最新高等數(shù)學5-2高數(shù)一組孫森

1、習題5-2高數(shù)一組A用比擬審斂法判斷以下級數(shù)的斂散性 QUOTE 解：由 QUOTE 發(fā)散，得 QUOTE 發(fā)散。由比擬審斂法得原式發(fā)散。 QUOTE 解： QUOTE QUOTE 收斂，由比擬審斂法得原式收斂。3 QUOTE 解： QUOTE nn+1(n+2)nn+1(n+2)= QUOTE n+1-1n+1(n+2)n+1-1n+1(n+2)=-( QUOTE 1n+1-1n+21n+1-1n+2)= QUOTE 2n+2 2n+2- QUOTE 1n+11n+1 - QUOTE 1n+21n+2= QUOTE 1n+21n+2由 QUOTE 發(fā)散，得 QUOTE 發(fā)散。由比擬審斂法得原

2、式發(fā)散。(4) QUOTE 解：正弦函數(shù)在0， QUOTE 單調遞增， QUOTE 單調遞減，且小于等于1， QUOTE sinsinx得：。由 QUOTE 收斂，得原式收斂。5 QUOTE 解：n，得 QUOTE 。當n=1時， QUOTE =0.當n QUOTE 又正弦函數(shù)在0， QUOTE 單調遞增，由 QUOTE 發(fā)散，得 QUOTE 發(fā)散，得原式發(fā)散。6 QUOTE 解：= QUOTE 12n+12nn22n12n+12nn22n由 QUOTE 收斂，得 QUOTE 收斂，得原式收斂。7 QUOTE ( QUOTE n+1n+1)解：( QUOTE n+1n+1)= QUOTE 有p

3、級數(shù)易得 QUOTE 收斂，所以原式收斂。=x- QUOTE x22x22+o( QUOTE x2x2)8 QUOTE a解：當a=1時，原式= QUOTE ,顯然發(fā)散。當a QUOTE =.當a當a QUOTE 用比值審斂法判別以下級數(shù)的斂散性。1 QUOTE 解： QUOTE = QUOTE 1311312 QUOTE 解： QUOTE =。3 QUOTE 解： QUOTE = QUOTE = QUOTE 121121.4 QUOTE 解： QUOTE = QUOTE =.5 QUOTE 解：=,6 QUOTE 解： QUOTE = QUOTE = QUOTE 01000)解： QUOTE

4、 = QUOTE , QUOTE QUOTE 。 QUOTE 解：= QUOTE 又 QUOTE QUOTE 。 QUOTE 解：= QUOTE QUOTE 。用適當?shù)姆椒ㄅ袆e以下級數(shù)的斂散性。1 QUOTE ( QUOTE a0,b0a0,b0)解： QUOTE 1an+b1an1an+b1an,由 QUOTE 發(fā)散，得 QUOTE 發(fā)散。由比擬審斂法得原式發(fā)散。2 QUOTE 解： QUOTE 3 QUOTE 解： QUOTE =4解： QUOTE = QUOTE (令t=) QUOTE 。5 QUOTE (a)解： QUOTE 當b當b QUOTE ， QUOTE QUOTE an1+b

5、nanbnan1+bn1,1,a時原式收斂，其余情況皆發(fā)散。判別以下級數(shù)是否收斂，如果收斂，是條件收斂還是絕對收斂？解：,=0,由萊布尼茨審斂法得原式收斂。有p級數(shù)易得 QUOTE 發(fā)散，所以原式條件收斂。解： QUOTE =0,由萊布尼茨審斂法得原式收斂。 QUOTE = QUOTE 131131解： QUOTE =0,由萊布尼茨審斂法得原式收斂。 QUOTE 發(fā)散易得原式條件收斂。 QUOTE 解： QUOTE =0,由萊布尼茨審斂法得原式收斂。1-cos1n=sin212n QUOTE sin212n(12n)2sin212n1n+11n1n+1，=0,由萊布尼茨審斂法得 QUOTE 收

6、斂。那么原式收斂。- QUOTE 1n2+11n, n=1?1n1n2+11n, n=1?1n發(fā)散，得原級數(shù)條件收斂。 QUOTE 解：n，QUOTE =0, 由萊布尼茨審斂法得 QUOTE 收斂。 QUOTE =,B6、設數(shù)列n QUOTE anan有界，證明 QUOTE 收斂。證明：數(shù)列n QUOTE anan有界，不妨設 QUOTE 。那么 QUOTE 。得： QUOTE an2鈮?M2n2an2鈮?M2n2,有p級數(shù)易得 QUOTE 收斂。由比擬審斂法得 QUOTE 收斂。7、假設 QUOTE 與 QUOTE 都收斂，且 QUOTE (n=1,2,3)，證明 QUOTE 收斂.證明：

7、QUOTE ，而 QUOTE cn-an?bn-an?0,cn-an?bn-an?0,得 QUOTE QUOTE 收斂，得證。8、如果正項級數(shù)也收斂。證明：2 QUOTE ,又 QUOTE 且 QUOTE .得證 QUOTE 也收斂。9、設分別是級數(shù) QUOTE 的正部與負部。證明：1 QUOTE 絕對收斂的充分必要條件是其正部與負部同時收斂。2 QUOTE 條件收斂的充分必要條件是其正部與負部同時發(fā)散。證明：a) QUOTE 絕對收斂，那么 QUOTE 收斂，且 QUOTE 也收斂。又- QUOTE ，- QUOTE ，由第七題易得正部與負部同時收斂。正部與負部同時收斂。那么 QUOTE 也收斂。 QUOTE =2a QUOTE 條件收斂，即 QUOTE 發(fā)散，且 QUOTE 收斂。反證法：如果其正部與負部不同時發(fā)散。有以下情況：同時收斂，易知 QUOTE 絕對收斂