單方程計量經(jīng)濟學(xué)模型理論與方法

1、1第二章 單方程計量經(jīng)濟學(xué)模型理論與方法Theory and Methodology of Single-Equation Econometric Model 2第一節(jié) 回歸分析概述一、變量間的關(guān)系及回歸分析的基本概念 二、總體回歸函數(shù)三、隨機擾動項四、樣本回歸函數(shù)（SRF）3一.變量之間的關(guān)系 現(xiàn)象(事物) 統(tǒng)計上 變量之間 之間的關(guān)系 數(shù)學(xué)上 的關(guān)系 函數(shù)關(guān)系(確定性關(guān)系): Y=f(X); 變量關(guān)系 統(tǒng)計(或相關(guān))關(guān)系(不確定關(guān)系): XY. 1.函數(shù)關(guān)系: 一個變量(X)的變化能完全決定另外一個變量的變化,即它們之間有精確的函數(shù)關(guān)系式 Y=f(X).一、變量間的關(guān)系及回歸分析的基本概念

2、4例如: Taxi收費(Y)和行駛里程(X)的關(guān)系:Y=aX+b5二.統(tǒng)計(相關(guān))關(guān)系:變量之間有密切關(guān)系,但密切程度并沒有達到由一個完全確定另一個的程度,即不能找到一個精確的函數(shù)關(guān)系式來描述這種關(guān)系,這種關(guān)系就稱為統(tǒng)計關(guān)系(或相關(guān)關(guān)系). 比如:6 相關(guān)分析(Correlation analysis) 統(tǒng)計關(guān)系的研究 回歸分析(Regression analysis)7 相關(guān)分析對稱地對待任何（兩個）變量，兩個變量都被看作是隨機的。回歸分析對變量的處理方法存在不對稱性，即區(qū)分因變量（被解釋變量）和自變量（解釋變量）：前者是隨機變量，后者不是。注意：8 回歸分析(regression anal

3、ysis)是研究一個變量關(guān)于另一些變量的具體統(tǒng)計依賴關(guān)系的計算方法和理論。 其用意：在于通過后者的已知或設(shè)定值，去估計和（或）預(yù)測前者的（總體）均值。 2、回歸分析的基本概念 例2.1：一個社區(qū)有100戶家庭組成，要研究該社區(qū)每月家庭消費支出Y與每月家庭可支配收入X的關(guān)系。9 1）該社區(qū)每月家庭消費支出Y與每月可支配收入X的關(guān)系？ 2）如果知道了家庭的月收入，預(yù)測該社區(qū)家庭的平均月 消費支出水平？這里： 前一個變量被稱為被解釋變量（Explained Variable）或因變量（Dep-endent Variable），后一個（些）變量被稱為解釋變量（Explanatory Variable）

4、或自變量（Independent Variable）。如果該社區(qū)全體家庭月收入和消費支出情況未知?，F(xiàn)從該社區(qū)家庭中抽樣10個家庭調(diào)查，獲得如下數(shù)據(jù)10 回歸分析構(gòu)成計量經(jīng)濟學(xué)的方法論基礎(chǔ)，其主要內(nèi)容包括： （1）根據(jù)樣本觀察值對經(jīng)濟計量模型參數(shù)進行估 計，求得回歸方程；（2）對回歸方程、參數(shù)估計值進行顯著性檢驗；（3）利用回歸方程進行分析、評價及預(yù)測。11 在給定解釋變量X1 ,X2 , Xk條件下被解釋變量Y的期望軌跡稱為總體回歸線（population regre- ssion line），或更一般地稱為總體回歸曲線（popu lation regression curve）。稱為總體回歸

5、函數(shù)（population regression function, PRF）。 相應(yīng)的函數(shù)： 二、總體回歸函數(shù)12 回歸函數(shù)（PRF）說明被解釋變量Y的平均狀態(tài)（總體條件期望）隨解釋變量X變化的規(guī)律。含義： 函數(shù)形式： 可以是線性或非線性的。 例2.1中，將居民消費支出看成是其可支配收入的線性函數(shù)時: 為一線性函數(shù)。其中，0，1是未知參數(shù)，稱為回歸系數(shù)（regression coefficients）。 13 三、隨機擾動項 總體回歸函數(shù)確定了在給定解釋變量X1 ,X2 , Xk取值的條件下，被解釋變量Y的期望值（平均水平）。 但被解釋變量Y的觀察值Yi可能與該平均水平有偏差。稱i為觀察值Y

6、i圍繞它的期望值E(Y| X1i ,X2i , Xki)的離差（deviation），是一個不可預(yù)測的隨機變量，又稱為隨機干擾項（stochastic disturbance）或隨機誤差項（stochastic error）。 記(*)14例2.1中，個別家庭的消費支出為： （*）式稱為總體回歸函數(shù)（方程，PRF）的隨機設(shè)定形式。表明被解釋變量除了受解釋變量的系統(tǒng)性影響外，還受其他因素的隨機性影響。 （1）該收入水平下所有家庭的平均消費支出E(Y|Xi)，稱為系統(tǒng)性（systematic）或確定性（deterministic)部分。 （2）其他隨機或非確定性（nonsystematic)部分i

