隨機(jī)變量的數(shù)字特征課件

1、隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征4.1 數(shù) 學(xué) 期 望 4.1.1 數(shù)學(xué)期望的概念 定義 (1)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為 若級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂，則稱級(jí)數(shù)的和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望(也稱期望或均值)，記為EX。 (2)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為f(x)積分 絕對(duì)收斂，則定義的X數(shù)學(xué)期望EX為 2022/9/102概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)4.1 數(shù) 學(xué) 期 望 4.1.1 數(shù)學(xué)期望的概念 204.1.1 數(shù)學(xué)期望的概念例 設(shè)隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且 求EX。 解： 2022/9/103概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)4.1.1 數(shù)學(xué)期望的概念例 設(shè)隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布4.1.1 數(shù)學(xué)期望的概念例 設(shè)X在區(qū)間

2、a,b上服從均勻分布，其概率密度為 求EX解： 2022/9/104概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)4.1.1 數(shù)學(xué)期望的概念例 設(shè)X在區(qū)間a,b上服4.1.1 數(shù)學(xué)期望的概念例 設(shè)X服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，求 EX。解：因?yàn)?所以 2022/9/105概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)4.1.1 數(shù)學(xué)期望的概念例 設(shè)X服從參數(shù)為 的指數(shù)4.1.1 數(shù)學(xué)期望的概念例 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 求EX。 解: = 2022/9/106概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)4.1.1 數(shù)學(xué)期望的概念例 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為4.1.2 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 設(shè)隨機(jī)變量Y為隨機(jī)變量X的函數(shù)，即 。從上節(jié)的討論可知，要求出Y的數(shù)學(xué)期望，只要求出Y的概率

3、密度即可，但這個(gè)過(guò)程往往比較麻煩。我們有如下的定理，不用求出Y的概率密度，直接可求出。 2022/9/107概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)4.1.2 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 設(shè)隨機(jī)變量Y為隨機(jī)變量4.1.2 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理1 設(shè)Y為隨機(jī)變量X的函數(shù) ，g(x)這里為連續(xù)的實(shí)值函數(shù)，(1) 若X為離散型隨機(jī)變量，其概率分布為： 則 (2) 若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f(x)，則 2022/9/108概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)4.1.2 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理1 設(shè)Y為隨機(jī)變量4.1.2 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望例 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 求解：這里 ，于是 2022/9/109概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)4

4、.1.2 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望例 設(shè)隨機(jī)變量X的概率4.1.2 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理2 設(shè)Z為二維隨機(jī)向量(X,Y)的函數(shù) ，這里 為二元連續(xù)實(shí)函數(shù)，則(1) 若為（X,Y）離散型，其聯(lián)合分布律為 那么(2) 若(X,Y)為連續(xù)型，其聯(lián)合概率密度為f(x,y)，那么2022/9/1010概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)4.1.2 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理2 設(shè)Z為二維隨機(jī)4.1.3 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)在下列性質(zhì)中，假設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望總存在。性質(zhì)1 EX=C, C為常數(shù)。性質(zhì)2 E(CX)=CEX，C為常數(shù)。性質(zhì)3 E(X+Y)=EX+EY 。性質(zhì)4 設(shè)X,Y相互獨(dú)立，則EXY=EXEY。 2022/

5、9/1011概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)4.1.3 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)在下列性質(zhì)中，假設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué) 4.1.3 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)例 兩臺(tái)相同的電話交換機(jī),每臺(tái)無(wú)故障的工作時(shí)間服從參數(shù)為5的指數(shù)分布。先起用一臺(tái)，當(dāng)其發(fā)生故障時(shí)停用而另一臺(tái)自動(dòng)開啟。試求這兩臺(tái)交換機(jī)無(wú)故障工作總時(shí)間T的數(shù)學(xué)期望。解：設(shè)第一，第二臺(tái)交換機(jī)的無(wú)故障工作時(shí)間分別為 ，則 。2022/9/1012概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 4.1.3 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)例 兩臺(tái)相同的電話交換機(jī),4.1.3 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)所以 2/5 2022/9/1013概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)4.1.3 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)所以2022/9/415概率論與4.2 方 差在第4章4.1節(jié)中討論的

