高三數(shù)學第二輪復習質(zhì)量檢測考試試題含解析 試題

1、日期：2022 年二月八日。2021 屆高三數(shù)學第二輪復習質(zhì)量檢測考試試題含解析制卷人：打自企； 成別使； 而都那。審核人：眾閃壹； 春壹闌； 各廳 日期：2022 年二月八日。考前須知：答卷前，所有考生必須將本人的姓名、考生號等填寫上在答題卡和試卷規(guī)定的正確位置上.答復選擇題時，選出每一小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目之答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.答復非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在套本套試卷上無效.在在考試完畢之后以后，將本套試卷和答題卡一起交回.一、單項選擇題：此題一共8 小題，每一小題 5 分，一共 40 分.在每一小題給出的四個選項里面，只有一

2、項是哪一項符合題目要求的.B 1.假設集合 A x x 1x 2 0， B x ln x 0，那么 AA. x 1 x 2B.x 1 x 1C.x 1 x 2D.x 2 x 1【答案】A【解析】【分析】B 即可分別化簡集合 A 和 B ，然后直接求解 A【詳解】A x x 1x 2 0 x 1 x 2 ，B x ln x 0 x x 1， A B x 1 x 2.【點睛】此題考察集合的運算，屬于根底題z 1 i2 i13131313，那么 z A. 5 5 iB. 5 5 iC. 5 5 iD. 5 5 i【答案】B日期：2022 年二月八日。日期：2022 年二月八日。【解析】【分析】利用復

3、數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡z ，再由一共軛復數(shù)的概念得結(jié)論.1 i1 i 2 i 2 i 2i i213【詳解】 z 2 i132 i 2 i i ，555 z i .55應選：B.【點睛】此題考察復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考察復數(shù)的根本概念，屬于根底題直線l 過點P(3，0)，圓C : x2y2 4x 0 ，那么A. l 與 C 相交C. l 與 C 相離【答案】A【解析】【分析】B. l 與 C 相切D. l 與 C 的位置關系不確定代入計算得到點 P 在圓內(nèi)，得到答案.【詳解】 x2 y2 4x 0 ，即x 22 y2 4 ， 3 22 02 4 ，故點 P 在圓內(nèi)，故l 與 C 相交.應選

4、：A.【點睛】此題考察了直線和圓的位置關系，確定點P 在圓內(nèi)是解題的關鍵.4. 1 pxn bb x bx2 bxn，假設b 3,b 4，那么 p 1【答案】C【解析】【分析】012n12111C.D.234日期：2022 年二月八日。日期：2022 年二月八日。n n 1根據(jù)二項式定理得到b1 pn 3 ， b2p22 4 ，解得答案.【詳解】1 px n 展開式的通項為：Tr 1 Cr 1nr pxrn Cr pxr ，n故b C1 p pn 3 ， b C 2 p2 n n 1p2 4 ，解得n 9 ， p 1 .1n2n23應選：C.【點睛】此題考察了二項式定理，意在考察學生的計算才能

5、和應用才能.中國古代“五行學說認為：物質(zhì)分“金、木、水、火、土五種屬性，并認為：“金生水、水生木、 木生火、火生土、土生金.從五種不同屬性的物質(zhì)中隨機抽取2 種，那么抽到的兩種物質(zhì)不相生的概率為1111A.B.C.D.5432【答案】D【解析】【分析】總一共有 10 種結(jié)果，其中相生的有 5 種，由古典概型的計算公式計算出概率即可【詳解】從五種不同屬性的物質(zhì)中隨機抽取2 種，一共C 25 10 種，51而相生的有 5 種，那么抽到的兩種物質(zhì)不相生的概率P 1 應選：D102【點睛】此題考察的是計算古典概型的概率，較簡單.命題 p : x 2,1, x2 x m 0 成立的充要條件是m 0【答案