7、。即，給定收入水平Xi ,個別家庭的支出可表示為兩部分之和: 由于方程中引入了隨機項，成為計量經(jīng)濟學(xué)模型，因此也稱為總體回歸模型。15隨機誤差項主要包括下列因素的影響：1）在解釋變量中被忽略的因素的影響；2）變量觀測值的觀測誤差的影響；3）模型關(guān)系的設(shè)定誤差的影響；4）其它隨機因素的影響。16四、樣本回歸函數(shù)（SRF） 問題：能從一次抽樣中獲得總體的近似的信息嗎？如果可以，如何從抽樣中獲得總體的近似信息？ 問：能否從該樣本估計總體回歸函數(shù)PRF？ 例：一個社區(qū)有100戶家庭組成，要研究該社區(qū)每月家庭消費支出Y與每月家庭可支配收入X的關(guān)系?，F(xiàn)從該總體中得到如下一個樣本， 總體的信息往往無法掌握，

8、現(xiàn)實的情況只能是在一次觀測中得到總體的一個樣本。17核樣本的散點圖（scatter diagram)： 樣本散點圖近似于一條函數(shù)曲線（直線），畫一條函數(shù)曲線（直線）以盡好地擬合該散點圖，由于樣本取自總體，可以該線近似地代表總體回歸線。該線稱為樣本回歸線（sample regression lines）。 記樣本回歸線的函數(shù)形式為：稱為樣本回歸函數(shù)（sample regression function，SRF）。 18 這里將樣本回歸線看成總體回歸線的近似替代即 注意：19 樣本回歸函數(shù)的隨機形式/樣本回歸模型：同樣地，樣本回歸函數(shù)也有如下的隨機形式： 由于方程中引入了隨機項，成為計量經(jīng)濟模型，

9、因此也稱為樣本回歸模型（sample regression model）。 20 回歸分析的主要目的：根據(jù)樣本回歸函數(shù)SRF，估計總體回歸函數(shù)PRF。注意：這里PRF可能永遠無法知道。即，根據(jù) 估計21第二節(jié) 一元線性回歸模型 一元線性回歸模型的參數(shù)估計 一元線性回歸模型檢驗一元線性回歸模型預(yù)測實例22單方程計量經(jīng)濟學(xué)模型分為兩大類： 線性模型和非線性模型線性模型中，變量之間的關(guān)系呈線性關(guān)系非線性模型中，變量之間的關(guān)系呈非線性關(guān)系 一元線性回歸模型：只有一個解釋變量 i=1,2,nY為被解釋變量，X為解釋變量，0與1為待估參數(shù)， 為隨機干擾項(一) 一元線性回歸模型的參數(shù)估計 23 回歸分析的

10、主要目的是要通過樣本回歸函數(shù)（模型）SRF盡可能準(zhǔn)確地估計總體回歸函數(shù)（模型）PRF。 估計方法有多種，其種最廣泛使用的是普通最小二乘法（ordinary least squares, OLS）。 為保證參數(shù)估計量具有良好的性質(zhì)，通常對模型提出若干基本假設(shè)。 注：實際這些假設(shè)與所采用的估計方法緊密相關(guān)。 24 一、線性回歸模型的基本假設(shè) 假設(shè)1、 隨機誤差項i不序列相關(guān)性： Cov(i, j)=0 ij i,j= 1,2, ,n 假設(shè)2、 隨機誤差項與解釋變量X之間不相關(guān)： Cov(Xi, i)=0 i=1,2, ,n 假設(shè)3、 i服從零均值同方差的正態(tài)分布 iN(0, 2 ) i=1,2,

11、,n 以上假設(shè)也稱為線性回歸模型的經(jīng)典假設(shè)或高斯（Gauss）假設(shè)，滿足該假設(shè)的線性回歸模型，也稱為經(jīng)典線性回歸模型（Classical Linear Regression Model, CLRM）。 25 另外，在進行模型回歸時，還有兩個暗含的假設(shè)： 假設(shè)4：隨著樣本容量的無限增加，解釋變量X的樣本方差趨于一有限常數(shù)。即 假設(shè)5：回歸模型是正確設(shè)定的 假設(shè)4旨在排除時間序列數(shù)據(jù)出現(xiàn)持續(xù)上升或下降的變量作為解釋變量，因為這類數(shù)據(jù)不僅使大樣本統(tǒng)計推斷變得無效，而且往往產(chǎn)生所謂的偽回歸問題（spurious regr-ession problem）。 假設(shè)5也被稱為模型沒有設(shè)定偏誤（specifi

12、cation error）26二、參數(shù)的普通最小二乘估計（OLS） 給定一組樣本觀測值（Xi, Yi）（i=1,2,n）要求樣本回歸函數(shù)盡可能好地擬合這組值. 普通最小二乘法（Ordinary least squares, OLS）給出的判斷標(biāo)準(zhǔn)是：二者之差的平方和最小。27方程組（*）稱為正規(guī)方程組（normal equations）。 28記上述參數(shù)估計量可以寫成： 稱為OLS估計量的離差形式（deviation form）。 由于參數(shù)的估計結(jié)果是通過最小二乘法得到的，故稱為普通最小二乘估計量（ordinary least squares estimators）。 29順便指出 ，記則有

