第36煉向量的數(shù)量積-尋找合適的基底

1、- -第36煉 向量的數(shù)量積一一尋找合適的基底在高考中經(jīng)常會(huì)遇到幾何圖形中計(jì)算某兩個(gè)向量a,b數(shù)量積的問(wèn)題，如果無(wú)法尋找到計(jì)算數(shù)量積的要素（a,b模長(zhǎng)，夾角）那么可考慮用合適的兩個(gè)向量（稱為基底）將a,b兩個(gè) 向量表示出來(lái)，進(jìn)而進(jìn)行運(yùn)算。這也是在幾何圖形中處理向量數(shù)量積的一個(gè)重要方法一、基礎(chǔ)知識(shí)：（一）所涉及的平面向量定理及數(shù)量積運(yùn)算法則：U Ir1平面向量基本定理：若向量 el,e2為兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于平面上任意的一個(gè)向量rrIrIrIrlra，均存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)1, 2 ,使得a1e12e2。其中e1,e2成為平面向量的一組基底。（簡(jiǎn)而言之，不共線的兩個(gè)向量可以表示所有向量）2、向

2、量數(shù)量積運(yùn)算a b a b cos ,其中為向量a,b的夾角3、 向量夾角的確定：向量a,b的夾角指的是將a,b的起點(diǎn)重合所成的角，0,其中0 :同向:反向:a b24、數(shù)量積運(yùn)算法則：r r r r（1）交換律：a b b ar rrr rr（2）系數(shù)結(jié)合律：a bab a bRPrrrr rr（3）分配律： a b c aC bC因?yàn)橄蛄繑?shù)量積存在交換律與分配律，才使得有些向量數(shù)量積運(yùn)算的展開式與實(shí)數(shù)因式相乘 的展開式規(guī)律相同：rr 2r2rr r2rr rr例如：aba2ab bab ab0rIJrIr rIrIr5、若a1 e +2e2,b1e1+ 2e2,則rrIrIrIrIrL2i

3、r2IrurabG +2e2G +2e2 = 11 eI22e21 22 1 e1e2r rr由此可見(jiàn)，只要知道基底的模與數(shù)量積，以及將a,b用基底表示出來(lái)，則可計(jì)算a b（二）選擇合適基底解題的步驟與技巧：1如何選擇“合適”的基底：題目中是否有兩個(gè)向量模長(zhǎng)已知，數(shù)量積可求呢？如果有，那就是它們了。所以在此類題目中首先可先確定那些向量的數(shù)量積與模長(zhǎng)已知。常見(jiàn)的可UlurUUUUUUIUU1 Uiur2UUU1UUir21 UUUUJir2 UUU28ADBCACAB-ACABAC - AB AC-AB333333UurUUr8答案：ADBC3UUULUUlrUlUrUUirUUJr例2：如圖，

4、已知在VABC 中，ADAB,BC3BD,AD1,則ACAD思路:觀察條件，AC,Ad很難直接利用公式求解以邊所成向量作基底的圖形有：等邊三角形，已知兩邊的直角三角形，矩形，特殊角的菱形等。2、向量的表示：嘗試所求數(shù)量積的兩個(gè)向量是否能被你所選中的基底進(jìn)行表示，常用的方法有:（1）向量的加減運(yùn)算（2）“爪”字型圖：在 VABC中，D是BC上的點(diǎn)，如果n UUU-JAB，其m nBD : CDIUUm UUUIm: n ,貝U ADACm nUUJr UUU UUJr中AD, AB, AC知二可求一。特別的，如果AD是BC邊上UULr 1 IULr IuLU的中線，貝以邊所成向量作基底的圖形有：

5、等邊三角形，已知兩邊的直角三角形，矩形，特殊角的菱形等。2、向量的表示：嘗試所求數(shù)量積的兩個(gè)向量是否能被你所選中的基底進(jìn)行表示，常用的方法有:（1）向量的加減運(yùn)算（2）“爪”字型圖：在 VABC中，D是BC上的點(diǎn)，如果n UUU-JAB，其m nBD : CDIUUm UUUIm: n ,貝U ADACm nUUJr UUU UUJr中AD, AB, AC知二可求一。特別的，如果AD是BC邊上UULr 1 IULr IuLU的中線，貝U AD -AC -AB2 23、計(jì)算數(shù)量積：將所求向量用基地表示后，代入到所求表達(dá)式計(jì)算即可，但在計(jì)算過(guò)程中要注意基底的夾角二、例題精煉例 1:如圖，在 VAB