6、】B【解析】m 14 1 4 m 2m 2日期：2022 年二月八日。日期：2022 年二月八日?！痉治觥? 21根據(jù)題意m ( x2 x)min，設 y x2 x x ，計算得到答案.24【詳解】x 2,1 ， x2 x m 0 ，那么m x2 x ，故m ( x2 x)，min1 12設 y x2 x x 2 4 ，x2,1，故當 x 1 時，函數(shù)有最小值為 1 .24故 m 1 .4應選：B.【點睛】此題考察了充要條件，意在考察學生的計算才能和推斷才能，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值是解題的關鍵.在直角三角形ABC 中， ACB CP CA CP CB 2, AC BC 2 ，點 P 是斜邊AB

7、上一點，且BP=2PA，那么A. 4【答案】D【解析】【分析】B. 2C. 2D. 4如下圖：以CB 為 x 軸， CA 為 y 軸建立直角坐標系，計算得到答案.【詳解】如下圖：以CB 為 x 軸， CA 為 y 軸建立直角坐標系，那么 A0,2 ， B 2,0 ， P 2 , 4 ，CP CA CP CB 2 3, 4 0, 2 2 , 4 2,0 8 4 33 4 .3 33 33應選：D.日期：2022 年二月八日。日期：2022 年二月八日?！军c睛】此題考察了向量的數(shù)量積的計算，建立直角坐標系可以簡化運算，是解題的關鍵. 8.函數(shù) f x x 1ex a e2 x ax 只有一個極值點

8、，那么實數(shù)a 的取值范圍是2A. a 0 或者a 12C. a 0【答案】A【解析】B. a 0 或者a 113D. a 0 或者a 3【分析】討論a 0 ， a 0 兩種情況，變換得到 x ex e x ，設 g x ex e x ，求導得到單調(diào)性，畫出函數(shù)ag x和 y x 的圖像，根據(jù)圖像得到答案.a【詳解】 f x x 1ex a e2 x ax ，那么 f x xex ae2 x a 0 ，故 x aex a 0 ，2ex當 a 0 時， f x xex ，函數(shù)在,0 上單調(diào)遞減，在0, 上單調(diào)遞增， f 0 0 ，故函數(shù)有唯一極大值點，滿足；當 a 0 時，即 x ex e x ，

9、設 g x ex e x ，a那么 g x ex e x畫出函數(shù) g x和 y 2 恒成立，且 g 0 2 ，x圖像，如下圖：a日期：2022 年二月八日。日期：2022 年二月八日。根圖像知：當 1 2 時，即a 0 或者a 1時，滿足條件a21綜上所述： a 0 或者a .2應選：A.x【點睛】此題考察了根據(jù)極值點求參數(shù)，變換a ex e x ，畫出函數(shù)圖像是解題的關鍵.二、多項選擇題：此題一共4 小題，每一小題 5 分，一共 20 分.在每一小題給出的選項里面，有多項符合題目要求.全部選對的得 5 分，局部選對的得 3 分，有選錯的得 0 分.“雜交水稻之父袁隆平一生致力于雜交水稻技術的

10、研究、應用與推廣，創(chuàng)造了“三系法秈型雜交水稻，成功研究出“兩系法雜交水稻，創(chuàng)立了超級雜交稻技術體系，為我國糧食平安、農(nóng)業(yè)科學開展 和世界糧食供應做出了出色奉獻；某雜交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高，得出株高(單位：cm)服從正態(tài)分布，其密度曲線函數(shù)為 fx1102x1002e200, x , ，那么以下說法正確的選項是該地水稻的平均株高為 100cm該地水稻株高的方差為 10隨機測量一株水稻，其株高在120cm 以上的概率比株高在 70cm 以下的概率大日期：2022 年二月八日。日期：2022 年二月八日。隨機測量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)(單位：cm)的概率一

