概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(第二版)第2章隨機(jī)變量及其分布71節(jié)課件

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(第二版)第2章隨機(jī)變量及其分布71節(jié)課件概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(第二版)第2章隨機(jī)變量及其分布71節(jié)課件且在積分區(qū)域D上連續(xù)時(shí), 若D為 X - 型區(qū)域 則若D為Y - 型區(qū)域則利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分2022/9/112且在積分區(qū)域D上連續(xù)時(shí), 若D為 X - 型區(qū)域 則若D為Y說(shuō)明: (1) 若積分區(qū)域既是 X - 型區(qū)域又是Y - 型區(qū)域 , 為計(jì)算方便,可選擇積分序, 必要時(shí)還可以交換積分序.則有(2) 若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干X - 型域或Y - 型域 , 則 2022/9/113說(shuō)明: (1) 若積分區(qū)域既是 X - 型區(qū)域又是Y - 型例1. 計(jì)算其中D 是直線

2、 y1, x2, 及yx 所圍的閉區(qū)域. 解法1. 將D看作X - 型區(qū)域, 則解法2. 將D看作Y - 型區(qū)域, 則2022/9/114例1. 計(jì)算其中D 是直線 y1, x2, 及yx 所例2. 計(jì)算其中D 是拋物線所圍成的閉區(qū)域. 解: 為計(jì)算簡(jiǎn)便, 先對(duì) x 后對(duì) y 積分,及直線則 2022/9/115例2. 計(jì)算其中D 是拋物線所圍成的閉區(qū)域. 解: 為計(jì)算簡(jiǎn)例3. 計(jì)算其中D 是直線 所圍成的閉區(qū)域.解: 由被積函數(shù)可知,因此取D 為X - 型域 :先對(duì) x 積分不行, 說(shuō)明: 有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序.2022/9/116例3. 計(jì)算其中D 是直線 所圍成的

3、閉區(qū)域.解: 由被積函數(shù)例4.計(jì)算二重積分其中區(qū)域D 是由直線 與雙曲線 圍成的閉區(qū)域 .解: Y-型區(qū)域，則2022/9/117例4.計(jì)算二重積分其中區(qū)域D 是由直線 與雙曲線 圍成的閉區(qū)例5.計(jì)算二重積分其中D是由直線y=2x,x=2y 和直線x+y=3所圍的封閉區(qū)域.x=2yy=2xx+y=3解: 由將D看作X-型區(qū)域，它由兩部分組成:122022/9/118例5.計(jì)算二重積分其中D是由直線y=2x,x=2y 和直線x例5(續(xù)).計(jì)算二重積分其中D是由直線y=2x,x=2y,和直線x+y=3所圍的封閉區(qū)域.x=2yy=2xx+y=3解: 積分域D由兩部分組成:12X-型區(qū)域2022/9/

4、119例5(續(xù)).計(jì)算二重積分其中D是由直線y=2x,x=2y,和第七節(jié) 多維隨機(jī)變量 及其分布(1)一、二維隨機(jī)變量及其分布二、二維離散型隨機(jī)變量三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量2022/9/1110第七節(jié) 多維隨機(jī)變量 在實(shí)際問(wèn)題中，可能遇到多個(gè)隨機(jī)變量的情形，如：1) 射擊問(wèn)題中,對(duì)于彈著點(diǎn)往往需要橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)描述;2) 研究學(xué)齡前兒童的發(fā)育情況，觀察身高,體重等;3) 具體評(píng)價(jià)產(chǎn)品的質(zhì)量,可能有多個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)如尺寸,外形,外包裝等.2022/9/1111 在實(shí)際問(wèn)題中，可能遇到多個(gè)隨機(jī)變量的情形，如：1）定義：設(shè) E 是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是=，設(shè) X=X() 和 Y=Y() 是定義在 上

5、的隨機(jī)變量。由它們構(gòu)成的一個(gè)向量 (X, Y) ，叫做二維隨機(jī)向量，或二維隨機(jī)變量。X( )Y()一、 二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)2022/9/11121）定義：X( )Y()一、 二維隨機(jī)變量及其分布函注 意 事 項(xiàng)2022/9/1113注 意 事 項(xiàng)2022/9/9153.聯(lián)合分布函數(shù)1）定義2）幾何意義yo(x, y)(X, Y )2022/9/11143.聯(lián)合分布函數(shù)1）定義2）幾何意義yo(x, y)(X, 3）一個(gè)重要的公式y(tǒng)xox1x2y1y2(X, Y )(x2 , y2)(x2 , y1)(x1 , y2)(x1 , y1)2022/9/11153）一個(gè)重要的公式y(tǒng)xox1x2

6、y1y2(X, Y )(x24）分布函數(shù)具有以下的基本性質(zhì)：（1）F (x , y )是變量 x , y 的不減函數(shù)，即對(duì)于任意固定的 y , 當(dāng) x1 x2時(shí)， 對(duì)于任意固定的 y , 且對(duì)于任意固定的 x , 當(dāng) y1 y2時(shí)， 對(duì)于任意固定的 x , 2022/9/11164）分布函數(shù)具有以下的基本性質(zhì)：（1）F (x , y )是 （3） F (x , y )=F(x+0,y), F (x , y )=F(x ,y+0), 即 F (x , y )關(guān)于 x 右連續(xù)，關(guān)于 y 也右連續(xù).yxox1x2y1y2(X, Y )(x2 , y2)(x2 , y1)(x1 , y2)(x1 ,