6、C 中， BAC 120o, AB2,AC 1,D 是邊 BC 上一點(diǎn)，DC 2BD，UUlr 則ADUUUBC思路:IUlr UUUAD,BC模長(zhǎng)未知（BC尚可求出），UUur夾角未知,C所以很難直接求出數(shù)量積?？紤]是否有合適基底,BAC 120o,AB 2, AC 1 ,可計(jì)算UUU UUJr 出 AB ACUuJl UulrAB AC cos120oIUU IUlrAB, AC ,模長(zhǎng)均已知，數(shù)量積已求,條件齊備，適合作為基底。UUU UJIrIUlrAB, AC 表示 ADUUJrBC : BCUJUUJlrACUUr IUU AB , AD1 ULU-AC3Uur AB ,3擇兩個(gè)向

7、量表示 AC, AD ,條件中ULU- UUrULU-AD AB AD AB 0 （數(shù)量積有了 ）, ADBD: CD 1: , 3 1 （底邊比值IUUr UUur 所以AC AD一 UiUr-,3AD ,3BD: CD 1: , 3 1 （底邊比值IUUr UUur 所以AC AD一 UiUr-,3AD ,3UUUr聯(lián)想到“爪”字型圖）ADUuUABUJU Uur 1 AB AD1 UULT yC解得:-UJUr 2-,3AD X3UULTAC_ UUlT V 3 ADUUUUUInLUUU為基底。下一步只需將 AC表示出來(lái)，BC .,3 BDUuJr IUlT L 答案：AC AD 、3

8、UUU例3:在邊長(zhǎng)為1的正三角形 ABC中，設(shè)BCUUUr UJT2BD,CAUJUUUIT3CE，則 UUU例3:在邊長(zhǎng)為1的正三角形 ABC中，設(shè)BCUUUr UJT2BD,CAUJUUUIT3CE，則 ADUUU思路：如圖，等邊三角形三邊已知，夾角已知，由此對(duì)于三邊所成的向量，UiUr UuU量積均可計(jì)算，所以考慮 ADlBE用三邊向量進(jìn)行表示，表示的方法很多，例如觀察“爪”字形圖可得BEIUAD川BUUAI- 2AcZ A山BI- 32 - 3UUJr UUU 1 UUUAD BE - UUJr UUU 1 UUUAD BE - AB2UUU2 UUU 1 UUrAC BC - BA3

9、31 ,（注意向量夾角）4IUU UU答案：AD BEIUU UU答案：AD BE小煉有話說(shuō)：這道題由于是等邊三角形，故可以建系去做，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為X軸,AD所在直線為y軸。D）E坐標(biāo)完成之時(shí)，就是線為X軸,AD所在直線為y軸。D）E坐標(biāo)完成之時(shí)，就是UUur UUUAD BE計(jì)算的完成之日，且此法在計(jì)算上更為簡(jiǎn)便。例4：如圖，在VABC中，已知AB 4, AC 6, BAC60 ,點(diǎn)D,E分別在邊AB, ACUUUUUiT UULT上，且 AB 2AD,ACUUU3AE ,點(diǎn)F為DE中點(diǎn)，則UuT UUUrBF DE的值是（）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5UUU I

10、IUIJr思路：在本題中已知 AB , AC及兩個(gè)向量的夾角，所UJU UUJ以考慮將UJU UUJ以考慮將AB,AC作為一組基底。則考慮將UUU UUUr UUU UUUBF,DE用AB,AC進(jìn)行表示，再做數(shù)量積即可解:UuTIUITUJIJrIUIJU1UJUrBFBDDF-BA-解:UuTIUITUJIJrIUIJU1UJUrBFBDDF-BA-DE2 2UUJ 1 UlUr UULr BA AE AD2UJU 1 1 UJU 1 UJU-ABAC -AB2 321 UUr3 uuu-AC-AB64UUU UUJ1 UUr3 uuu-AC-AB64UUU UUJUJU1 UUr1 UUU