11、樣大【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式得到 100 ， 2 100 ，故 A 正確B 錯誤，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性得到 C 正確D 錯誤，得到答案.【詳解】 fx1102x1002e200，故 100， 2 100 ，故A 正確B 錯誤；p x 120 p x 80 p x 70，故 C 正確；根據(jù)正態(tài)分布的對稱性知： p 100 x 110 p 90 x 100 p 80 x 90，故D 錯誤. 應選：AC.【點睛】此題考察了正態(tài)分布，意在考察學生對于正態(tài)分布的理解和應用.如圖，正方體ABCD A B C D 的棱長為 2，線段B D上有兩個動點M , N，且 MN 1，那么以下結(jié)11

12、1111論正確的選項是A.AC BMC. 三棱錐ABMN 的體積為定值【答案】ABC【解析】【分析】B. MN平面 ABCDD. AMN 的面積與BMN 的面積相等日期：2022 年二月八日。日期：2022 年二月八日。如下圖，連接 BD ，根據(jù) AC 平面 BDD B 得到 AC BM ，A 正確， MN /BD ，故MN平面ABCD，B 正確，計算V2 ，C 正確， S11 1， S 1，D 錯誤，得到答案.AMNB3BMNAMN【詳解】如下圖：連接BD ，易知 AC BD ， DD1 平面 ABCD， AC 平面 ABCD，故 AC DD，故 AC 平面 BDD B， BM 平面 BDD

13、 B，故 AC BM ，A 正確；11111易知 D B/BD ，故 MN /BD ，故 MN平面 ABCD，B 正確；1 11112VAMNBS3BMN AO 1 2 2 323為定值，故C 正確；S 1， S 1 MN h h ，其中h 為點 A 到直線 B D的間隔 ，根據(jù)圖像知h 2 ，BMNAMN2211故 S 1，故D 錯誤；AMN應選：ABC.【點睛】此題考察了立體幾何中直線垂直，線面平行，體積的計算，意在考察學生的計算才能和空間想象才能.x2雙曲線a2y2 b2 1a 0, b 0的一條漸近線方程為 x 2 y 0 ，雙曲線的左焦點在直線x y 5 0 上，A、B 分別是雙曲線

14、的左、右頂點，點P 為雙曲線右支上位于第一象限的動點，PA，PB 的斜率分別為k , k12，那么k1k 的取值可能為2日期：2022 年二月八日。日期：2022 年二月八日。34A.B. 1C.43D. 2【答案】CD【解析】【分析】x2x計算得到雙曲線方程為 y2 1 ，那么 A 2,0， B 2,0，設 P x , y， kk0，4根據(jù)漸近線方程知： 0 y0 x 1 ，代入計算得到答案.200122 y00 x2b1【詳解】根據(jù)題意知：， c 5 ，故a 2 ， b 1，雙曲線方程為 y2 1 ，a24那么 A2,0 ，B 2,0 ，設P x , y，那么 x 2y 2 1 ， x0

15、0 ，y 0 ，000040yy2x yxy1k k00000，根據(jù)漸近線方程知： 0 0 ，12x02x02x02 42 yx200故 k k120 1 .x2 y0應選：CD.【點睛】此題考察了雙曲線中斜率的計算，確定0 y0 1 是解題的關鍵.x20在平面直角坐標系 xOy 中，如圖放置的邊長為 2 的正方形ABCD沿 x 軸滾動(無滑動滾動)，點 D 恰好經(jīng)過坐標原點，設頂點B x, y的軌跡方程是 y f x，那么對函數(shù) y f x的判斷正確的選項是日期：2022 年二月八日。函數(shù) g x f x 2函數(shù) y f x是偶函數(shù)日期：2022 年二月八日。2在3，9上有兩個零點函數(shù) y

16、f x在8， 6上單調(diào)遞增 對任意的 x R ，都有 f x 4 1fx【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)題意中的軌跡，畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像判斷每個選項得到答案.【詳解】當以 A 點為中心滾動時， B 點軌跡為2,0 為圓心， 2 為半徑的 1 圓??；42當以 D 點為中心滾動時， B 點軌跡為0,0 為圓心， 21為半徑的圓弧；4當以C 點為中心滾動時， B 點軌跡為2,0 為圓心， 2 為半徑的 1 圓??；4當以 B 點為中心滾動時， B 點不動，然后周期循環(huán)，周期為8 .22畫出函數(shù)圖像，如下圖：2g 0 f 0 2 0 ， g 8 f 8 2 f 0 2 0 ，A 正確；根據(jù)圖像和周期