13、可得 （*）式也稱為樣本回歸函數(shù)的離差形式。（*）注意： 在計量經(jīng)濟學(xué)中，往往以小寫字母表示對均值的離差。 30 三、參數(shù)估計的最大似然法(ML) 最大似然法(Maximum Likelihood,簡稱ML) 是不同于最小二乘法的另一種參數(shù)估計方法，是從最大似然原理出發(fā)發(fā)展起來的其它估計方法的基礎(chǔ)。 基本原理： 對于最大似然法，當(dāng)從模型總體隨機抽取n組樣本觀測值后，最合理的參數(shù)估計量應(yīng)該使得從模型中抽取該n組樣本觀測值的概率最大。31在滿足基本假設(shè)條件下，對一元線性回歸模型： 隨機抽取n組樣本觀測值（Xi, Yi）（i=1,2,n）。 那么Yi服從如下的正態(tài)分布：于是，Y的概率函數(shù)為（i=1,

14、2,n） 32因為Yi是相互獨立的，所以的所有樣本觀測值的聯(lián)合概率，也即似然函數(shù)(likelihood function)為： 將該似然函數(shù)極大化，即可求得到模型參數(shù)的極大或然估計量。33 由于或然函數(shù)的極大化與或然函數(shù)的對數(shù)的極大化是等價的，所以，取對數(shù)或然函數(shù)如下：34解得模型的參數(shù)估計量為： 可見，在滿足一系列基本假設(shè)的情況下，模型結(jié)構(gòu)參數(shù)的最大或然估計量與普通最小二乘估計量是相同的。35 例1：在家庭可支配收入-消費支出例中，對于所抽出的一組樣本數(shù)，參數(shù)估計的計算可通過下面的表2.2.1進行。 36因此，由該樣本估計的回歸方程為： 37 四、最小二乘估計量的性質(zhì) 當(dāng)模型參數(shù)估計出后，需

15、考慮參數(shù)估計值的精度，即是否能代表總體參數(shù)的真值，或者說需考察參數(shù)估計量的統(tǒng)計性質(zhì)。 一個用于考察總體的估計量，可從如下幾個方面考察其優(yōu)劣性： （1）線性性，即它是否是另一隨機變量的線性函數(shù)； （2）無偏性，即它的均值或期望值是否等于總體的真實值； （3）有效性，即它是否在所有線性無偏估計量中具有最小方差。38（4）漸近無偏性，即樣本容量趨于無窮大時，是否它的均值序列趨于總體真值；（5）一致性，即樣本容量趨于無窮大時，它是否依概率收斂于總體的真值；（6）漸近有效性，即樣本容量趨于無窮大時，是否它在所有的一致估計量中具有最小的漸近方差。 這三個準(zhǔn)則也稱作估計量的小樣本性質(zhì)。 擁有這類性質(zhì)的估計量

16、稱為最佳線性無偏估計量（best liner unbiased estimator, BLUE）。 當(dāng)不滿足小樣本性質(zhì)時，需進一步考察估計量的大樣本或漸近性質(zhì)：39高斯馬爾可夫定理(Gauss-Markov theorem) 在給定經(jīng)典線性回歸的假定下，最小二乘估計量是具有最小方差的線性無偏估計量。40證：易知故同樣地，容易得出 4142（2）證明最小方差性其中，ci=ki+di，di為不全為零的常數(shù)則容易證明 普通最小二乘估計量（ordinary least Squares Estimators）稱為最佳線性無偏估計量（best linear unbiased estimator, BLUE

17、） 43 由于最小二乘估計量擁有一個“好”的估計量所應(yīng)具備的小樣本特性，它自然也擁有大樣本特性。 44 五、參數(shù)估計量的概率分布及隨機干擾項方差的估計 45462、隨機誤差項的方差2的估計 由于隨機項i不可觀測，只能從i的估計殘差ei出發(fā)，對總體方差進行估計。 2又稱為總體方差。 可以證明，2的最小二乘估計量為它是關(guān)于2的無偏估計量。 47 在最大似然估計法中， 因此， 2的最大或然估計量不具無偏性，但卻具有一致性。 4849（二）一元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗 通過參數(shù)估計得到總體回歸函數(shù)的估計表達式樣本回歸函數(shù)以后，還必須對樣本回歸函數(shù)能否代表總體回歸函數(shù)進行統(tǒng)計推斷，即進行所謂的統(tǒng)計檢驗。主

18、要包括擬合優(yōu)度檢驗、變量的顯著性檢驗及參數(shù)的區(qū)間估計。50一、擬合優(yōu)度檢驗 擬合優(yōu)度檢驗：對樣本回歸直線與樣本觀測值之間擬合程度的檢驗。 度量擬合優(yōu)度的指標(biāo)：判定系數(shù)（可決系數(shù)）R2 問題：采用普通最小二乘估計方法，已經(jīng)保證了模型最好地擬合了樣本觀測值，為什么還要檢驗擬合程度？51 1、總離差平方和的分解 已知由一組樣本觀測值（Xi , Yi），i=1,2,n得到如下樣本回歸直線 52 如果Yi=i 即實際觀測值落在樣本回歸“線”上，則擬合最好?？烧J為，“離差”全部來自回歸線，而與“殘差”無關(guān)。53 對于所有樣本點，則需考慮這些點與樣本均值離差的平方和,可以證明：記總體平方和（Total Su