11、且 DE AEAD-AC-AB ,所以有:32UUr Uur1 uuur3 uuu1 UJU1 UUUBF DE-AC-ABACAB6432UULr 2UJU 2UJU UUIr由已知可得：AB16, AC36, AB AC1 IUlr 2 AC18UuU AB1 UUU UIUr 3 uui2 -AB AC - AB 38IUlrAC CoSBAC12IUU UUUBF DE 4UJU UJIr 解：BC ACUJU UJIr 解：BC ACUuJ UUUAP BC 0UuUUuUAB Q APIUU UurAB ACUUUBCIUlr UJUAC AB 0UUU 2 UUU 2 UUU 2

12、 即 AB ACUUr UUr1 AB AC 0 答案:CUUU UurUuUUUUUUUULUUJlr例5：已知向量AB, AC的夾角是120o ,且AB2, AC3 ,若 APABAC，且UULUUAPBC ,則實(shí)數(shù) 的值是ULU ULIrUUU ULUUUUUUU思路:題中AB, AC模長(zhǎng)夾角已知，所以選擇它們作為基底，表示AP,BC，再根據(jù)APBC求出即可ULU 2Q ABUJIr24, ACUUU UJlr9,AB ACUJU ABUULrACcos BAC3式變?yōu)椋?9 310解得12712答案：7UUUUUr UUUUlr例6：在邊長(zhǎng)為1的正三角形 ABC中,BDxBA,CE y

13、CA,x 0, y 0,xy 1 ,則UUr UUrCD BE的最大值為3答案：-8思路：所給VABC為等邊三角形，則三邊所成向量?jī)蓛蓴?shù)量UUU UuU積可解。所以用三邊向量將 CD,BE表示出來(lái)，再作數(shù)量積運(yùn)算并利用X y 1消元即可求出最值UJUUUJUJUUUJUJUUUrUJUUJrCDBECBXBABCyCA11 11-yX -Xy122 2Q Xy 1y 1X且OX1UJUUUJ1119CDBE-X 1X2X222UUU 2UUJIUrUUl UJUUuJUjrBCyCBCAXBA BCXyBACA111 1-yXXyXy222 22X 11133X 2248UJlrIUUUJlr

14、UUrUULUuLIUlLIUUUJlLUJr解:CD CB BD CB XBABE BC CE BC yCA1等號(hào)成立條件：X 2UJU UuU3CD BEmax83答案：8中用X中用X把y消掉，貝U X所滿足的條件除了已知的X 0之外，還有y O例7例7：如圖，在四邊形 ABCD中，ABBC,AB 3,BC 4,VACD是等邊三角形，則小煉有話說(shuō)：(1)本題在最后求最值時(shí)還可以利用均值不等式迅速把問(wèn)題解決:UUJlU,11,121 X y,11CDBE1y X-Xy1y X1 -2222 228(2)在消元時(shí)要注意，如果所消去的元本身有范圍，則這個(gè)范圍由主元來(lái)承擔(dān)，比如本題Uuj UuUA

15、C BD的值為思路：從條件中可分析 VABC , VADC的邊所成的向量?jī)蓛芍g數(shù)量積可求，其公共邊為AC ,所以以AC思路：從條件中可分析 VABC , VADC的邊所成的向量?jī)蓛芍g數(shù)量積可求，其公共邊為AC ,所以以AC作為突破口,UUUUUlr所求數(shù)量積中只有 BD需要轉(zhuǎn)換，可得 BDIuU UUHBC CD ,所UJIr UULr UUlr UJU UJH 以 AC BD AC BC CDUJLr UJU UUU UJLrAC BC AC CD ,進(jìn)而B可解UJlr IUlL UUU 解: BD BC CDUJlrUUUUUirUJIrIUirUUUUUIUirUUirACBDACB

