雙曲線定義方程和性質(zhì)

1、雙曲線的定義、方程和性質(zhì)(精)雙曲線的定義、方程和性質(zhì)(精)7/7雙曲線的定義、方程和性質(zhì)(精)雙曲線的定義、方程和性質(zhì)執(zhí)教：錢(qián)如平班級(jí)：高二(3)地址：本教室時(shí)間：200046一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：掌握雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，注意與橢圓的差別和聯(lián)系。二、知識(shí)重點(diǎn)：1定義（1）第必定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之差的絕對(duì)值等于定長(zhǎng)2a（小于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線。說(shuō)明：|PF1|-|PF2|=2a（2a|F1F2|時(shí)無(wú)軌跡。設(shè)M是雙曲線上隨意一點(diǎn)，若M點(diǎn)在雙曲線右側(cè)一支上，則|MF1|MF2|，|MF1|-|MF2|=2a；若M在雙曲線的左支上，則|MF1|1）的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線，定

2、點(diǎn)叫焦點(diǎn)，定直線L叫相應(yīng)的準(zhǔn)線。2雙曲線的方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2y2y2x21(a0,b0)a21(a0,b0)a2b2b2圖形焦點(diǎn)F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，-c），F(xiàn)2（0，c）極點(diǎn)A1（a，0），A2（-a，0）A1（0，a），A2（0，-a）對(duì)稱軸實(shí)軸2a，虛軸2b，實(shí)軸在x軸上，實(shí)軸2a，虛軸2b，實(shí)軸在y軸上，c2=a2+b2c2=a2+b2離心率ec|MF2|ec|MF2|a|MD|a|MD|l:xa2,l:xa2l:ya2,l:ya2準(zhǔn)線方程1c2c1c2c2a2準(zhǔn)線間距離為2a2準(zhǔn)線間距離為cc漸近線方程xy0,xy0 xy0,xy0ababbaba3幾個(gè)見(jiàn)

3、解（1）等軸雙曲線：實(shí)、虛軸相等的雙曲線。等軸雙曲線的漸近線為y=x，離心率為2。（2）共軸雙曲線：以已知雙曲線的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸的雙曲線叫原雙曲線的共軸雙曲線，例：x2y21的共軸雙曲線是x2y21。a2b2a2b2雙曲線及其共軸雙曲線有共同的漸近線。但有共同的漸近線的兩雙曲線，不用然是共軸雙曲線；雙曲線和它的共軸雙曲線的四個(gè)焦點(diǎn)在同一個(gè)圓周上。三、解題方法指導(dǎo)：例1設(shè)雙曲線方程為x2y21，則中心坐標(biāo)為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，極點(diǎn)坐2標(biāo)為，實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為，離心率為，準(zhǔn)線方程為，漸近線方程，對(duì)稱軸方程為，實(shí)軸方程為，共軸雙曲線方程為。解：中心（0，0），焦點(diǎn)坐標(biāo)（3，0），極點(diǎn)坐標(biāo)（2，0）

4、，實(shí)軸長(zhǎng)為22，虛軸長(zhǎng)為2，離心率為6，準(zhǔn)線方程為x23，準(zhǔn)線間距離為43，漸近線方程為233y2x，對(duì)稱軸方程x=0，y=0，實(shí)軸方程y=0，（2x2），共軸雙曲線2x2y21，即y2x21。22說(shuō)明：依據(jù)雙曲線的方程嫻熟地寫(xiě)出其性質(zhì)，是學(xué)習(xí)雙曲線基本要求，也是一項(xiàng)重要基本功，對(duì)知識(shí)重點(diǎn)中的性質(zhì)部分要熟記。例2設(shè)曲線C的方程為Ax2+By2=|（AB0），則C表示橢圓的充要條件是C表示焦點(diǎn)在X軸上的橢圓的充要條件是C表示焦點(diǎn)在Y軸上的橢圓的充要條件是C表示雙曲線的充要條件是C表示焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線的充要條件是C表示焦點(diǎn)在Y軸上的雙曲線的充要條件是C表示圓的充要條件是解：C的方程可化為x2y