19、m of Squares）回歸平方和（Explained Sum of Squares）殘差平方和（Residual Sum of Squares ）54TSS=ESS+RSS Y的觀測值圍繞其均值的總離差(total variation)可分解為兩部分：一部分來自回歸線(ESS)，另一部分則來自隨機勢力(RSS)。在給定樣本中，TSS不變， 如果實際觀測點離樣本回歸線越近，則ESS在TSS中占的比重越大，因此 擬合優(yōu)度：回歸平方和ESS/Y的總離差TSS552、可決系數(shù)R2統(tǒng)計量 稱 R2 為（樣本）可決系數(shù)/判定系數(shù)（coefficient of determination)。 可決系數(shù)的

20、取值范圍：0，1 R2越接近1，說明實際觀測點離樣本線越近，擬合優(yōu)度越高。56 在例2.1.1的收入-消費支出例中， 57 二、變量的顯著性檢驗 回歸分析是要判斷解釋變量X是否是被解釋變量Y的一個顯著性的影響因素。 在一元線性模型中，就是要判斷X是否對Y具有顯著的線性性影響。這就需要進行變量的顯著性檢驗。 變量的顯著性檢驗所應(yīng)用的方法是數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中的假設(shè)檢驗。 計量經(jīng)計學(xué)中，主要是針對變量的參數(shù)真值是否為零來進行顯著性檢驗的。 58 1、假設(shè)檢驗 所謂假設(shè)檢驗，就是事先對總體作出一個假設(shè)，然后利用樣本信息來判斷原假設(shè)是否合理，即判斷樣本信息與原假設(shè)是否有顯著差異，從而決定是否接受或否定原假設(shè)。

21、 假設(shè)檢驗采用的邏輯推理方法是反證法。 先假定原假設(shè)正確，然后根據(jù)樣本信息，觀察由此假設(shè)而導(dǎo)致的結(jié)果是否合理，從而判斷是否接受原假設(shè)。 判斷結(jié)果合理與否，是基于“小概率事件不易發(fā)生”這一原理的。 即在一次抽樣中，小概率事件（P t /2(n-2)，則拒絕H0 ，接受H1 ； 若 |t| t /2(n-2)，則拒絕H1 ，接受H0 ；64 對于一元線性回歸方程中的0，可構(gòu)造如下t統(tǒng)計量進行顯著性檢驗： 在上述收入-消費支出例中，首先計算2的估計值 65t統(tǒng)計量的計算結(jié)果分別為： 給定顯著性水平=0.05，查t分布表得臨界值 t 0.05/2(8)=2.306 |t1|2.306，說明家庭可支配收

22、入在95%的置信度下顯著，即是消費支出的主要解釋變量； |t2|2.306,表明在95%的置信度下，無法拒絕截距項為零的假設(shè)。 66 假設(shè)檢驗可以通過一次抽樣的結(jié)果檢驗總體參數(shù)可能的假設(shè)值的范圍（如是否為零），但它并沒有指出在一次抽樣中樣本參數(shù)值到底離總體參數(shù)的真值有多“近”。 要判斷樣本參數(shù)的估計值在多大程度上可以“近似”地替代總體參數(shù)的真值，往往需要通過構(gòu)造一個以樣本參數(shù)的估計值為中心的“區(qū)間”，來考察它以多大的可能性（概率）包含著真實的參數(shù)值。這種方法就是參數(shù)檢驗的置信區(qū)間估計。 三、參數(shù)的置信區(qū)間 67 如果存在這樣一個區(qū)間，稱之為置信區(qū)間（confidence interval）；

23、1-稱為置信系數(shù)（置信度）（confidence coefficient）， 稱為顯著性水平（level of significance）；置信區(qū)間的端點稱為置信限（confidence limit）或臨界值（critical values）。68一元線性模型中，i (i=1，2）的置信區(qū)間:在變量的顯著性檢驗中已經(jīng)知道： 意味著，如果給定置信度（1-），從分布表中查得自由度為(n-2)的臨界值，那么t值處在(-t/2, t/2)的概率是(1- )。表示為： 即69于是得到:(1-)的置信度下, i的置信區(qū)間是 在上述收入-消費支出例中，如果給定 =0.01，查表得： 由于于是，1、0的置信區(qū)

24、間分別為： （0.6345,0.9195) （-433.32,226.98） 70 由于置信區(qū)間一定程度地給出了樣本參數(shù)估計值與總體參數(shù)真值的“接近”程度，因此置信區(qū)間越小越好。 要縮小置信區(qū)間，需 （1）增大樣本容量n，因為在同樣的置信水平下，n越大，t分布表中的臨界值越?。煌瑫r，增大樣本容量，還可使樣本參數(shù)估計量的標(biāo)準(zhǔn)差減??； （2）提高模型的擬合優(yōu)度，因為樣本參數(shù)估計量的標(biāo)準(zhǔn)差與殘差平方和呈正比，模型擬合優(yōu)度越高，殘差平方和應(yīng)越小。71(三). 一元線性回歸分析的應(yīng)用：預(yù)測問題 對于一元線性回歸模型 給定樣本以外的解釋變量的觀測值X0，可以得到被解釋變量的預(yù)測值0 ，可以此作為其條件均值