7、y1)說(shuō)明：任何二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)都具有這四條性質(zhì)；更進(jìn)一步地，我們還可以證明：如果某一個(gè)二元函數(shù)具有這四條性質(zhì)，那么，它一定是某一二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)。2022/9/1117 （3） F (x , y )=F(x+0,y), 定義 若X, Y均為離散隨機(jī)變量，則 (X,Y ) 為二維離散隨機(jī)變量,且二、二維離散隨機(jī)變量1. 二維離散隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布2022/9/1118 定義 若X, Y均為離散隨機(jī)變量，則 (X,Y ) 為二XY其中2022/9/1119XY其中2022/9/921設(shè)隨機(jī)變量X在1,2,3,4四個(gè)整數(shù)中等可能地取試求（X, Y）的聯(lián)合概率分布。例1一個(gè)值，隨機(jī)變

8、量Y在1-X中等可能地取一整數(shù)值，解：由乘法公式易得（X,Y）的聯(lián)合概率分布。即Y X123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/162022/9/1120設(shè)隨機(jī)變量X在1,2,3,4四個(gè)整數(shù)中等可能地取試求（X, 設(shè)二維隨機(jī)變量（X, Y）的聯(lián)合概率分布如下例2X Y0123010/506/504/501/5019/5010/503/50025/502/5000解：2022/9/1121設(shè)二維隨機(jī)變量（X, Y）的聯(lián)合概率分布如下例2X Y0三、二維連續(xù)隨機(jī)變量1. 二維連續(xù)隨機(jī)變量 定義 設(shè)X, Y均為連續(xù)隨機(jī)變量，2022/9/112

9、2三、二維連續(xù)隨機(jī)變量1. 二維連續(xù)隨機(jī)變量 定義 設(shè)X, 聯(lián)合概率密度的性質(zhì)： 設(shè) G 是平面上的一個(gè)區(qū)域，點(diǎn) ( X,Y )落在 G 內(nèi) 的概率為：這個(gè)公式非常重要！2022/9/1123 聯(lián)合概率密度的性質(zhì)： 設(shè) G 是平面上的一例3(1) 求F(x,y);1D1O xy(2) 求(X,Y)落在區(qū)域D內(nèi)的概率,區(qū)域D如圖所示.2022/9/1124例3(1) 求F(x,y);1D1O xy(2) 求(X,Y解(1)2022/9/1125解(1)2022/9/927(2)1D10 xy2022/9/1126(2)1D10 xy2022/9/928例 42022/9/1127例 42022/

10、9/9292022/9/11282022/9/9302022/9/11292022/9/9312022/9/11302022/9/932x+y=12022/9/1131x+y=12022/9/933小結(jié)： 1 二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布率的定義及性質(zhì)。 2 聯(lián)合分布函數(shù)的定義及性質(zhì)。 3 二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度的定義及性 質(zhì)，特別是 4 二維均勻分布和二維正態(tài)分布。2022/9/1132小結(jié)：4 二維均勻分布和二維正態(tài)分布。2022/9/9341. 二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)2. 二維離散隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布及分布函數(shù)3. 二維連續(xù)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度和分布函數(shù)內(nèi)容小結(jié)2022/9

11、/11331. 二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)2. 二維離散隨機(jī)變量的聯(lián)合習(xí)題二(P64)：16,17,18作業(yè)2022/9/1134習(xí)題二(P64)：16,17,18作業(yè)2022/9/93思考題2022/9/1135思考題2022/9/937備用題1.解2022/9/1136備用題1.解2022/9/938XY0 1 2 31300002022/9/1137XY0 1 2 31302.解2022/9/11382.解2022/9/9402022/9/11392022/9/9412022/9/11402022/9/9423.設(shè)隨機(jī)事件A,B滿足求(X,Y)的分布列.解2022/9/11413.設(shè)隨機(jī)事件

12、A,B滿足求(X,Y)的分布列.解2022/9所以(X,Y)的聯(lián)合分布列為2022/9/1142所以(X,Y)的聯(lián)合分布列為2022/9/944所以(X,Y)的聯(lián)合分布列為2022/9/1143所以(X,Y)的聯(lián)合分布列為2022/9/9454.在長(zhǎng)為a的線段的中點(diǎn)的兩邊隨機(jī)地各取獨(dú)立，它們的聯(lián)合密度函數(shù)為Y為線段中點(diǎn)右邊所取點(diǎn)到端點(diǎn)0的距離，一點(diǎn)，求兩點(diǎn)間的距離小于a/3的概率.記X為線段中點(diǎn)左邊所取點(diǎn)到端點(diǎn)0的距離，解OxaXY2022/9/11444.在長(zhǎng)為a的線段的中點(diǎn)的兩邊隨機(jī)地各取獨(dú)立，它們的聯(lián)合密度圖2.2的陰影部分，因此，所求概率為xyO圖2-22022/9/1145圖2.2的陰影部分，因此，所求概率為xyO圖2-22022/5.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為解故 k=1/8.2022/9/11465.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為解故 k=1/8.2xyO12234x+y=4圖2-42022/9/1147xyO