4.4極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)法

1、第四章平面問題的極坐標(biāo)解答第4講極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)法14.4 極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)法在第三章“平面問題的直角坐標(biāo)解答”中已經(jīng)充分了解到，當(dāng)體力為常量時，應(yīng)力函數(shù)法是求解彈性力學(xué)平面問題的一種有效方法。當(dāng)采用極坐標(biāo)研究問題時，希望還能繼續(xù)使用這種方法，那么就需要知道極坐標(biāo)中應(yīng)力函數(shù)法的相關(guān)公式。回顧一下，在第二章，是從基本方程出發(fā)引入Airy 應(yīng)力函數(shù) ，并得到 在彈性體內(nèi)所應(yīng)滿足的相容方程的。在極坐標(biāo)中也可以這么做，但是過程極其繁瑣?，F(xiàn)在直接從直角坐標(biāo)中的相關(guān)公式出發(fā)，利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系，來推導(dǎo)極坐標(biāo)中應(yīng)力函數(shù)法的相關(guān)公式。24.4.1 直角坐標(biāo)中應(yīng)力函數(shù)法的相關(guān)公式當(dāng)體力為常量時，按應(yīng)力求解平面

2、問題歸結(jié)為求解一個應(yīng)力函數(shù) ，它必須滿足下列條件：4 區(qū)域內(nèi)的相容方程4 24 4 0.x4x2y2y4() 邊界 S 上的應(yīng)力邊界條件(l xy my )s fy (s)這里假設(shè)全部為應(yīng)力邊界，即S =S ，Su =0；上式中的應(yīng)力分量： 2 22fx.yxy2 對于多連體，還需補(bǔ)充位移單值條件。這就是直角坐標(biāo)中平面問題應(yīng)力函數(shù)法的完整表述。34.4.2 求導(dǎo)運(yùn)算的坐標(biāo)變換公式任意一點(diǎn) P 的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)之間有如下轉(zhuǎn)換關(guān)系：xOyyx cos , y sin . y2 , arctan;xx 2xP從而 、 對 x、y 的導(dǎo)數(shù)y x y y sin ,x cos . cos , sin

3、;xyx2y2現(xiàn)將應(yīng)力函數(shù) (x, y) 看做是通過中間變量 、 對 x、y 的復(fù)合函數(shù)，即(x, y) (x, y), (x, y)那么，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則，有一階導(dǎo)數(shù)的變換公式： cos sin 重復(fù)該運(yùn)算，經(jīng)整理后， 得到二階導(dǎo)數(shù)的變換公式：4 cos sin y yy4.4.3 極坐標(biāo)中應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)之間的關(guān)系 12 1212 x cos2 s 2 y222 12 121 2 sin cos y sin2 cos2 2 x 2222 1 1 22 1 sin cos (cos2 sin2 ) xy2 2 xy2當(dāng)不計體力，即 fx時，以上三式為直角坐標(biāo)中的應(yīng)力分量。 fy

4、0 可根據(jù)上一講推出的應(yīng)力分量由直角坐標(biāo)向極坐標(biāo)的變換式得到。 x y x y cos 2 sin 2xy22這種方法雖然直接，但是運(yùn)算量不小。 x y x y cos 2 sin 2xy22 xy2sin 2 cos 2xy54.4.3 極坐標(biāo)中應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)之間的關(guān)系 12 1212 x cos2 s 2 y222 12 121 2 sin cos y sin2 cos2 2 x 2222 1 1 22 1 sin cos (cos2 sin2 ) xy2 2 xy2 將直角坐標(biāo)旋至與極坐標(biāo)重合的位置xO2 1 21 2 x y 22y002 2 xP2 y xy20 x 0 0, 1

5、 y 2 xy 0 6xy 04.4.3 極坐標(biāo)中應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)之間的關(guān)系 12 1212 x cos2 s 2 y222 12 121 2 sin cos y sin2 cos2 2 x 2222 1 1 22 1 sin cos (cos2 sin2 ) xy2 2 xy2不計體力時，極坐標(biāo)中應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)之間的關(guān)系式：71 1 2 2 22 2 1 4.4.4 極坐標(biāo)中的相容方程 12 1212 x cos2 s 2 y222 12 121 2 sin cos y sin2 cos2 2 x 2222 1 1 22 1 sin cos (cos2 sin2 ) xy2 2 xy2 2 2 2 2 1 21前兩式相加，有xyx 2y22 222 121于是極坐標(biāo)中的Laplace 算子2 222從而極坐標(biāo)中的相容方程：8 2112 24 02 2 2 4.4.5 極坐標(biāo)中應(yīng)力函數(shù)法的相關(guān)公式當(dāng)不計體力時，在極坐標(biāo)中按應(yīng)力求解平面問題，歸結(jié)為求解一個應(yīng)力函數(shù) ，它必須滿足下列條件：2 22112 區(qū)域內(nèi)的相容方程4 0.2 2 () m)s f(s) 邊界 S 上的應(yīng)力邊界條件(l這里