25、E(Y|X=X0)或個別值Y0的一個近似估計。 注意：嚴格地說，這只是被解釋變量的預(yù)測值的估計值，而不是預(yù)測值。 原因:（1）參數(shù)估計量不確定； （2）隨機項的影響72一、0是條件均值E(Y|X=X0)的一個無偏估計對總體回歸函數(shù)E(Y|X=X0)=0+1X，X=X0時 E(Y|X=X0)=0+1X0于是可見，0是條件均值E(Y|X=X0)的無偏估計。73 二、總體條件均值與個值預(yù)測值的置信區(qū)間 1、總體均值預(yù)測值的置信區(qū)間 由于 于是可以證明 74因此 故 其中于是，在1-的置信度下，總體均值E(Y|X0)的置信區(qū)間為 752、總體個值預(yù)測值的預(yù)測區(qū)間 由 Y0=0+1X0+ 知: 于是 式

26、中 :從而在1-的置信度下， Y0的置信區(qū)間為 76在上述收入-消費支出例中，得到的樣本回歸函數(shù)為 則在 X0=1000處， 0 = 103.172+0.7771000=673.84 而 因此，總體均值E(Y|X=1000)的95%的置信區(qū)間為： 673.84-2.30661.05 E(Y|X=1000) 673.84+2.30661.05或 （533.05, 814.62） 77同樣地，對于Y在X=1000的個體值，其95%的置信區(qū)間為： 673.84 - 2.30661.05Yx=1000 673.84 + 2.30661.05或 (372.03, 975.65) 總體回歸函數(shù)的置信帶（域

27、）（confidence band） 個體的置信帶（域） 78 對于Y的總體均值E(Y|X)與個體值的預(yù)測區(qū)間（置信區(qū)間）:（1）樣本容量n越大，預(yù)測精度越高，反之預(yù)測精度越低；（2）樣本容量一定時，置信帶的寬度當(dāng)在X均值處最小，其附近進行預(yù)測（插值預(yù)測）精度越大；X越遠離其均值，置信帶越寬，預(yù)測可信度下降。79 一、中國居民人均消費模型 例2 考察中國居民收入與消費支出的關(guān)系。GDPP： 人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（1990年不變價）CONSP：人均居民消費（以居民消費價格指數(shù)（1990=100）縮減）。(四) 實例：時間序列問題 80 該兩組數(shù)據(jù)是19782000年的時間序列數(shù)據(jù)（time seri

28、es data）； 1、建立模型 擬建立如下一元回歸模型 采用Eviews軟件進行回歸分析的結(jié)果見下表 前述收入-消費支出例中的數(shù)據(jù)是截面數(shù)據(jù)（cross-sectional data）。81一般可寫出如下回歸分析結(jié)果： (13.51) (53.47) R2=0.9927 F=2859.23 DW=0.5503 82 2、模型檢驗 R2=0.9927T值：C：13.51， GDPP：53.47 臨界值: t0.05/2(21)=2.08斜率項：00.38621，符合絕對收入假說3、預(yù)測 2001年：GDPP=4033.1（元）（90年不變價） 點估計：CONSP2001=201.107 + 0

29、.38624033.1 = 1758.7（元） 2001年實測的CONSP（1990年價）:1782.2元， 相對誤差: -1.32%。 832001年人均居民消費的預(yù)測區(qū)間 人均GDP的樣本均值與樣本方差： E(GDPP)=1823.5 Var(GDPP)=982.042=964410.4 在95%的置信度下，E(CONSP2001)的預(yù)測區(qū)間為： =1758.740.13或： （1718.6,1798.8） 同樣地，在95%的置信度下，CONSP2001的預(yù)測區(qū)間為： =1758.786.57或 （1672.1, 1845.3） 84 二、時間序列問題 上述實例表明，時間序列完全可以進行類

30、似于截面數(shù)據(jù)的回歸分析。 然而，在時間序列回歸分析中，有兩個需注意的問題： 第一，關(guān)于抽樣分布的理解問題。 能把表2.5.1中的數(shù)據(jù)理解為是從某個總體中抽出的一個樣本嗎？85 第二，關(guān)于“偽回歸問題”（spurious regression problem）。 在現(xiàn)實經(jīng)濟問題中，對時間序列數(shù)據(jù)作回歸，即使兩個變量間沒有任何的實際聯(lián)系，也往往會得到較高的可決系數(shù)，尤其對于具有相同變化趨勢（同時上升或下降）的變量，更是如此。 這種現(xiàn)象被稱為“偽回歸”或“虛假回歸”。 86第三節(jié) 經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟學(xué)模型：多元線性回歸 多元線性回歸模型 多元線性回歸模型的參數(shù)估計多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗多元線性回

31、歸模型的預(yù)測回歸模型的其他形式回歸模型的參數(shù)約束87一、多元線性回歸模型 多元線性回歸模型:表現(xiàn)在線性回歸模型中的解釋變量有多個。 一般表現(xiàn)形式：i=1,2,n其中:k為解釋變量的數(shù)目，j稱為回歸參數(shù)（regression coefficient）。 習(xí)慣上：把常數(shù)項看成為一虛變量的系數(shù)，該虛變量的樣本觀測值始終取1。這樣： 模型中解釋變量的數(shù)目為（k+1） （一） 多元線性回歸模型 88也被稱為總體回歸函數(shù)的隨機表達形式。它 的非隨機表達式為: 方程表示：各變量X值固定時Y的平均響應(yīng)。 j也被稱為偏回歸系數(shù)，表示在其他解釋變量保持不變的情況下，Xj每變化1個單位時，Y的均值E(Y)的變化;

