平面向量概念運(yùn)算

1、平面向量看法及運(yùn)算平面向量看法及運(yùn)算PAGEPAGE8平面向量看法及運(yùn)算PAGE平面向量的看法及運(yùn)算一【課標(biāo)要求】1）平面向量的背景及基本看法通力和力的剖析等例，認(rèn)識向量的背景，理解平面向量和向量相等的含，理解向量的幾何表示；2）向量的性運(yùn)算常例，掌握向量加、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意；常例，掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算，并理解其幾何意，以及兩個(gè)向量共的含；認(rèn)識向量的性運(yùn)算性及其幾何意3）平面向量的基本定理及坐表示認(rèn)識平面向量的基本定理及其意；掌握平面向量的正交分解及其坐表示；會用坐表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算；理解用坐表示的平面向量共的條件二【命題走向】本內(nèi)容屬于平面向量的基性內(nèi)容，與平面向量的數(shù)目

2、比出量小。以、填空觀察本章的基本看法和性，重點(diǎn)觀察向量的看法、向量的幾何表示、向量的加減法、數(shù)與向量的、兩個(gè)向量共的充要條件、向量的坐運(yùn)算等。此度不大，分59分。2010年高考：1）型可能1道或1道填空；2）出的知點(diǎn)可能以平面形體表達(dá)平面向量、借助基向量表達(dá)交點(diǎn)地點(diǎn)或借助向量的坐形式表達(dá)共等。三【重點(diǎn)精講】1向量的看法向量既有大小又有方向的量。向量一般用,c來表示，或用有向段的起點(diǎn)與點(diǎn)的大寫字母表示，如：abuuuruuuraxiyj(x,y)，作|uuurAB幾何表示法AB，a；坐表示法。向量的大小即向量的模（度）AB即向量|的大小，作a|。向量不可以比大小，但向量的?？梢员却笮×阆蛄?的向

3、量，0，其方向是隨意的，0與隨意愿量平行零向量a0r度a0。因?yàn)?的方向r是隨意的，且定0平行于任何向量，故在相關(guān)向量平行（共）的中必看清楚能否有“非零向量”個(gè)條件。（注意與0的區(qū)）位向量模1個(gè)位度的向量，向量a0位向量a01。平行向量（共向量）方向相同或相反的非零向量。隨意一平行向量都可以移到同向來上，方向相同或相反的向量，稱平行向量，作ab。因?yàn)橄蛄靠梢孕须S意的平移(即自由向量)，平行向量可以平移到同向來上，故平行向量也稱共向量。數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個(gè)因素，起點(diǎn)可以隨意取，在必劃分清楚共向量中的“共”與幾何中的“共”、的含，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平

4、行”是不一的相等向量長度相等且方向相同的向量相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為ab。大小相等，方向相同(x1,y1)(x2,y2)x1x2。y1y22向量的運(yùn)算（1）向量加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法uuuruuurrruuuruuuruuur設(shè)ABar,BCb，則a+b=ABBC=AC。規(guī)定：（1）0aa0a；2）向量加法滿足交換律與聯(lián)合律；向量加法的“三角形法規(guī)”與“平行四邊形法規(guī)”1）用平行四邊形法規(guī)時(shí)，兩個(gè)已知向量是要共始點(diǎn)的，和向量是始點(diǎn)與已知向量的始點(diǎn)重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量。2）三角形法規(guī)的特色是“首尾相接”，由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指

5、向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)當(dāng)兩個(gè)向量的起點(diǎn)公共時(shí)，用平行四邊形法規(guī)；當(dāng)兩向量是首尾連接時(shí)，用三角形法規(guī)。uuuruuuruuurLuuuruuuruuur向量加法的三角形法規(guī)可推行至多個(gè)向量相加：ABBCCDPQQRAR，但這時(shí)必然“首尾相連”。（2）向量的減法相反向量：與a長度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量記作a,零向量的相反向量還是零向量。關(guān)于相反向量有：（i）(a)=a；(ii)a+(a)=(a)+a=0；(iii)若a、b是互為相反向量，則a=b,b=a,a+b=0。向量減法向量a加上b的相反向量叫做a與b的差，記

6、作：aba(b)求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法作圖法：ab可以表示為從b的終點(diǎn)指向a的終點(diǎn)的向量（a、b有共同起點(diǎn)）。（3）實(shí)數(shù)與向量的積實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，記作a，它的長度與方向規(guī)定以下：（）aa；（）當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時(shí)，a0，方向是隨意的。數(shù)乘向量滿足交換律、聯(lián)合律與分配律3兩個(gè)向量共線定理：向量b與非零向量a共線有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得b=a。4平面向量的基本定理假如e1,e2是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任向來量a，有且只有一對實(shí)數(shù)1,2使：a1e12e2此中不共線的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)全部向量