17、知B 正確；函數(shù) y f x在0,2上單調(diào)遞減，故在8， 6上單調(diào)遞減，C 錯誤；取 x 2，易知1f 2 f 2，故 D 錯誤.應選：AB.日期：2022 年二月八日。日期：2022 年二月八日?！军c睛】此題考察了軌跡方程，意在考察學生的計算才能和轉(zhuǎn)化才能，畫出圖像確定周期是解題的關鍵. 三、填空題：此題一共 4 小題，每一小題 5 分，一共 20 分.函數(shù) y cos 4x 3 sin 4x 的單調(diào)遞增區(qū)間為 . k【答案】k, k Z 26212 【解析】【分析】 化簡得到 y 2sin 4x ，取2k 6 4x 2 2k 6， k Z ，解得答案.2【詳解】 y cos 4x 3 si

18、n 4x 2sin 4x ，取2k 6 4x 2 2k 6， k Z ，2 k解得 xk, k Z . 26212 k故答案為：k, k Z . 26212 【點睛】此題考察了三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，意在考察學生的計算才能.大興國際機場為 4F 級國際機場、大型國際樞紐機場、國家開展新動力源，于2019 年 9 月 25 日正式通航.目前建有“三縱一橫4 條跑道，分別叫西一跑道、西二跑道、東一跑道、北一跑道，如下圖；假設有 2 架飛往不同目的地的飛機要從以上不同跑道同時起飛，且西一跑道、西二跑道至少有一道被選取， 那么一共有 種不同的安排方法.(用數(shù)字答題).日期：2022 年二月八日。日期：20

19、22 年二月八日?！敬鸢浮?0【解析】【分析】根據(jù)題意，一共有 A24 12 種選擇，排除西一跑道、西二跑道都沒有的2 種選擇，得到答案.【詳解】不考慮西一跑道、西二跑道一共有A24 12 種選擇，排除西一跑道、西二跑道都沒有的 A22 2 種選擇，一共有10 種選擇.故答案為：10.【點睛】此題考察了排列的應用，利用排除法可以簡化運算，是解題的關鍵.拋物線C : x2 2 py p 0的準線方程為 y 1，直線l :3 x 4 y 4 0 與拋物線C 和圓x2 y2 2y 0 從左至右的交點依次為A、B、E、F，那么拋物線C 的方程為 ， EFAB.【答案】(1). x2 4 y(2). 1

20、6【解析】【分析】計算 p 2 ，故拋物線方程為x2 4 y ，聯(lián)立方程得到 y 1 ， y142 4 ，計算 AB 1 ， EF 4 ，得4到答案.【詳解】根據(jù)題意知 p 1，故 p 2 ，故拋物線方程為 x2 4 y ，設焦點為M 0,1，2x2 y2 2y 0 ，即 x2 y 12 1，直線l :3 x 4 y 4 0 過圓心，日期：2022 年二月八日。日期：2022 年二月八日。x2 4 y1聯(lián)立方程，得到4 y2 17 y 4 0 ，解得 y 4 ， y 4 .3x 4 y 4 012故 AB AM 1 111 1EF， EF FM 1 4 11 4 ，故 16 .44AB故答案為

21、： x2 4 y ；16 .【點睛】此題考察了拋物線方程，拋物線中的弦長問題，意在考察學生的計算才能和轉(zhuǎn)化才能. 16.A，B 是球O 的球面上兩點，AOB90，C 為該球面上的動點，假設三棱錐OABC 體積的最大值為 36，那么球O 的外表積為 【答案】144【解析】【分析】易知當點C 位于垂直于面AOB 的直徑端點時，三棱錐的體積最大，設球O 的半徑為R，列方程求解即可.【詳解】如下圖，當點C 位于垂直于面AOB 的直徑端點時，三棱錐的體積最大，設球 O的半徑為R，此時VV R2R R336，OABCCAOB故 R6，那么球O 的外表積為S4R2144.故答案為 144.日期：2022 年