32、或者說j給出了Xj的單位變化對Y均值的“直接”或“凈”（不含其他變量）影響。89總體回歸模型n個隨機方程的矩陣表達式為 其中90樣本回歸函數(shù)：用來估計總體回歸函數(shù)其隨機表示式: ei稱為殘差或剩余項(residuals)，可看成是總體回歸函數(shù)中隨機擾動項i的近似替代。 樣本回歸函數(shù)的矩陣表達: 或其中：91二、多元線性回歸模型的基本假定 假設(shè)1，解釋變量是非隨機的或固定的，且各X之間互不相關(guān)（無多重共線性）。 假設(shè)2，隨機誤差項具有零均值、同方差及不序列相關(guān)性 假設(shè)3，解釋變量與隨機項不相關(guān) 假設(shè)4，隨機項滿足正態(tài)分布 92上述假設(shè)的矩陣符號表示 式： 假設(shè)1，n(k+1)矩陣X是非隨機的，且

33、X的秩=k+1，即X滿秩。 假設(shè)2， 93假設(shè)4，向量 有一多維正態(tài)分布，即 同一元回歸一樣，多元回歸還具有如下兩個重要假設(shè)： 假設(shè)5，樣本容量趨于無窮時，各解釋變量的方差趨于有界常數(shù)，即n時， 或 其中：Q為一非奇異固定矩陣，矩陣x是由各解釋變量的離差為元素組成的nk階矩陣 假設(shè)6，回歸模型的設(shè)定是正確的。 94（二） 多元線性回歸模型的估計 估計方法：OLS、ML或者MM一、普通最小二乘估計 *二、最大或然估計 *三、矩估計 四、參數(shù)估計量的性質(zhì) 五、樣本容量問題 六、估計實例 95一、普通最小二乘估計對于隨機抽取的n組觀測值如果樣本函數(shù)的參數(shù)估計值已經(jīng)得到，則有： i=1,2n根據(jù)最小二

34、乘原理，參數(shù)估計值應(yīng)該是下列方程組的解 其中96于是得到關(guān)于待估參數(shù)估計值的正規(guī)方程組： 97正規(guī)方程組的矩陣形式即由于XX滿秩，故有 98將上述過程用矩陣表示如下： 即求解方程組：得到： 于是：99例3：在例2的家庭收入-消費支出例中， 可求得 于是 100正規(guī)方程組 的另一種寫法對于正規(guī)方程組 于是 或 (*)或（*）是多元線性回歸模型正規(guī)方程組的另一種寫法 (*)(*)101樣本回歸函數(shù)的離差形式i=1,2n其矩陣形式為 其中 ：在離差形式下，參數(shù)的最小二乘估計結(jié)果為 102隨機誤差項的方差的無偏估計 可以證明，隨機誤差項的方差的無偏估計量為 103 *二、最大或然估計 對于多元線性回歸

35、模型易知 Y的隨機抽取的n組樣本觀測值的聯(lián)合概率即為變量Y的似然函數(shù) 104對數(shù)或然函數(shù)為對對數(shù)或然函數(shù)求極大值，也就是對 求極小值。 因此，參數(shù)的最大或然估計為結(jié)果與參數(shù)的普通最小二乘估計相同105*三、矩估計（Moment Method, MM） OLS估計是通過得到一個關(guān)于參數(shù)估計值的正規(guī)方程組并對它進行求解而完成的。 該正規(guī)方程組 可以從另外一種思路來導(dǎo): 求期望 :106稱為原總體回歸方程的一組矩條件，表明了原總體回歸方程所具有的內(nèi)在特征。 由此得到正規(guī)方程組 解此正規(guī)方程組即得參數(shù)的MM估計量。 易知MM估計量與OLS、ML估計量等價。107矩方法是工具變量方法(Instrumen

36、tal Variables,IV)和廣義矩估計方法(Generalized Moment Method, GMM)的基礎(chǔ) 在矩方法中關(guān)鍵是利用了 E(X)=0 如果某個解釋變量與隨機項相關(guān)，只要能找到1個工具變量，仍然可以構(gòu)成一組矩條件。這就是IV。 如果存在k+1個變量與隨機項不相關(guān)，可以構(gòu)成一組包含k+1方程的矩條件。這就是GMM。108 四、參數(shù)估計量的性質(zhì) 在滿足基本假設(shè)的情況下，其結(jié)構(gòu)參數(shù)的普通最小二乘估計、最大或然估計及矩估計仍具有： 線性性、無偏性、有效性。 同時，隨著樣本容量增加，參數(shù)估計量具有： 漸近無偏性、漸近有效性、一致性。 1、線性性 其中,C=(XX)-1 X 為一僅

37、與固定的X有關(guān)的行向量 109 2、無偏性 這里利用了假設(shè): E(X)=0 3、有效性（最小方差性） 110其中利用了 和111 五、樣本容量問題 所謂“最小樣本容量”，即從最小二乘原理和最大或然原理出發(fā)，欲得到參數(shù)估計量，不管其質(zhì)量如何，所要求的樣本容量的下限。 最小樣本容量 樣本最小容量必須不少于模型中解釋變量的數(shù)目（包括常數(shù)項）,即 n k+1因為，無多重共線性要求：秩(X)=k+1112 2、滿足基本要求的樣本容量 從統(tǒng)計檢驗的角度： n30 時，Z檢驗才能應(yīng)用； n-k8時, t分布較為穩(wěn)定 一般經(jīng)驗認為: 當(dāng)n30或者至少n3(k+1)時，才能說滿足模型估計的基本要求。 模型的良好

