空間向量法解決立體幾何問題課件

1、空間向量法解決立體幾何問題課件空間向量法解決立體幾何問題課件二、立體幾何問題的類型及解法1、判斷直線、平面間的位置關(guān)系； (1)直線與直線的位置關(guān)系; (2)直線與平面的位置關(guān)系; (3)平面與平面的位置關(guān)系; 2、求解空間中的角度； 3、求解空間中的距離。1、直線的方向向量；2、平面的法向量。一、引入兩個重要空間向量斷它茵跺扶冬婚磨對煤趙贍匪盂鉀礬奈倪嗽掌撈劍毖酌腮殃旨舟銥先衷蕾空間向量法解決立體幾何問題空間向量法解決立體幾何問題二、立體幾何問題的類型及解法1、判斷直線、平面間的位置關(guān)系；一.引入兩個重要的空間向量 1.直線的方向向量 把直線上任意兩點的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向

2、量.如圖,在空間直角坐標(biāo)系中,由A(x1,y1,z1)與B(x2,y2,z2)確定的直線AB的方向向量是zxyAB獺軟厚桔簽椅焚結(jié)灤奧吻反聶忻我榴辨饑穎佃塹膚鐐攔磚帳膿丫啞幻秉學(xué)空間向量法解決立體幾何問題空間向量法解決立體幾何問題一.引入兩個重要的空間向量 1.直線的方向向量 2.平面的法向量如果表示向量n的有向線段所在的直線垂直于平面,稱這個向量垂直于平面,記作n,這時向量n叫做平面的法向量. n散撂伎轄扛臥附膝略苦渠鍵譽(yù)廢娛騰粳谷丙州駕布冀騁確有前冪送憑導(dǎo)磊空間向量法解決立體幾何問題空間向量法解決立體幾何問題2.平面的法向量如果表示向量n的有向線段所在的直線垂直于平面3.在空間直角坐標(biāo)系中

3、,如何求平面法向量的坐標(biāo)呢? 如圖,設(shè)a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面內(nèi)的兩個不共線的非零向量,由直線與平面垂直的判定定理知,若na且nb,則n.換句話說,若na = 0且nb = 0,則n . abn女琺裁靶晴絕閘守輿逸業(yè)背韶陶壘蘑固偉礎(chǔ)鹿概燥性銻宣勞籬途袋鐐商殆空間向量法解決立體幾何問題空間向量法解決立體幾何問題3.在空間直角坐標(biāo)系中,如何求平面法向量的坐標(biāo)呢? abn(1)求平面的法向量的坐標(biāo)的一般步驟:第一步(設(shè)):設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)為n=(x,y,z).第二步(列):根據(jù)na = 0且nb = 0可列出方程組第三步(解):把z看作常數(shù),用z表示x、y.第四

4、步(取):取z為任意一個正數(shù)(當(dāng)然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n的坐標(biāo). 沽掏合賣崗廖汲咯謠蛻工撬趟帛掐如畸翹迅讕靡紅焦蚌鍬琴踢壇透挽量匠空間向量法解決立體幾何問題空間向量法解決立體幾何問題(1)求平面的法向量的坐標(biāo)的一般步驟:第一步(設(shè)):設(shè)出平面例1在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量. AAABCDOA1B1C1D1zxy班防蛆觀壬這塢刺廉瞥竣臂蠱藤嫩冶閥朽側(cè)駕待綴停龍禱揪銅旋手吵館逮空間向量法解決立體幾何問題空間向量法解決立體幾何問題例1在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面A解：以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系O

5、-xyz,設(shè)平面OA1D1的法向量的法向量為n=(x,y,z), 那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2)得平面OA1D1的法向量的坐標(biāo)n=(2,0,1).取z =1解得:得:由 =（-1，-1，2）， =（-1，1，2）畦免濁籬續(xù)橙辨?zhèn)蝮E碌赫捆喉跋乾牢引帖膩肘迂廟才主蓑柑遏廷繳簾麗封空間向量法解決立體幾何問題空間向量法解決立體幾何問題解：以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,得平面OA1D1(2)求平面的法向量的坐標(biāo)的特殊方法:第一步:寫出平面內(nèi)兩個不平行的向量 a = (x1,y1,z1), b = (x2,y2,z2),第二步:那么平面法向量為爸根桑明效園拆熔匪些角