22、二月八日。日期：2022 年二月八日?！军c睛】此題主要考察了三棱錐體積的求解,球的幾何特征和面積公式，屬于根底題.四、解答題：此題一共 6 小題，一共 70 分.解容許寫出文字說明、證明過程或者演算步驟.在 a5 b 2b46， a a35 4b1b ， b S424 5a b2 3三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答.設an是公比大于 0 的等比數(shù)列，其前n 項和為Sn,bn是等差數(shù)列. a1 1，S S32 a 2a , a214 b b35， .1求an和bn的通項公式；2設T a ba ba b ab ，求T .n1 12 23 3n nn【答案】1an n1 , bn n.

23、 2Tn n 1 2n 1.【解析】【分析】1直接利用等差數(shù)列等比數(shù)列公式計算得到答案.2a ba 1,S1n n n 2n ，利用錯位相減法計算得到答案.【詳解】1方案一：選條件：設等比數(shù)列aa2n 1 .nn的公比為 q，S a322 2a ，12 或者q q2 q 2 0 ，解得q 1 ，q 0 ， q 2 ，b da bb , a b 2b2b 6d 8設等差數(shù)列的公差為 ，n43554，1，63b13d161b 1解得 1，b n ， a 2n1 , b n .a 1,S1d 1nnn方案二：選條件：設等比數(shù)列aa2n 1 .nn的公比為 q，S a322 2a ，12 或者q q2

24、 q 2 0 ，解得q 1 ，q 0 ， q 2 ，b a b b , a a 4b b 2b 6d 8設等差數(shù)列的公差為d ，1，n43535142b 3d 51日期：2022 年二月八日。日期：2022 年二月八日。b 1解得 1，b n ， a 2n1 , b n.d 1nnn方案三：選條件，設等比數(shù)列a的公比為q ，an1 1,S S32 a 2a ，21 q2 q 2 0 ，解得q2 或者q 1 ，q 0 ， q 2 ，an2n 1 .b a b b , b S 5a b2b 6d 8設等差數(shù)列的公差為d ，1，nb 1435242 3b d 01解得 1，b n ， a 2n1 ,

25、 b n.d 1nnn2an 2n 1 , bn n ，T a b a b a b 1 20 2 21 n 1 2n2 n 2n1 ，n1 12 2n n2Tn 1 21 2 22 n 1 2n1 n 2n ，1 2nTn 1 21 22 2n1 n 2n n 2n 2n 1 n 2n ，1 2T n 1 2n 1.n【點睛】此題考察了等差數(shù)列等比數(shù)列通項公式，錯位相減法求和，意在考察學生對于數(shù)列公式方法的 綜合應用.如圖，在ABC 中， AD : DC 5 : 3, BD 1，sin A 5 ， BA BD 051求BC 的長度；2假設E 為AC 上靠近A 的四等分點，求sin DBE .【

26、答案】1 BC 2 2 3 1010【解析】日期：2022 年二月八日。日期：2022 年二月八日?！痉治觥?1計算得到cos ADB 52102根據(jù)余弦定理得到BE ， DC ，利用余弦定理計算得到答案.355，利用正弦定理計算得到答案.55【詳解】1 BA BD 0 ，BA BD ，在ABD 中， BD 1， sin A ，5 AD ， cos ADB ，又555AD : DC 5:3 ， DC ，3555在BCD 中， cos BDC ，53559 BC2 =CD2 BD2 2 CD BD cosBDC =1 2 5 BC 2 .1 =4552由1知AB=2， AE 1AC 2255 ，

