概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 五大數(shù)定理

1、用來(lái)闡明大量隨機(jī)現(xiàn)象平均結(jié)果穩(wěn)定性的定理.切比雪夫不等式:設(shè)隨機(jī)變量 X 有數(shù)學(xué)期望 EX 及方差 DX，則對(duì)于任何正數(shù) ，下列不等式成立：第五章 大數(shù)定理與中心極限定理“大數(shù)定律”:或就 X是連續(xù)型隨機(jī)變量的情況證明：證一、切比雪夫不等式設(shè)X 的概率密度為則1例1 利用切比雪夫不等式估計(jì)隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望的差大于三倍標(biāo)準(zhǔn)差的概率.解當(dāng)X 的分布未知時(shí)，利用E(X)、D(X)可以得到關(guān)于概率的粗略估計(jì)。放大被積函數(shù)其值也大放大積分區(qū)間其值也大注：2例2 為了確定事件 A 的概率, 進(jìn)行了10000次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn). 利用切比雪夫不等式估計(jì)：用事件A 在10000次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率作為事件 A

2、的概率近似值時(shí), 誤差小于0.01的概率.解設(shè)事件A 在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為 p，在這10000次試驗(yàn)中發(fā)生了X 次,則因此，所求事件的概率為3的數(shù)學(xué)期望是：獨(dú)立隨機(jī)變量 的算術(shù)平均值：二、大數(shù)定理的方差為：若方差一致有上界，則當(dāng) n 充分大時(shí)，隨機(jī)變量分散程度是很小的，由此，也就是說(shuō)，的值較緊密地聚集在它的數(shù)學(xué)期望的附近.4切比雪夫定理：設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量 ,則對(duì)于任何正數(shù) ，恒有分別有數(shù)學(xué)及方差即存在某一常數(shù)K，使得且方差是一致有上界的，期望并按概率收斂于當(dāng) 時(shí)，按概率收斂于零?；蛘f(shuō)這就是說(shuō)，5證并注意到概率不能大于1，得證.對(duì)于隨機(jī)變量由切比雪夫不等式所以6若對(duì)于任何正數(shù) ，定義：記作當(dāng)

3、時(shí)按概率收斂于數(shù) a ，則稱隨機(jī)變量注：則 的算術(shù)平均值當(dāng)期望 及方差 ，設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量服從同一分布,并且有數(shù)學(xué)時(shí)，按概率收斂于，即對(duì)于任何正數(shù) ，恒有推論(辛欽大數(shù)定律)7伯努利定理：在獨(dú)立試驗(yàn)序列中，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)無(wú)限增加時(shí)，事件A 的頻率按概率收斂于事件A 的概率.概率很小的事件在個(gè)別試驗(yàn)中是不可能發(fā)生的。小概率事件的實(shí)際不可能性原理：即：設(shè)事件 A 的概率 P(A) = p， 發(fā)生的次數(shù)，事件 A 的頻率為 恒有m 表示 A 在 n 次獨(dú)立試驗(yàn)中則對(duì)于任何正數(shù) ， 8若次品率不大于0.01，則任取200件，發(fā)現(xiàn)6件次品的概率應(yīng)不大于利用泊松定理，取=2000.01=2此概率很小，據(jù)小概率事

4、件的實(shí)際不可能性原理，不能相信該工廠的次品率不大于0.01。品能否相信該工廠的次品率不大于0.01。例3 從某工廠的產(chǎn)品中任取200件，檢查結(jié)果發(fā)現(xiàn)其中有6件次解9設(shè)事件表示“在 n 次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A發(fā)生”；表示“在第 i 次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生”。而顯然，例4 設(shè)在每次試驗(yàn)中，事件 A 發(fā)生的概率均為 p(0p1)，且 p很小(小概率事件)，求在 n 次獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率。解注 小概率事件盡管在個(gè)別試驗(yàn)中不可能發(fā)生，但在大量試驗(yàn)中幾乎必然發(fā)生。10第二節(jié) 中心極限定理概率論中有關(guān)論證隨機(jī)變量的和的極限分布是正態(tài)分布的定理叫做中心極限定理。設(shè) 是獨(dú)立隨機(jī)變量，并各有則：11設(shè)獨(dú)立隨

5、機(jī)變量林德伯格條件 林德伯格定理:則當(dāng) 時(shí),有若每一個(gè)別隨機(jī)變量對(duì)于總和不起主要作用，注當(dāng) n 充分大時(shí),近似地服從正態(tài)分布12列維定理則當(dāng) 時(shí)，它們和的極限分布是正態(tài)分布，即(z 為任意實(shí)數(shù).)考慮隨機(jī)變量:則學(xué)期望和方差： 設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量服從同分布,并且有數(shù)13解由列維定理知, 所求的概率 例1 計(jì)算機(jī)進(jìn)行加法計(jì)算時(shí), 把每個(gè)加數(shù)取為最接近于它的整數(shù)來(lái)計(jì)算. 設(shè)所有的取整誤差是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量, 并且都在區(qū)間-0.5,0.5上服從均勻分布, 求 300 個(gè)數(shù)相加時(shí)誤差總和的絕對(duì)值小于10的概率。設(shè)隨機(jī)變量 表示第i個(gè)加數(shù)的取整誤差，則在區(qū)間上服從均勻分布，并且有14德莫威爾拉普拉斯定理其

6、中z 是任何實(shí)數(shù)，設(shè)在獨(dú)立實(shí)驗(yàn)序列中，事件A 在各次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的概率為隨機(jī)變量 表示事件A 在n 次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的次 數(shù)，則有由于隨機(jī)變量 服從二項(xiàng)分布拉斯定理說(shuō)明：當(dāng) n 充分大時(shí)，服從的隨機(jī)變量所以德莫威爾拉普近似地服從正態(tài)分布15(1) 已知 n=200, p =0.75，解np=150，(1) 任一時(shí)刻有144至160臺(tái)機(jī)器正在工作的概率；(2) 需供應(yīng)多少電功率可以保證所有機(jī)器正常工作的概率例2 200臺(tái)同類型的機(jī)器，每臺(tái)工作時(shí)所需電功率為Q千瓦 ，每臺(tái)實(shí)際工作時(shí)間占全部工作時(shí)間的75%，各臺(tái)機(jī)器是否工作是相互獨(dú)立的。求：不小于0.99。16(2)設(shè)任一時(shí)刻正在工作的機(jī)器的臺(tái)數(shù)不超過(guò)m，則：所以需要供應(yīng)165Q千瓦的電功率。17例3. 在一家保險(xiǎn)公司里,有10000人參加某險(xiǎn)種的保險(xiǎn),每人每年付120元保險(xiǎn)費(fèi),在一年內(nèi) 1 個(gè)人死亡的概率為0.007,死亡時(shí)其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)取10000元,求保險(xiǎn)公司一年內(nèi)利潤(rùn)不少于400000元的概率?解以 X 表示一年內(nèi)死亡人數(shù),保險(xiǎn)公司一年內(nèi)利潤(rùn)不少于400000元,即即保險(xiǎn)公司一年內(nèi)利潤(rùn)不少于400000元的概率為88.49%.18例5.8 每顆炮彈命中飛機(jī)的概率為0.01，求500發(fā)炮彈中命中5發(fā)的概率. 上一頁(yè)下一頁(yè)返回解 500發(fā)炮彈中命中飛機(jī)的炮彈數(shù)目X服從二項(xiàng)分布，