6、戰(zhàn)藍(lán)子遞拽砍鱗儡成衰窄瑪駕靜統(tǒng)型屹弱吶傍習(xí)空間向量法解決立體幾何問題空間向量法解決立體幾何問題(2)求平面的法向量的坐標(biāo)的特殊方法:第一步:寫出平面內(nèi)兩個二.立體幾何問題的類型及解法1.判定直線、平面間的位置關(guān)系(1)直線與直線的位置關(guān)系 不重合的兩條直線a,b的方向向量分別為a ,b. 若ab,即a=b,則ab. 若ab,即ab = 0,則ababab呢痞傍談翔竭糙綁要秀御鍵廣醛渾稽貍惶氧早餌是屁斟獵季懲兄蛔薪稼幀空間向量法解決立體幾何問題空間向量法解決立體幾何問題二.立體幾何問題的類型及解法1.判定直線、平面間的位置關(guān)系a例2已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,C

7、1CB=C1CD=BCD=,求證: C C1BDA1B1C1D1CBAD寐夯加闡閥坯乎臘昔舒命峪揍飯遲琳斑粘修劉牧矗陣寂掇湃執(zhí)難美甲倦迂空間向量法解決立體幾何問題空間向量法解決立體幾何問題例2已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是證明：設(shè) a, b, c,依題意有| a |=| b |，于是 a b = c (a b)= ca cb = |c|a|cos|c|b| cos=0 C C1BD 升再值將媽弓蔭磚貍橙并瓊登濤攫陪亂窺走礫既殖峙授醬蹲燙嫩咯掄抿污空間向量法解決立體幾何問題空間向量法解決立體幾何問題證明：設(shè) a, b, (2)直線與平面的位置關(guān)系 直線L的方向向量為a,

8、平面的法向量為n,且L . 若an,即a =n,則 L 若an,即an = 0,則a .nanaLL敢死樓翠警崔財諺濰彈塌剝拌啟跪率世質(zhì)炭到呈岡津訖衡嚇唾蘸泥姐枚孿空間向量法解決立體幾何問題空間向量法解決立體幾何問題(2)直線與平面的位置關(guān)系nanaLL敢死樓翠警崔財諺濰例3棱長都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分別是AC,CC1的中點,求證:(1)A1E 平面DBC1;(2)AB1 平面DBC1A1C1B1ACBEDzxy肅奏療鄙誅卜退虱分稍缽抬褲預(yù)茲旭咒疫玉豈拭吏陪魔俺嚙區(qū)淋主間芒烈空間向量法解決立體幾何問題空間向量法解決立體幾何問題例3棱長都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C

9、1,A1C1B1解：以D為原點，DA為x軸，DB為y軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.則A(-1,0,0), B(0, ,0), E(1,0,1), A1(-1,0,2), B1(0, ,2), C1(1,0,2).設(shè)平面DBC1的法向量為n=(x,y,z),則 解之得 ，取z = 1得n=(-2,0,1)(1) =- n,從而A1E 平面DBC1(2) ,而 n =-2+0+2=0AB1 平面DBC1暗海三毫瓣魚深賠佛半睜亥壞帖棚寇怎銥料隴瞻禹卞賺扣跑宗謙侄湍夯斜空間向量法解決立體幾何問題空間向量法解決立體幾何問題解：以D為原點，DA為x軸，DB為y軸建立空間直角坐標(biāo)系D-(3)平面與平面的位

10、置關(guān)系平面的法向量為n1 ,平面的法向量為n2 若n1n2,即n1=n2,則若n1n2,即n1 n2= 0,則n2n1n1n2抗湘執(zhí)橫魁詣笆罷棺泅葷珊肩敬通無句黎嶄侗抉耿巷囪賦垛條愚妊鏈靴戰(zhàn)空間向量法解決立體幾何問題空間向量法解決立體幾何問題(3)平面與平面的位置關(guān)系n2n1n1n2抗湘執(zhí)橫魁例4 正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點,求證:平面AED平面A1FDzxyABCDFEA1B1C1D1賦蘭案三狼攀嫩猛紳罷乍痔驗瞪宣嬌扎縣另名前喚舅怠丙啤蹦警郭鹿床端空間向量法解決立體幾何問題空間向量法解決立體幾何問題例4 正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是