38、性質(zhì)只有在大樣本下才能得到理論上的證明113 六、多元線性回歸模型的參數(shù)估計實例 例3 在例2中，已建立了中國居民人均消費一元線性模型。這里我們再考慮建立多元線性模型。解釋變量：人均GDP：GDPP 前期消費：CONSP(-1)估計區(qū)間：19792000年114Eviews軟件估計結(jié)果 115（三） 多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗 一、擬合優(yōu)度檢驗 二、方程的顯著性檢驗(F檢驗) 三、變量的顯著性檢驗（t檢驗） 四、參數(shù)的置信區(qū)間 116 一、擬合優(yōu)度檢驗 1、可決系數(shù)與調(diào)整的可決系數(shù)則 總離差平方和的分解117由于 =0所以有： 注意：一個有趣的現(xiàn)象118 可決系數(shù)該統(tǒng)計量越接近于1，模型的擬合

39、優(yōu)度越高。 問題： 在應(yīng)用過程中發(fā)現(xiàn)，如果在模型中增加一個解釋變量， R2往往增大（Why?) 這就給人一個錯覺：要使得模型擬合得好，只要增加解釋變量即可。 但是，現(xiàn)實情況往往是，由增加解釋變量個數(shù)引起的R2的增大與擬合好壞無關(guān)，R2需調(diào)整。119 調(diào)整的可決系數(shù)（adjusted coefficient of determination） 在樣本容量一定的情況下，增加解釋變量必定使得自由度減少，所以調(diào)整的思路是:將殘差平方和與總離差平方和分別除以各自的自由度，以剔除變量個數(shù)對擬合優(yōu)度的影響:其中：n-k-1為殘差平方和的自由度，n-1為總體平方和的自由度。120121 *2、赤池信息準(zhǔn)則和施

40、瓦茨準(zhǔn)則 為了比較所含解釋變量個數(shù)不同的多元回歸模型的擬合優(yōu)度，常用的標(biāo)準(zhǔn)還有: 赤池信息準(zhǔn)則（Akaike information criterion, AIC）施瓦茨準(zhǔn)則（Schwarz criterion，SC） 這兩準(zhǔn)則均要求僅當(dāng)所增加的解釋變量能夠減少AIC值或AC值時才在原模型中增加該解釋變量。 122 Eviews的估計結(jié)果顯示： 中國居民消費二元例中： AIC=6.68 AC=6.83 中國居民消費一元例中： AIC=7.09 AC=7.19從這點看，可以說前期人均居民消費CONSP(-1)應(yīng)包括在模型中。 123 二、方程的顯著性檢驗(F檢驗) 方程的顯著性檢驗，旨在對模型中

41、被解釋變量與解釋變量之間的線性關(guān)系在總體上是否顯著成立作出推斷。 1、方程顯著性的F檢驗 即檢驗?zāi)Ｐ?Yi=0+1X1i+2X2i+ +kXki+i i=1,2, ,n是否顯著。 可提出如下原假設(shè)與備擇假設(shè)： H0： 0=1=2= =k=0 H1： j不全為0124 F檢驗的思想來自于總離差平方和的分解式： TSS=ESS+RSS 如果這個比值較大，則X的聯(lián)合體對Y的解釋程度高，可認為總體存在線性關(guān)系，反之總體上可能不存在線性關(guān)系。 因此,可通過該比值的大小對總體線性關(guān)系進行推斷。125 根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中的知識，在原假設(shè)H0成立的條件下，統(tǒng)計量 服從自由度為(k , n-k-1)的F分布 給定

42、顯著性水平，可得到臨界值F(k,n-k-1)，由樣本求出統(tǒng)計量F的數(shù)值，通過 F F(k,n-k-1) 或 FF(k,n-k-1)來拒絕或接受原假設(shè)H0，以判定原方程總體上的線性關(guān)系是否顯著成立。 126對于中國居民人均消費支出的例子： 一元模型：F=285.92 二元模型：F=2057.3給定顯著性水平 =0.05，查分布表，得到臨界值： 一元例：F(1,21)=4.32 二元例： F(2,19)=3.52顯然有 F F(k,n-k-1) 即二個模型的線性關(guān)系在顯著性水平 =0.05下顯著成立。127 2、關(guān)于擬合優(yōu)度檢驗與方程顯著性檢驗關(guān)系的討論 由可推出：與或128在中國居民人均收入-消

43、費一元模型中，在中國居民人均收入-消費二元模型中， 129 三、變量的顯著性檢驗（t檢驗） 方程的總體線性關(guān)系顯著每個解釋變量對被解釋變量的影響都是顯著的 因此，必須對每個解釋變量進行顯著性檢驗，以決定是否作為解釋變量被保留在模型中。 這一檢驗是由對變量的 t 檢驗完成的。130 1、t統(tǒng)計量 由于 以cii表示矩陣(XX)-1 主對角線上的第i個元素，于是參數(shù)估計量的方差為： 其中2為隨機誤差項的方差，在實際計算時，用它的估計量代替: 131因此，可構(gòu)造如下t統(tǒng)計量 132 2、t檢驗 設(shè)計原假設(shè)與備擇假設(shè)： H1：i0 給定顯著性水平，可得到臨界值t/2(n-k-1)，由樣本求出統(tǒng)計量t的