27、 cos A ，45525254 8ABE 中， BE2 AB2 AE2 2 AB AE cos A 4 2 2 ，5555210 BE ，5在BDE中，DE 35 ，sin BDE=，2555BEDEsin DBE sin BDE ，3 10sin DBE DE sin BDE .BE10【點睛】此題考察了正弦定理，余弦定理解三角形，意在考察學生的計算才能和應用才能.如下圖，在直三棱柱 ABC A B C中，AB AC ，側(cè)面 ABB A是正方形， AB 3, AC 3.611111日期：2022 年二月八日。日期：2022 年二月八日。1證明：平面 AB C 平面 A BC ；11112假

28、設 AM 1 AC ，求二面角M BC A 的大小.611【答案】1證明見解析；23【解析】【分析】1證明 AC 平面 ABB A得到 AB AC，證明 AB 平面 A BC得到答案.11111111112如圖，以 A 為坐標原點，建立空間直角坐標系O xyz ，求得平面MBC的一個法向量為1161n ,1 ， AB 1是平面 A BC的一個法向量，計算向量夾角得到答案.5511【詳解】1三棱柱 ABC A B C為直三棱柱， AA AC ，111111AB AC ， AC A B，又 AA , A B 平面 ABB A , AA A B A ，111111 11 111 11 AC 平面 A

29、BB A ，又 AB 平面 ABB A ， AB AC ，1111111111又側(cè)面 ABB A 為正方形， A B AB ，又 AC , A B 平面 A BC ，111111111A BAC A ， AB 平面 A BC ，又 AB 平面 AB C ，1111111111 平面 AB C 平面 A BC .11112如圖，以 A 為坐標原點，建立空間直角坐標系O xyz ，1那么 A0,0,3 , B 0,3,3 , B10,3,0 , C1，36,0,0, C 36,0,3， AC 36,0,0, AB1 0,3, 3，AB 0,3,0 , BC1 36, 3,3日期：2022 年二月八

30、日。日期：2022 年二月八日。 MB AB AM AB 1 AC6 62 ,3,0 ，設平面 MBC的一個法向量為n x, y,1，那么n MB 0 ，解得 x 6 , y 1 ，1n BC 055161 n ,1 ，又 AB 1是平面 A BC的一個法向量，5511，3 3cos n, AB5 1 n, AB 21322518213， 二面角 M BC1A 的大小為.13【點睛】此題考察了面面垂直，二面角，意在考察學生的計算才能和空間想象才能.1某人玩擲正方體骰子走跳棋的游戲，骰子每面朝上的概率都是6，棋盤上標有第0 站，第1 站，第2站，第 100 站.一枚棋子開場在第 0 站，選手每擲

31、一次骰子，棋子向前跳動一次，假設擲出朝上的點數(shù)為 1 或者 2，棋子向前跳兩站；假設擲出其余點數(shù)，那么棋子向前跳一站，直到跳到第99 站或者第 100 站時，游戲完畢；設游戲過程中棋子出如今第n 站的概率為 P .n1當游戲開場時，假設拋擲均勻骰子3 次后，求棋子所走站數(shù)之和X 的分布列與數(shù)學期望；2證明： P P 1 P P1 n 98；n1n3nn1日期：2022 年二月八日。日期：2022 年二月八日。3假設最終棋子落在第 99 站，那么記選手落敗，假設最終棋子落在第100 站，那么記選手獲勝，請分析這個游戲是否公平.【答案】1詳見解析2證明見解析；3游戲不公平，詳見解析【解析】【分析】

32、1隨機變量X 的所有可能取值為 3，4，5，6，計算概率得到分布列，計算得到數(shù)學期望.2根據(jù)題意得到P 2 P1 P，化簡得到 P P 1 P P.n13n3n1n1n3nn13計算得到 P 2 P1 P， P P，得到答案.993983 9710099【詳解】1隨機變量 X的所有可能取值為 3，4，5，6， 2 38 2 2 1 4PX 3 , PX 4 C1 ， 3 273 3 3 9 2 1 22 1 31PX 5 C 2 , PX 6 ，3 3 3 9 3 27所以，隨機變量X 的分布列為：X3456p8274929127 E X 3 8 4 4 5 2 6 1 4 .2799272由