5、21(AB0)11AB則C表示橢圓的充要條件是1111，即A0,B0,AB，A0,B0,ABBA0，AB0，AB0，A0，B0，A0，B0，AB0，說(shuō)明：方程Ax2+By2=1，可表示圓、橢圓、雙曲線，而圓、橢圓、雙曲線是有意曲線，故Ax2+By2=1表示有意曲線。例3求以2x3y=0為漸近線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2）的雙曲線方程解法一，當(dāng)x=1時(shí)，代入漸近線方程y2x，得y22。33點(diǎn)（1，2）必定在2x-3y=0的上方，雙曲線的實(shí)軸所在的坐標(biāo)軸必定是y軸可設(shè)方程為y2x21，其漸近線方程為y2x20,xyxy0a2b2a2b2babab3b3aa2241又（1，2）在雙曲線上，1a2b2代入41

6、1,a232,b28所求雙曲線方程為y2x21a2929328a94解法二：方程23y0的雙曲線系方程，即共漸近線4x-9y2=，是全部漸近線方程為2x方程，由于（1，2）點(diǎn)合適此方程4-36=，=-32方程為4x2-9y2=-32，即y2x2189說(shuō)明：雙曲線是擁有漸近線的曲線，學(xué)習(xí)時(shí)要注意以下兩個(gè)問(wèn)題（1）已知雙曲線方程，求出它的漸近線方程。（2）求已知漸近線的雙曲線方程；已知漸近線方程為axby0時(shí)，可設(shè)雙曲線方程為a2x2-b2y2=(0)，再利用其余條件確立入的值，這求法實(shí)質(zhì)上是待定系數(shù)法。例4設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)A（5，0）的距離與它到定直線X=3的距離之比為3，求其軌跡方程。

7、錯(cuò)解：依據(jù)雙曲線的第二定義A（5，0）為焦點(diǎn)，C=5，又a23c2222P點(diǎn)的軌跡方程為雙曲線x2y2a=15b=c-a=25-15=1015110而此雙曲線的離心率應(yīng)為c5153因此雙曲線的中心不在座標(biāo)原點(diǎn)。a153正確解答：由動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的條件可得：(x5)2y2x33化簡(jiǎn)后得：2x2-y2-8x+2=0a2說(shuō)明：錯(cuò)解錯(cuò)誤地按曲線中心為原點(diǎn)得出焦點(diǎn)從標(biāo)F（C，0）和準(zhǔn)線方程為x的結(jié)論，c四、練習(xí)題（一）選擇題1雙曲線x2y21的離心率e為（）45B、3C、13A、2D、2222已知雙曲線以橢圓x2y22，則該雙曲線的方程。251的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，且它的離心率為9x2y21x2y2x2y2x2y2A

8、、4B、121C、1D、11249272793雙曲線的漸近線方程為3，則它的離心率e為（）y4A、5B、5C、5或5D、434433（二）填空題x2y21有共同的漸近線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（5,15）的雙曲線方程4與雙曲線2055雙曲線4y2x21的漸近線方程是9x2y21的兩焦點(diǎn)為F1、F2，此雙曲線上一點(diǎn)P到F1的距離為12，則點(diǎn)P6雙曲線925到F2的距離x2y24.5，則點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離為7雙曲線1上有一點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離9168以橢圓x2+4y2=64的焦點(diǎn)為極點(diǎn)，一條漸近線方程為x3y0的，雙曲線方程（三）解答題：給定雙曲線x2p1，過(guò)點(diǎn)B（1，1）可否作直線m，使m與所給雙曲線交于兩點(diǎn)2Q1及Q2，且點(diǎn)B是線段Q1Q2的中點(diǎn)，這樣的直線假如存在，求出它的方程，假如不存在說(shuō)明原因。參照答案（一）選擇題（1）A（2）B（3）C（二）填空題（4）x2y21（5）y1x10406（6）22或許2x2y2（7）13.5(8)14816（三）解答題解：假定所求的直線m存在，其方程為y=k（x-1）+1代入雙曲線方程整理得：(2k2)x2(2k22k)xk22k30設(shè)Q1(x1y1),Q2(x