11、BB1證明:以A為原點建立如圖所示的的直角坐標(biāo)系A(chǔ)- xyz, 平面AED平面A1FDn1 n2 = -2+0+2=0同理可得平面A1FD的法向量為n2=(2,0,1)取z=2得n1=(-1,0,2)解得：設(shè)平面AED的法向量為n1=(x,y,z)得于是 ，設(shè)：正方體的棱長為2,那么E(2,0,1),A1(0,0,2), F(1,2,0),D(0,2,0),車腦洋鱉兢族限襯犬筐靠揮擒轎痙移纂府召動棗傘蕾矩穴甥峽辮正殖耪盧空間向量法解決立體幾何問題空間向量法解決立體幾何問題證明:以A為原點建立如圖所示的的直角坐標(biāo)系A(chǔ)- xyz, 2.求空間中的角(1)兩異面直線的夾角利用向量法求兩異面直線所成的

12、夾角,不用再把這兩條異面直線平移,求出兩條異面直線的方向向量,則兩方向向量的夾角與兩直線的夾角相等或互補(bǔ),我們僅取銳角或直角就行了.紛晰龍攏址者屎諜虹珊若揉咸根升嚷閡酗訝鄂融籽顆侈隱貞粘慕知餌脫魁空間向量法解決立體幾何問題空間向量法解決立體幾何問題2.求空間中的角(1)兩異面直線的夾角紛晰龍攏址者屎諜虹珊若例5如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中點,則對角線DB1與CM所成角的余弦值為_. BC A MxzyB1C1D1A1CD戎慨陸叼擎漱纓黃駒恥詫璃把益翰東浮灶柞氛雪凡乓栗虛瘸凌貞悼碟燎喬空間向量法解決立體幾何問題空間向量法解決立體幾何問題例5如圖在正方體ABCD-A1B1

13、C1D1中,M是AB的中點解: 以A為原點建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)- xyz, 設(shè)正方體的棱長為2, 那么 M(1,0, 0), C(2,2,0), B1(2, 0, 2), D(0,2 ,0),cos =|cos|設(shè)DB1與CM所成角為, 與 所成角為,于是：怯象鄧?yán)删蚁纺纬鼤炣|慫箔宿懈瓷年取鴕兔頸氧貯釣休宜莫眼依小翔全空間向量法解決立體幾何問題空間向量法解決立體幾何問題解: 以A為原點建立如圖所示的直角坐標(biāo)系A(chǔ)- xyz, 設(shè)正(2)直線與與平面所成的角若n是平面的法向量, a是直線L的方向向量,設(shè)L與所成的角, n與a所成的角 則 = - 或= - 于是,因此nnaa爛麥裳橢乖登措茅

14、伴冶窟掌鑄度替琴棋泌母換踴果秩摩憶啊隕替力贊究蟻空間向量法解決立體幾何問題空間向量法解決立體幾何問題(2)直線與與平面所成的角nnaa爛麥裳橢乖登措茅伴例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為a,高為 ，求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角。zxyC1A1B1ACBO沼雅簡晴彌猾聾劣茅啤拓水扮端杰災(zāi)伶吧謙錫蹈睦蒂煌膳坊務(wù)蚊硯吭汰禮空間向量法解決立體幾何問題空間向量法解決立體幾何問題例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為a,高為 解:建立如圖示的直角坐標(biāo)系,則A( ,0,0),B(0, ,0) A1( ,0,). C(- ,0, )設(shè)面ABB1A1的法向量為n=(x,y,z)得 由 ，解

15、得 ，取y= ,得n=(3, ,0)，設(shè) 與n夾角為而故：AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角大小為30.抒蒜幀置街椅裁著騾樣蘿兇宗求痛弧堰聳再嫩另植墜嘉廳場嘉潰營嘆括色空間向量法解決立體幾何問題空間向量法解決立體幾何問題解:建立如圖示的直角坐標(biāo)系,則抒蒜幀置街椅裁著騾樣蘿兇宗求痛（3）二面角設(shè)n1 、n2分別是二面角兩個半平面、的法向量，由幾何知識可知，二面角-L-的大小與法向量n1 、n2夾角相等（選取法向量豎坐標(biāo)z同號時相等）或互補(bǔ)（選取法向量豎坐標(biāo)z異號時互補(bǔ)），于是求二面角的大小可轉(zhuǎn)化為求兩個平面法向量的夾角，這樣可避免了二面角的平面角的作圖麻煩.n1n2n1n2獲善蘇滅反妮售傾姜惰椿塘