16、CCDACBCACCD在 RtVABC 中，AC ,AB2 BC25在等邊三角形ADC中，DC AC 5IUr UUUAC BCUUACUUUBC COSACBUUUACUJUBCBCACUUI 2BC 16UJIr UiW AC CDUJIrACUUICD COSACD252UUUUU 7AC BD -2答案：72UUU UUur小煉有話說(shuō)：（1）在求AC CD時(shí)要注意夾角不是ACD ,而是它的補(bǔ)角!UJiJr UUUT（2）在求AC BC也可以用投影定義來(lái)解，即UUrUuU UUU 2AC BC BCUUU UUiUI UJUAC在BC上的投影為BC ,所以UUU0, AB的中點(diǎn)，貝yUu

17、U ABUUuU AMUUUU DMUUrDC()C.33A. 1 B.1D.22UJUUUUr ACUUurUJIr思路：本題要抓住ABDBDC0這個(gè)條件，所UUU UUU 例&如圖，四邊形 ABCD滿足AB ACUUiU UUU DB DC求表達(dá)式中主要解決UUUJ UUUU而AM ,DM可用條件中的向量進(jìn)行表示:而求得表達(dá)式的值UuUU1 UJUUU UUUU解: AM2 AB AC ,DMUUU UuJU AB AMUJU2 DC 2 ,若 M 是 BCUJUU1UUUUJUrUuU1UJUUUrAMABAC,DMDBDC ,從22UUUJ UUUUAM ,DM 。從圖中可發(fā)現(xiàn) AM

18、, DM分別是VABC,VBDC的中線，從UJU UUU -DB DC2UuUU UJU 1 UJU UJU UUUDM DC -AB AB AC2UuU UJIrUuUlUJIrDB DC 0,AB2DC2UJU UUUQ AB ACUUU21 UuU UJU-AB -AB AC2ULU UUU-DC DB2UUJ UU-DC DB2UUrDC 1UJIr DCUJLr 2 -DC2UuU UUJU UuuU UJLr AB AM DM DCIUJU 21 UUr 2AB DC2 2答案：D例9：菱形ABCD邊長(zhǎng)為2 , BAD 120o ,點(diǎn)E,F分別在BC,CD上，且IUUUuJ UUr

19、UJIrUuUUJUUUr UUUBEBC,DFDC ,若AEAF1,CECFA 1B.3A.22C 5D.7C.-412思路：本題已知菱形邊長(zhǎng)和兩邊夾角，所以菱形四條邊所成向量?jī)蓛蓴?shù)量積可求，UUU UlUJUlUI IUU的 AE AF 1,CE CF所以可以考慮將題目中所給3-所涉及的向量用菱形的邊和2進(jìn)行表示，進(jìn)而列出關(guān)于解:UuJAEUJU UUUAB BEUUUABIUlr UUUrBC,AFUUIr ADUULr DFUUj ADUlirDCUUJIUU ULUUuUCE1CB,CF1CDUJUUJlrIUUUJUUurUurAE AFABBCADDCUJU UurIUlr UJ

20、IrUJlr UUUUrirUULrAB ADBC ADDC ABBCDC2 442UJUIuUUlU UUUCECF1 1CB CD 21372 421 221221311243的方程，解出方程便可求出答案：D例10：已知向量UUU UUU UUUOAIOBIOC滿足條件:UuJ UUU UUU OA OB OCUUJrOC 2，UUU UUU 點(diǎn)P是VABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，貝U AB APUUU UUU UUr UUUBC BP CA CP UUU UUU UUirIUU思路：本題已知 OAlOBlOC模長(zhǎng)，可對(duì) OAUUUOBUulrOC0進(jìn)行變形得到更多條件:goZOA血BUUOIiJnUUU2 UlJU 2UUUIIJUOAOB OCOAOB2 ,同理ULJU UUlr UULr IUUOB OC OC OA2ULJU UUlr UULr IUUOB OC OC OA2,從而可將所求式子中的向量均用UUJUUUUJlrOA,OB,OC表示再進(jìn)行計(jì)算即可。UUrUUUUUIUrUUr解：OAOBOC0OAUur2UUU 2UUrUUUUUir 2OAOB2OAOBOCUUU UUr 可得：OA OB2 :I同理Uur OB,代入U(xiǎn)Ur UULr UJU OC OC OAUUUUUUUUrOBOCOAIUUOBULlnOAUJU