6、數(shù)學(xué)期望的概念能反映隨機(jī)變量的平均值，在一些實(shí)際問(wèn)題中有時(shí)僅知道平均值是不夠的。本節(jié)將引入方差的概念來(lái)反映隨機(jī)變量對(duì)數(shù)學(xué)期望的離散程度。定義 設(shè)X為一隨機(jī)變量，若 存在，則稱這個(gè)值為X的方差，記為DX，即 。又稱 為的X標(biāo)準(zhǔn)差或均方差。 2022/9/1014概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)4.2 方 差在第4章4.1節(jié)中討論的數(shù)學(xué)期望的概念4.2 方 差例 設(shè)X服從0-1分布,求DX。解 所以2022/9/1015概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)4.2 方 差例 設(shè)X服從0-1分布,求DX。24.2 方 差例 設(shè)X服從a,b上的均勻分布，求DX。解：因?yàn)?， ， 所以 2022/9/1016概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)4.2 方 差例

7、 設(shè)X服從a,b上的均勻分布4.2 方 差例 設(shè)X服從參數(shù)為 指數(shù)分布，求DX。 解：因?yàn)?， ， 所以2022/9/1017概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)4.2 方 差例 設(shè)X服從參數(shù)為 指數(shù)分布，4.2.2 方差的性質(zhì) 在下列性質(zhì)中，假設(shè)隨機(jī)變量的方差總存在。性質(zhì)1 設(shè)C為常數(shù)，則D(C)。 性質(zhì)2 設(shè)C為常數(shù)，則 。 證明 性質(zhì)3 設(shè)X,Y相互獨(dú)立，則D(X+Y)=DX+DY。 2022/9/1018概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)4.2.2 方差的性質(zhì) 在下列性質(zhì)中，假設(shè)隨機(jī)變量的方差總4.3 矩、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù) 4.3.1 矩矩也是隨機(jī)變量的重要數(shù)字特征，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中將要用到這個(gè)概念。定義 設(shè)X為一隨機(jī)變量，若

8、 存在，稱它為X的K階原點(diǎn)矩，記為 ；若 存在，稱它為X的K階中心矩，記為 2022/9/1019概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)4.3 矩、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù) 4.3.1 矩2022/94.3.2 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù) 在本節(jié)中，將討論二維隨機(jī)向量(X,Y)中X和Y的相互關(guān)系的數(shù)字特征。定義 設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)向量，若 存存在，稱它為的協(xié)方差，記為 稱 為隨機(jī)變量X,Y的相關(guān)系數(shù)。2022/9/1020概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)4.3.2 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù) 在本節(jié)中，將討論二維隨機(jī)向量協(xié)方差的性質(zhì)協(xié)方差有如下性質(zhì)：(證明略)性質(zhì)1 = 。性質(zhì)2 =ab ， ab為常數(shù)。性質(zhì)3 = + 。性質(zhì)4 。性質(zhì)5 = 。 202

9、2/9/1021概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)協(xié)方差的性質(zhì)協(xié)方差有如下性質(zhì)：(證明略)2022/9/423相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)有如下性質(zhì)：性質(zhì)1 。性質(zhì)2 若X,Y相互獨(dú)立，則 。性質(zhì)3 的充要條件是X與Y依概率1線性相關(guān)，即存在兩個(gè)常數(shù)a,b且 ，使得 。 2022/9/1022概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)有如下性質(zhì)：2022/9/424概率論4.3.2 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)例 設(shè)(X,Y)服從區(qū)域 上的均勻分布，求 及 。解 (X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為 于是 2022/9/1023概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)4.3.2 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)例 設(shè)(X,Y)服從區(qū)域4.3.2 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)再由協(xié)方差的性質(zhì)5，有=又 ，而 ，故有 。同理 ，所以 = 。 2022/9/1024概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)4.3.2 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)再由協(xié)方差的性質(zhì)5，有20224.3.2 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)例 設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度為 問(wèn)(1) X,Y是否相關(guān)？(2) X,Y是否獨(dú)立？解：(1)X,Y是否相關(guān)要看 是否為0。因?yàn)橥?，所以 =0 從而X,Y