高等數(shù)學(xué)122數(shù)項級數(shù)的收斂性判別法教育課件

1、高等數(shù)學(xué)122數(shù)項級數(shù)的收斂性判別法教育高等數(shù)學(xué)122數(shù)項級數(shù)的收斂性判別法教育本講概要正項級數(shù)的收斂性判別法交錯級數(shù)的收斂性判別法絕對收斂與條件收斂12.2 數(shù)項級數(shù)的收斂性判別法本講概要12.2 數(shù)項級數(shù)的收斂性判別法 根據(jù)這一準(zhǔn)則，則稱該級數(shù)為正項級數(shù) . 由于即正項級數(shù)的部分和數(shù)列是一個單調(diào)增的數(shù)列.我們知道，單調(diào)有界數(shù)列必有極限. 我們可得到判定正項級數(shù)收斂性的一個定理 .因此有一.正項級數(shù)的收斂性判別法定義1 定理1 正項級數(shù)收斂的充要條件是它的部分和數(shù)列有界.定理1 正項級數(shù)收斂的充要條件是它的部分和數(shù)例 1 試判定正項級數(shù)例 1 試判定正項級數(shù)即其部分和數(shù)列有界，因此正項級數(shù)收

2、斂。例 1 試判定正項級數(shù)解 由于該級數(shù)為正項級數(shù)，且部分和 即其部分和數(shù)列有界，因此正項級數(shù)收斂。例 1 試判定正項級定理 2 (比較判別法) 設(shè)有兩個正項級數(shù)那么:定理 2 (比較判別法) 設(shè)有兩個正項級數(shù)那么:例 2 討論級數(shù)此級數(shù)稱為 p 級數(shù). 其中 p 為正常數(shù)。例 2 討論級數(shù)此級數(shù)稱為 p 級數(shù). 其中 p 為正解 當(dāng) p =1 時 ， p 級數(shù)發(fā)散.當(dāng) p 1 時 ，而調(diào)和級數(shù)發(fā)散，這時 p 級數(shù)發(fā)散.所以由比較審斂法的結(jié)論 (2) 可知，解 當(dāng) p =1 時 ， p 級數(shù)發(fā)散.當(dāng) p 1 時，觀察其前 n 項和對于每一個確定的 p 值 ，yOx123nn+1 于是由定理 1

3、 可知，這時 p 級數(shù)收斂 .根據(jù)定積分的幾何意義 ，顯然所以部分和數(shù)列有界.綜上所述可知: p 級數(shù)當(dāng) p 1 時發(fā)散; p 1 時收斂 . 例 3 證 利用比較判別法.注意到 根據(jù)級數(shù)性質(zhì) 2 知道，例 3 證 利用比較判別法.注意到 根據(jù)級數(shù)性質(zhì) 2例 4 試判定解所給正項級數(shù)收斂.它是收斂的， 所以由比較判別法可知，例 4 試判定解所給正項級數(shù)收斂.它是收斂的， 所以由比仔細分析例 3 與例 4，我們就會發(fā)現(xiàn)，或無理式時，該正項級數(shù)收斂，否則發(fā)散.而其分子分母都是n 的多項式 ( 常數(shù)是零次多項式 )只要分母的最高次數(shù)高出分子最高次數(shù)一次以上(不包括一次)，仔細分析例 3 與例 4，我

4、們就會發(fā)現(xiàn)，或無理式時，該正項級例 5 判定例 5 判定練習(xí) 試判定以下正項級數(shù)的收斂性 :分子是 n 的一次多項式， 解 (1) 因為通項的分母中，n 的最高次數(shù)為二次， 分母僅比分子高一次， 故該級數(shù)發(fā)散.練習(xí) 試判定以下正項級數(shù)的收斂性 :分子是 n 的一次多項式其中分母 n 的最高次數(shù)為 次，分子是零次，分母比分子高 次，其中分母 n 的最高次數(shù)為 次，分子是零次，分母比分定理 3 (達朗貝爾比值判別法) 設(shè)有正項級數(shù)如果極限存在，那么(1) 當(dāng) 1 時級數(shù)發(fā)散;(3) 當(dāng) = 1 時級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散.定理 3 (達朗貝爾比值判別法) 如果極限存在，那么(1) 例 6 試證明正

5、項級數(shù)證 利用比值審斂法，因為所以級數(shù)收斂.例 6 試證明正項級數(shù)證 利用比值審斂法，因為所以級數(shù)收這樣的任意項級數(shù)就叫做交錯級數(shù) .它的一般形式為正負號相間出現(xiàn)，二、交錯級數(shù)收斂性判別法 在級數(shù) 中，總含有無窮多個正項和負項叫任意項級數(shù).這樣的任意項級數(shù)就叫做交錯級數(shù) .它的一般形式為正負號相間出 設(shè)交錯級數(shù)定理 4 (萊布尼茨收斂判別法) 例7 試判定交錯級數(shù)例7 試判定交錯級數(shù)例 7 試判定交錯級數(shù)解所以由交錯級數(shù)判別法可知，例 7 試判定交錯級數(shù)解所以由交錯級數(shù)判別法可知，例 7 試判定交錯例 7 試判定交錯解 在利用交錯級數(shù)判別法時，對于條件 (1)，有時可利用導(dǎo)數(shù)工具來判斷 .因為條件 (2)往往比較容易判斷，例8 試判定交錯解 在利用交錯級數(shù)判別法時，對于條件 (1)，有時由此可以推得由此可以推得絕對收斂.定理5三、絕對收斂與條件收斂定義3絕對收斂.定理5三、絕對收斂與條件收斂定義3例 9 試判定級數(shù)解 考察級數(shù)例 9 試判定級數(shù)解 考察級數(shù)因此由定理 5 可知該級數(shù)收斂 .條件收斂 .利用正項級數(shù)比值判別法，是收斂的，因此由定理 5 可知該級數(shù)收斂 .條件收斂 .利用正