最好的說法是( B )A.對于單重根是局部二階收斂的，初始點應(yīng)選取較接近于根的值，但不一定

5、收斂它是局部二階收斂的，初始點選用較接近于根的值即收斂對于單重根是二階收斂的，初始值 x0 任意選取對于多重根是超線性收斂的，且初始點 x0 任意選取 15 求解方程 f (x) 0時，可將方程變形而得到迭代格式 xn 1 (xn) ，當(dāng)?shù)袷?xn 1 (xn) 中 函數(shù) (x) 滿足( D )條件時，這一迭代格式必收斂。A. (x) 1 B. (x) 1 C. (x) 1 D. (x) 116. 求矩陣特征值與特征向量的冪法與反冪法，分別可以用于求矩陣的( A )A. 按模最大特征值與最小特征值，及其對應(yīng)特征向量所有特征值及其對應(yīng)特征向量按模最大特征值及其對應(yīng)特征向量按模最小特征值及其對

6、應(yīng)特征向量17 求解微分方程初值問題數(shù)值解的改進的歐拉折線法，其局部截斷誤差的階是( B )A. 1B. 2C.3 D. 4已知 n 對觀測數(shù)據(jù) (xk, yk),k 1,2,., n , 這 n 個點的擬合直線 y a0 x a1，a0,a1是使( D ) 最小的解nA.yk a0 a1xkk1nB.yk a0 a1xkk1n2C.(yk a0 a1xk )k1n2D.(yk a0 xk a1 )若復(fù)化梯形公式計算定積分 e xdx,要求截斷誤差的絕對值不超過 0.5 10 4 ，則n ( A )k1A. 41B. 42C. 43D. 40已知函數(shù) y f (x) 的數(shù)據(jù)表x 025 1y

7、3 69 0則 y f (x)的拉格朗日插值基函數(shù) l2 (x) ( A )x(x 2)(x 1)5(5 2)(5 1)(x 2)(x 5)(x 1)(0 2)(0 5)(0 1)x(x 5)(x 1)2(2 5)(2 1)x(x 2)(x 5)1 (1 2)(1 5)求解初值問題 y f (x,y), y(x0) y 0的近似解的梯形公式是 yn 1 ( A ) hhA. yn2hf (xn,yn)f(xn 1,yn 1)B.yn2h f (xn, yn)f (xn 1,yn 1)C. ynh2 f (xn,yn)f(xn 1,yn 1)D.ynh2 f (xn, yn)f (xn 1,yn

8、)下面( D )不是數(shù)值計算應(yīng)注意的問題A. 注意簡化計算步驟，減少運算次數(shù)B. 要避免相近兩數(shù)相減C. 要防止大數(shù)吃掉小數(shù)D. 要盡量消滅誤差23. 對矩陣特征值滿足 1 2n 情況，冪法收斂速度由比值 r2 確定，1r 越小收斂速度A)A. 越快 B. 越慢 C. 不變 D. 不確定24. 令 x0 0 ， x1 1，寫出 y(x) e x的一次插值多項式 L1(x) ，并估計插值余項 解：由 y0 y(x0) e 0 1， y1 y(x1) e 1 可知，L1(x)x x1y0 x0 x1y1x x0 x1 x0(x 1) e 1x 1 (e 1 1)x余項為 R1(x)0,1 ，f 2

9、(! ) (x x0 )(x x1) e2 x(x 1),2! 21故 R1(x) 2m0 ax1 em0 axx1 x(x25. 已知函數(shù) y f (x) 的相關(guān)數(shù)據(jù)1 3 9 271由牛頓插值公式求三次插值多項式 P3（x） ，并計算 3 P（1） 的值近似值。（注：要求給出差商表）2解：差商表0012113264/3229683327由牛頓插值公式：26. 給出計算 x 2 2 2 的迭代格式，討論迭代格式的收斂性 , 并證明 x 2 。解：由題意可得出其迭代格式為xk 12 xk . 且 0 xk 2當(dāng) 0 x 2時，(x)1, 所以迭代格式是收斂的 .由 lkim xk 1 x 可得

10、，x 2 x . (x )2 2 x ,(x )2 x 2 0. 解得： x11,x2 2. 其中x1 1 0 舍去。可得x 2. 即解得 x 2.27. 應(yīng)用緊湊格式的 Doolitte 分解（即 LU 分解）法求解方程組：1020 x150101x231243x3170103x47解：由緊湊格式的 Doolitte 分解（略）得：1102001101L及U，于是 求解1 2 1210101221 #21 1y15y1 51 0 2 0 x1501y23可得y2 3 ，求解101x23可得121y317y3 621x360101y47y4 42x44x2x3x4x1 11 。225x1 2x

11、2 x3 1228. 設(shè)方程組 x1 4x2 2x3 20 ，2x1 3x2 10 x3 3(1)考察用雅可比迭代法，高斯 - 賽德爾迭代法解此方程組的收斂性；(2)寫出雅可比迭代法及高斯 - 賽德爾迭代法解此方程組的迭代格式。5 2 1解： (1) 由系數(shù)矩陣 1 4 2 為嚴格對角占優(yōu)矩陣可知，2 3 10使用雅可比、高斯 - 賽德爾迭代法求解此方程組均收斂。 精確解為 x1 4,x2 3,x3 2(2) 使用雅可比迭代法：x(k 1)1 (k) 1 D 1(LU)x(k)D 1b101051211204413110512 x(k)0250310(k)1255310使用高斯 -賽德爾迭代法

12、：寫出求解線性代數(shù)方程組的 Gauss-Seidel 迭代格式，并分析此格式的斂散性。解：方程組的 Gauss-Seidel 迭代格式為其迭代矩陣為其特征方程為解之得譜半徑 (BG )26 1 ，故迭代發(fā)散 .29. 已知 x0 14,x1 21,x2 43, 推導(dǎo)以這三點為求積節(jié)點在 0,1 上的插值型求積公式 TOC o 1-5 h z 11130 f(x)dx A0 f(1) A1f(1) A2f(3) ； 042412指明求積公式所具有的代數(shù)精度； (3)用所求公式計算 01x2dx。解： (1)所求插值型的求積公式形如：11113故 0 f (x)dx 2 f ( ) f ( ) 2

13、f( ) 。03424(2)所求的求積公式是插值型， 故至少具有 2次代數(shù)精度，再將 f(x) x3,x1(x), 1(x)xi2 21，而i1代入上述公式， 可得 故代數(shù)精度是 3 次。11 1 1 31由 2)可得：0 x2dx132( 14)2(21)22(43)213。見教材 P67 例 4.1.1 。用 Romberg方法計算 1 xdx,寫出計算過程并將結(jié)果填入下表 (* 號處不填 ).0122.793062.797342.7974032.79634單原子波函數(shù)的形式為 y ae bx ，試按照最小二乘法決定參數(shù) a和 b ，已知數(shù)據(jù)如下：X0124y2.0101.2100.7400.450解：對 y ae bx 兩邊取對數(shù)得 ln y ln a bx ，令 Y ln y ， A lna ，則擬合函數(shù)變?yōu)?Y A bx ， 所給數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為X0124y0.69810.1906-0.3011-0.7985取 0 (x) 1， 1(x) x，則40(x), 0(x)1 4 ，i140(x), 1(x)1(x), 0(x) xi 7 ，