44、數(shù)值，通過 |t| t/2(n-k-1) 或 |t|t/2(n-k-1)來拒絕或接受原假設(shè)H0，從而判定對應(yīng)的解釋變量是否應(yīng)包括在模型中。 H0：i=0 （i=1,2k） 133注意：一元線性回歸中，t檢驗與F檢驗一致 一方面，t檢驗與F檢驗都是對相同的原假設(shè)H0：1=0 進行檢驗; 另一方面，兩個統(tǒng)計量之間有如下關(guān)系： 134在中國居民人均收入-消費支出二元模型例中，由應(yīng)用軟件計算出參數(shù)的t值： 給定顯著性水平=0.05，查得相應(yīng)臨界值： t0.025(19) =2.093。可見，計算的所有t值都大于該臨界值，所以拒絕原假設(shè)。即:包括常數(shù)項在內(nèi)的3個解釋變量都在95%的水平下顯著，都通過了變

45、量顯著性檢驗。135 四、參數(shù)的置信區(qū)間 參數(shù)的置信區(qū)間用來考察：在一次抽樣中所估計的參數(shù)值離參數(shù)的真實值有多“近”。 在變量的顯著性檢驗中已經(jīng)知道：容易推出：在(1-)的置信水平下i的置信區(qū)間是 其中，t/2為顯著性水平為 、自由度為n-k-1的臨界值。 136 在中國居民人均收入-消費支出二元模型例中,給定=0.05，查表得臨界值：t0.025(19)=2.093計算得參數(shù)的置信區(qū)間： 0 ：(44.284, 197.116) 1 ： (0.0937, 0.3489 ) 2 ：(0.0951, 0.8080) 從回歸計算中已得到：137如何才能縮小置信區(qū)間？ 增大樣本容量n，因為在同樣的樣

46、本容量下，n越大，t分布表中的臨界值越小，同時，增大樣本容量，還可使樣本參數(shù)估計量的標(biāo)準(zhǔn)差減??；提高模型的擬合優(yōu)度，因為樣本參數(shù)估計量的標(biāo)準(zhǔn)差與殘差平方和呈正比，模型優(yōu)度越高，殘差平方和應(yīng)越小。提高樣本觀測值的分散度,一般情況下，樣本觀測值越分散，(XX)-1的分母的|XX|的值越大，致使區(qū)間縮小。138（四）多元線性回歸模型的預(yù)測 一、E(Y0)的置信區(qū)間 二、Y0的置信區(qū)間139對于模型 給定樣本以外的解釋變量的觀測值X0=(1,X10,X20,Xk0)，可以得到被解釋變量的預(yù)測值： 它可以是總體均值E(Y0)或個值Y0的預(yù)測。 但嚴格地說，這只是被解釋變量的預(yù)測值的估計值，而不是預(yù)測值。

47、 為了進行科學(xué)預(yù)測，還需求出預(yù)測值的置信區(qū)間，包括E(Y0)和Y0的置信區(qū)間。 140 一、E(Y0)的置信區(qū)間易知 141容易證明 于是，得到(1-)的置信水平下E(Y0)的置信區(qū)間： 其中，t/2為(1-)的置信水平下的臨界值。142 二、Y0的置信區(qū)間 如果已經(jīng)知道實際的預(yù)測值Y0，那么預(yù)測誤差為：容易證明 143e0服從正態(tài)分布，即 構(gòu)造t統(tǒng)計量 可得給定(1-)的置信水平下Y0的置信區(qū)間： 144 中國居民人均收入-消費支出二元模型例中：2001年人均GDP：4033.1元， 于是人均居民消費的預(yù)測值為 2001=120.7+0.22134033.1+0.45151690.8=177

48、6.8（元） 實測值（90年價）=1782.2元，相對誤差：-0.31% 預(yù)測的置信區(qū)間 ：145于是E(2001）的95%的置信區(qū)間為: 或 （1741.8，1811.7）或 （1711.1, 1842.4） 同樣，易得2001的95%的置信區(qū)間為146第四節(jié) 回歸模型的其他函數(shù)形式 一、模型的類型與變換 二、非線性回歸實例147 在實際經(jīng)濟活動中，經(jīng)濟變量的關(guān)系是復(fù)雜的，直接表現(xiàn)為線性關(guān)系的情況并不多見。 如著名的恩格爾曲線(Engle curves)表現(xiàn)為冪函數(shù)曲線形式、宏觀經(jīng)濟學(xué)中的菲利普斯曲線（Pillips cuves）表現(xiàn)為雙曲線形式等。 但是，大部分非線性關(guān)系又可以通過一些簡單的數(shù)學(xué)處理，使之化為數(shù)學(xué)上的線性關(guān)系，從而可以運用線性回歸的方法進行計量經(jīng)濟學(xué)方面的處理。148 一、模型的類型與變換 1、倒數(shù)模型、多項式模型與變量的直接置換法 例如，描述稅收與稅率關(guān)系的拉弗曲線：拋物線 s = a + b r + c r2 c0 s：稅收； r：稅率設(shè)X1 = r，X2 = r2， 則原方程變換為 s = a + b X1 + c X2 ck。 如果出現(xiàn)n2F(