7、的一組基底5平面向量的坐標(biāo)表示rr（1）平面向量的坐標(biāo)表示：在直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i,j作為基底由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任向來量rrrrra可表示成axiyj，因?yàn)閍與數(shù)對(x,y)是一一對應(yīng)的，因rrr此把(x,y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a=(x,y)，此中x叫作a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)。規(guī)定：1）相等的向量坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等的向量；2）向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的始點(diǎn)、終點(diǎn)的詳盡地點(diǎn)沒關(guān)，只與其相對地點(diǎn)相關(guān)系。2）平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：r11,yr2,y2rr1x21,yy若ax,bx，則abx2；uuur若Ax1,

8、y1,Bx2,y2，則ABxx21,y2y1；rrx,y)；若a=(x,y)，則a=(r11,yr2,y2rr1yx22y10若ax,bx，則a/bx。四【典例剖析】題型1：平面向量的看法例1（1）給出以下命題：rrrr若|a|b|，則a=b；uuuruuur若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則ABDC是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；rrrrrr若a=b，b=c，則a=c；rrrrrra=b的充要條件是|a|=|b|且a/b；rrrrrr若a/b，b/c，則a/c；此中正確的序號是。（2）設(shè)a0為單位向量，（1）若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a=|a|a0;(2)若a與a0平行，則a=|a|

9、a0；（3）若a與a0平行且|a|=1，則a=a0。上述命題中，假命題個(gè)數(shù)是（）A0B1C2D3剖析：（1）不正確兩個(gè)向量的長度相等，但它們的方向不用然相同；uuuruuuruuuruuuruuuruuur正確；ABDC，|AB|DC|且AB/DC，又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，uuuruuuruuuruuur則，AB/DC且|AB|DC|，uuuruuur因此，ABDC。正確；rrrra=b，a，b的長度相等且方向相同；rrrr又bc，b，c的長度相等且方向相同，rr的長度相等且方向相同，故rr。a，cacrrrrrrrrrr

10、rr不正確；當(dāng)a/b且方向相反時(shí)，即便|a|=|b|，也不可以獲得a=b，故|a|=|b|且a/b不是a=b的充要條件，而是必需不充分條件；rr不正確；考慮b=0這類特別狀況；綜上所述，正確命題的序號是。議論：本例主要復(fù)習(xí)向量的基本看法。向量的基本看法好多，因此簡單忘記。為此，復(fù)習(xí)時(shí)一方面要建立優(yōu)異的知識結(jié)構(gòu)，另一方面要擅長與物理中、生活中的模型進(jìn)行類比和聯(lián)想。（2）向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0模相同，但方向不用然相同，故（1）是假命題；若a與a0平行，則a與a0方向有兩種狀況：一是同向二是反向，反向時(shí)a=|a|a0，故（2）、（3）也是假命題。綜上所述，答案選D。議論：向量的看

11、法好多，且簡單混淆，故在學(xué)習(xí)中要分清，理解各看法的實(shí)質(zhì)，注意劃分共線向量、平行向量、同向向量等看法。題型2：平面向量的運(yùn)算法規(guī)例2（1）以以以以下圖，已知正六邊形ABCDEF，O是它的中心，若uuurruuurrrruuurBA=a，BC=b，試用a，b將向量OE，uuuruuuruuurBF，BD，F(xiàn)D表示出來。（1）剖析：依據(jù)向量加法的平行四邊形法規(guī)和減法的三角形法規(guī)，用向量rra，b來表示其余向量，只需考慮它們是哪些平行四邊形或三角形的邊即可。因?yàn)榱呅蜛BCDEF是正六邊形，因此它的中心O及極點(diǎn)A，B，C四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形ABCO，uuuruuuruuuruuuruuuruuurrru

12、uuruuurrrAF因此BABCBAAOBO，BO=ab，OE=BO=a+b，因?yàn)锳，B，O，F(xiàn)uuuruuura四點(diǎn)也構(gòu)成平行四邊形ABOF，因此BF=BOuuuruuuruuurrrrrrBOEOF=BO+BA=a+b+a=2a+b，buuuruuuruuuruuurrruuurrCD相同在平行四邊形BCDO中，BDBCCDBCBOb(ab)rruuuruuuruuurrra2b，F(xiàn)DBCBAba。議論：其實(shí)在以A，B，C，D，E，F(xiàn)及O七點(diǎn)中，任兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，均可用rra，b表示，且可用規(guī)定此中任兩個(gè)向量為rrrra，b，其余任取兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，也可用a，b表示。（3）（2008

13、湖南文，4）11已知向量a(1,3)，b(2,0)，則b=_.【答案】rr(1,3),rr132.【剖析】由Qab|ab|（4）(2009年廣東卷文)已知平面向量a=（x,1），b=2b()（x,x），則向量aA平行于x軸B.平行于第一、三象限的角均分線C.平行于y軸D.平行于第二、四象限的角均分線答案C剖析ab(0,1x2),由1x20及向量的性質(zhì)可知,C正確.例4設(shè)rrrrrrr1rrx為未知向量，a、b為已知向量，解方程2x(5a+3x4b)+a3b=0rrr1rrr2剖析：原方程可化為：3(2xx)+(5a+a)+(4b3b)=0，r2r9rx=a+b。2議論：平面向量的數(shù)乘運(yùn)算近似于

