江西省信豐縣高中數(shù)學(xué) 《基本不等式復(fù)習(xí)》課件 新人教A選修45

1、書 山 有 路 勤 為 徑，學(xué) 海 無 崖 苦 作 舟少 小 不 學(xué) 習(xí)，老 來 徒 傷 悲 成功=艱苦的勞動+正確的方法+少談空話 2021/8/8 星期日1不等式復(fù)習(xí)習(xí)題課習(xí)題課2021/8/8 星期日2不等式定理及其重要變形：一、知識掃描:（定理）重要不等式（推論）基本不等式（又叫均值不等式）2021/8/8 星期日3代數(shù)意義： 如果把 看做是兩正數(shù)a、b的等差中項(xiàng), 看做是兩正數(shù)a、b 的等比中項(xiàng), 那么均值不等式可敘述為: 兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng).2021/8/8 星期日4幾何意義： 均值不等式的幾何解釋是: 半徑不小于半弦. 結(jié)構(gòu)特點(diǎn)： 均值不等式的左式為和結(jié)構(gòu),

2、右式為積的形式, 該不等式表明兩正數(shù)的和與兩正數(shù)的積之間的大小關(guān)系, 運(yùn)用該不等式可作和與積之間的不等變換.ab2021/8/8 星期日5二、公式的拓展當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)“=”成立2021/8/8 星期日6（1）三、公式的應(yīng)用（一）證明不等式（2）已知求證（以下各式中的字母都表示正數(shù)）2021/8/8 星期日72021/8/8 星期日8證明：2021/8/8 星期日9注意:本題條件a,b,c為實(shí)數(shù)2021/8/8 星期日10法解不等式求證:a+ac+c+3b(a+b+c) 0 證明: 原式=a+(c+3b)a+(c+3b+3bc) 0 設(shè)f(a)= a+(c+3b)a+(c+3b+3bc) =

3、(c+3b)-4(c+3b+3bc) =-3(c+b) f(a) 0 (當(dāng)且僅當(dāng)-b=c=a取等號)2021/8/8 星期日11四、公式的應(yīng)用（二）求函數(shù)的最值（2）已知 是正數(shù)， （定值）， 求 的最小值； 已知 是正數(shù)， （定值）， 求 的最大值； （1）一正二定三相等和定積最大積定和最小2021/8/8 星期日12已知 ，求函數(shù) 的最大值； （3）已知 是正數(shù)，滿足 ， 求 的最小值； （4）創(chuàng)造條件注意取等號的條件2021/8/8 星期日13（3 ）已知：0 x，求函數(shù)y=x（1-3x）的最大值利用二次函數(shù)求某一區(qū)間的最值分析一、原函數(shù)式可化為：y=-3x2+x，分析二、挖掘隱含條件即

4、x=時(shí) ymax=3x+1-3x=1為定值，且0 x則1-3x0；0 x，1-3x0y=x（1-3x）=3x（1-3x） 當(dāng)且僅當(dāng) 3x=1-3x 可用均值不等式法精題解析配湊成和成定值2021/8/8 星期日14精題解析：（4）已知正數(shù)x、y滿足2x+y=1，求的最小值即 的最小值為過程中兩次運(yùn)用了均值不等式中取“=”號過渡，而這兩次取“=”號的條件是不同的，故結(jié)果錯。錯因：解：2021/8/8 星期日15（4）已知正數(shù)x、y滿足2x+y=1，求的最小值正解：當(dāng)且僅當(dāng)即:時(shí)取“=”號即此時(shí)“1”代換法2021/8/8 星期日16特別警示：用均值不等式求最值時(shí)，要注意檢驗(yàn)最值存在的條件，特別地

5、，如果多次運(yùn)用均值不等式求最值，則要考慮多次“”（或者“”）中取“=”成立的諸條件是否相容。2021/8/8 星期日17閱讀下題的各種解法是否正確，若有錯，指出有錯誤的地方。（5）錯題辨析2021/8/8 星期日18正確解法一“1”代換法2021/8/8 星期日19（5）已知正數(shù)a、b滿足a+2b=1，求的最小值正解：當(dāng)且僅當(dāng)即:時(shí)取“=”號即此時(shí)2021/8/8 星期日202021/8/8 星期日21“1”的代換2021/8/8 星期日22五：公式應(yīng)用（三）解決實(shí)際問題例3. 如圖，教室的墻壁上掛著一塊黑板，它的上、下邊緣分別在學(xué)生的水平視線上方a米和b米，問學(xué)生距離墻壁多遠(yuǎn)時(shí)看黑板的視角最

6、大？2021/8/8 星期日23APBHba例3.如圖，教室的墻壁上掛著一塊黑板，它的上、下邊緣分別在學(xué)生的水平視線上方a米和b米，問學(xué)生距離墻壁多遠(yuǎn)時(shí)看黑板的視角最大？2021/8/8 星期日24問 題 與 思 考4。某種商品準(zhǔn)備兩次提價(jià), 有三種方案:第一次提價(jià) m, 第二次提價(jià) n ;第一次提價(jià) n, 第二次提價(jià) m ;兩次均提價(jià) .試問哪種方案提價(jià)后的價(jià)格高?2021/8/8 星期日25 設(shè)原價(jià)為M元, 令a = m, b = n, 則按三種方案提價(jià)后的價(jià)格分別為:A. (1+a)(1+b)M =(1+a+b+ab)MC. (1+ )2 M =1+a+b+ M只需比較 ab 與 的大小

7、.易知B. (1+b)(1+a)M =(1+a+b+ab)M2021/8/8 星期日265.某工廠要建造一個(gè)長方體無蓋貯水池，其容積為 ,深為3m，如果池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元，問怎樣設(shè)計(jì)水池才能使造價(jià)最低，最低造價(jià)是多少元？問 題 與 思 考2021/8/8 星期日272021/8/8 星期日282021/8/8 星期日29實(shí)際問題抽象概括引入變量數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型的解實(shí)際問題的解還原說明推 理演 算建立目標(biāo)函數(shù)均值不等式2、解應(yīng)用題思路反思研究2021/8/8 星期日301、設(shè) 且a+b=3,求ab的最小值_。 六：課堂檢測：（看誰最快）2、設(shè)則的最大值為_。、設(shè) 滿足 ，且 則 的最大值是（ ）A、40 B、10 C、4 D、22021/8/8 星期日31七：學(xué)習(xí)小結(jié)（）各項(xiàng)或各因式為正（）和或積為定值（）各項(xiàng)或各因式能取得相等的值，必要時(shí)作適當(dāng)變形，以滿足上述前提，即“一正二定三相等”、二元均值不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能； 創(chuàng)設(shè)應(yīng)用均值不等式的條件，合理拆分項(xiàng)或配湊因式是常用的解題技巧，而拆與湊的成因在于使等號能夠成立；、應(yīng)用均值不等式須注意