16、恨彭喲妨佛原甚席酶歇卒凈蘑志則啊督丹斑貯空間向量法解決立體幾何問題空間向量法解決立體幾何問題（3）二面角n1n2n1n2獲善蘇滅反妮售傾姜惰椿塘恨彭例7 在四棱錐S-ABCD中DAB=ABC=90，側(cè)棱SA底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.zxyABCDS隘嘛燙呈饑或綸拘還簡貴量氧摯舞殿火愁佳痞昭蚌錢圃哲丸驚同銅組苗試空間向量法解決立體幾何問題空間向量法解決立體幾何問題例7 在四棱錐S-ABCD中DAB=ABC=90，側(cè)棱解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則 B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）. 設(shè)平面SCD的法

17、向量n1=(x,y,z),則由 得 n1=(1,1,2). 而面SAD的法向量n2 = (1,0,0).于是二面角A-SD-C的大小滿足 二面角A-SD-C的大小為 .宜琴腦戈朔斟乙外餃慨澳虜貸嘲溺撇閹杯迄迸聾鉑丁撼拷摟居畔啄謎隴葫空間向量法解決立體幾何問題空間向量法解決立體幾何問題解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則 B（1，03.求解空間中的距離(1)異面直線間的距離兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段,只需利用向量的正射影性質(zhì)直接計算.如圖,設(shè)兩條異面直線a、b的公垂線的方向向量為n, 這時分別在a、b上任取A、B兩點,則向量在n上的正射影長就是兩條異面直線a、b的距離. 即

18、兩異面直線間的距離等于兩異面直線上分別任取兩點的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值.nabAB淑尤覓燈俊苔劑艾挑蔚幌丫雜蛋巒張?zhí)冗_(dá)天錠寺型份久顏氦時災(zāi)銘曼睜空間向量法解決立體幾何問題空間向量法解決立體幾何問題3.求解空間中的距離(1)異面直線間的距離nabAB淑尤覓燈例8在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,求異面直線AC1與BD間的距離.zxyABCDD1C1B1A1部頸淤最伏泊型盟較溪饒催潞迷界匠甸幌矗丸軍拷咨舅播塞娥燴糕謄詞派空間向量法解決立體幾何問題空間向量法解決立體幾何問題zxyABCDD1C1B1A1部頸淤最伏泊型盟較溪饒催潞迷界解:建立如圖

19、所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1), 設(shè)異面直線AC1與BD的公垂線的方向向量n=(x,y,z),則由 ,得 n=(-1,-1,2). ,異面直線AC1與BD間的距離神菠貳驕停洼鉆恕豫眉蹬凹秘簧棘樹龍尸靠駭探府摧棠扳艇址環(huán)驗曝條棕空間向量法解決立體幾何問題空間向量法解決立體幾何問題解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則 (2)點到平面的距離A為平面外一點(如圖), n為平面的法向量,過A作平面的斜線AB及垂線AH. = = . 于是，點到平面的距離等于平面內(nèi)外兩點的向量和平面的法向量的數(shù)量積的絕對值與平面的法向量

20、模的比值.nABH眷弗墩茸吻騎扼佛喻累控殖噬悔梧卷甲謂吝故朝徽仕闡卿屜媚龜選夸箕歇空間向量法解決立體幾何問題空間向量法解決立體幾何問題(2)點到平面的距離nABH眷弗墩茸吻騎扼佛喻累控殖噬悔例9 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1= ,AC=BC=1,ACB=90,求B1到面A1BC的距離.zxyCC1A1B1AB辯咆大賴它歐黃糯究哎終謹(jǐn)燼律恍定匠鑷暈憶枷蔥瑤盟帽鈞驟滴磊宮例詹空間向量法解決立體幾何問題空間向量法解決立體幾何問題例9 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1= 解:以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz ,則 C(0,0,0),A1(1,0, ),B(0,1,0),B1(0,1, ). 設(shè)面A1BC的法向量n=(x,y,z),由 得 n=(- ,0,1). , 或 ,或 ,可見,選擇平面內(nèi)外兩點的向量時,與平面內(nèi)的點選擇無關(guān). 興冤于惑陸屯罵擦謾摘洞粗玻媒規(guī)季器似稱乞油綿斑必捧汕憋壁嚼癟待射空間向量法解決立體幾何問題空間向量法解決立體幾何問題解:以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz ,則 會求了點到平面的距離,直線到平面、平面到平面間的距離都可轉(zhuǎn)化為求點到平面的距離來求.例10四棱錐P-ABCD的底面ACBD是菱形,AB