33、題意知，當1 n 98 時，棋子要到第n 1站，有兩種情況：2由第n 站跳 1 站得到，其概率為P ；3n由第n 1站跳 2 站得到，其概率為1 P3n1日期：2022 年二月八日。日期：2022 年二月八日。 P 2 P 1 P， PP 2 P 1 P P 1 P P，n13n3n1n1n3n3n1n3nn1 P P 1 P P1 n 98，n1n3nn1213由2知，當棋子落到第 99 站游戲完畢的概率為PPP，當棋子落到第 100 站游戲完畢的概率為P 1 P，993983 971003 98P100 P ，最終棋子落在第 99 站的概率大于落在第 100 站的概率，99游戲不公平.【點

34、睛】此題考察了分布列和數(shù)學期望，數(shù)列的遞推公式，概率的計算，意在考察學生的計算才能和綜 合應用才能.橢圓C : x2a2y2b2 1a b 0的離心率e 滿足2e2 32e 2 0 ，以坐標原點為圓心，橢圓C 的長軸長為半徑的圓與直線2x y 45 0 相切.1求橢圓C 的方程；2過點P(0，1)的動直線l (直線l 的斜率存在)與橢圓C 相交于A，B 兩點，問在y 軸上是否存在與點QAP 不同的定點Q，使得 S APQ恒成立？假設存在，求出定點Q 的坐標；假設不存在，請說明理由.QBSBPQx2y2【答案】1 1 2存在；定點Q 0,2 42【解析】【分析】日期：2022 年二月八日。日期：

35、2022 年二月八日。1根據(jù)點到直線間隔 公式計算得到a 2 ，計算e ，得到答案.222設Q 0,mm 1, Ax , y, B x , y，直線l 的方程為 y kx 1 ，聯(lián)立方程得到QA sin PQA QB sin PQB11BPQx x 4k, x x 222S，APQ ，得到k k，計算得到答案.122k 2 11 22k 2 1SQAQB0 0 454 1【詳解】1由題意知2a ，a 2 ，由2e2 32e 2 0 ，解得e 或者e 22舍，故c ， b ，222橢圓 C 的方程為 x2 y2 1 .422存在，QAQB假設 y 軸上存在與點P 不同的定點Q，使得 S APQB

36、PQS恒成立，設Q 0,mm 1, Ax , y , B x , y，直線l 的方程為 y kx 1 ，1122 x2 y2 14k2由 42，得 2k 2 1x2 4kx 2 0 ， x x , x x ， y kx 1122k 2 11 22k 2 1 16k 2 8 2k 2 1 32k 2 8 0 ，SAPQSBPQ1 QP QA sin PQAQA sin PQA QB sin PQB 2，1 QP QB sin PQB2BPQQA S QBSAPQ，sin PQA sin PQB ，PQA PQB ， kQA k，QB y m y m4k212，m 1x x 2kx x，即m 1

37、2k，xx121 2122k 2 12k 2 1QAQB解得m 2 ，存在定點Q 0,2 ，使得SAPQS恒成立.BPQ日期：2022 年二月八日。日期：2022 年二月八日。【點睛】此題考察了橢圓方程，橢圓中的定點問題，意在考察學生的計算才能和綜合應用才能. 22.函數(shù) f x x 1e x x 1ex , x 0 . x 11證明： 0 f x 1 x 1 ex ； x3 2假設 gx ax 2 x 2x cos x ex，當 x 0,1 , fx gx恒成立，務實數(shù)a 的取值范圍.【答案】1證明見解析；2, 3【解析】【分析】1 f x x ex e x ，得到 f x 0 ， f 0 0 得到 f x 0 ，整理得到 ex 2ex x 1 ，令 x ex x 1x 0，證明 x 0 得到答案.