14、代數(shù)中實(shí)數(shù)與未知數(shù)的運(yùn)算法規(guī)，求解時(shí)兼?zhèn)涞较蛄康男再|(zhì)。題型3：平面向量的坐標(biāo)及運(yùn)算例5已知ABC中，A(2,1)，B(3,2)，C(3,1),BC邊上的高為uuurAD，求AD。uuurx2,yuuurx3,yuuurb,3剖析：設(shè)D(x,y)，則AD1,BD2,BCuuuruuuruuuruuurADBC,BDBC6x23y10 x13x36y2得y10uuur1,2。因此AD例6已知點(diǎn)A(4,0),B(4,4),C(2,6),試用向量方法求直線AC和OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）交點(diǎn)P的坐標(biāo)。uuuruuur(4xy,)剖析：設(shè)P(x,y)，則OP(x,y),AP因?yàn)镻是AC與OB的交點(diǎn)，因此P在直

15、線AC上，也在直線OB上。uuuruuuruuuruuuruuur(uuur(4,4)。即得OP/OB,AP/AC，由點(diǎn)A(4,0),B(4,4),C(2,6)得，AC2,6),OB得方程組6(x4)2y0 x3。4x4y0，解之得y3故直線AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3)。題型4：平面向量的性質(zhì)r例7平面內(nèi)給定三個(gè)向量r3,2r4,1，回答以下問題：a,b1,2,crrr（1）求滿足ambnc的實(shí)數(shù)m,n；（2）若rrrr，務(wù)實(shí)數(shù)k；akc/2barrrrrrrr（3）若d滿足dc/ab，且dc5，求d。5m4n3m剖析：（1）由題意得3,2m1,29。n4,1，因此n，得2m28nr9

16、rr34k,2kr5,2，（2）akc,2ba234k52k0,k16；rrrr13x4,ya1,2,4（3）dcb由題意得4x42y10，得x3或x5x42y125y1。y3例8已知a(1,0),b(2,1).（1）求|a3b|；（2）當(dāng)k為什么實(shí)數(shù)時(shí)，kab與a3b平行，平行時(shí)它們是同向還是反向？剖析：（1）因?yàn)閍(1,0),b(2,1).rr(7,3)因此a3brr22則|ab3|5873（2）kab(k2,1)，a3b(7,3)因?yàn)閗ab與a3b平行，因此3(k2)701。即得k73rr此時(shí)kab(k2,1)(3b(7,3)，則a3b與,1)，a3b3(kab)，即此時(shí)向量arr3ka

17、b方向相反。議論：上邊兩個(gè)例子重點(diǎn)剖析了平面向量的性質(zhì)在座標(biāo)運(yùn)算中的表現(xiàn)，重點(diǎn)掌握平面向量的共線的判斷以及平面向量模的計(jì)算方法。題型5：共線向量定理及平面向量基本定理例9（2009北京卷文）已知向量a(1,0),b(0,1),ckab(kR),dab，假如c/d那么()Ak1且c與d同向Bk1且c與d反向Ck1且c與d同向Dk1且c與d反向答案D剖析本題主要觀察向量的共線（平行）、向量的加減法.屬于基礎(chǔ)知識、基本運(yùn)算觀察.a1,0，b0,1，若k1，則cab1,1，dab1,1，明顯，a與b不平行，除去A、B.若k1，則cab1,1，dab1,1，即cd且c與d反向，除去C，應(yīng)選D.議論：嫻熟

18、運(yùn)用向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)運(yùn)算法規(guī)進(jìn)行運(yùn)算；兩個(gè)向量平行的坐標(biāo)表示；運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示，使向量的運(yùn)算圓滿代數(shù)化，將數(shù)與形有機(jī)的聯(lián)合。101）（06福建理，11）已知OA=1，OB=3,OA?OB=0,點(diǎn)C在AOB內(nèi)，且AOC=30例（，設(shè)OC=mOA+nOB(m、nR)，則m等于（）n1B33D3AC33uuuruuur120o.（2）（2009安徽卷理）給定兩個(gè)長度為1的平面向量OA和OB，它們的夾角為C在以O(shè)為圓心的圓弧uuuv以以以以下圖，點(diǎn)AB上改動.uuuruuuruuurR,則xy若OCxOAyOB,此中x,y的最大值是_.答案2剖析設(shè)AOCuuuruuuvuuuruuuruuuruuurcosx1OC?OAxOA?OAyOB?OA,y2uuuruuuvuuuruuuruuuruuur，即1OC?OBxOA?OByOB?OB,0)ycos(120 x2xy2coscos(1200)cos3sin2sin()26題型6：平面向量綜合問題ur(ab,)，例11（2009上海卷文）已知ABC的角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，設(shè)向量mrurn(sinB,sin)A，p(b2,a2).urr（1）若m/n，求證：ABC為等腰三角形；urur（2）若