高中數(shù)學第三章三角恒等變換3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式學案新人教A版必修4

1、高中數(shù)學第三章三角恒等變換3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式學案新人教A版必修41學習目標導航I1,能利用兩角和與差的正、余弦公式推導出兩角和與差的正切公式.（重點）2.能利用兩角和與差的正切公式進行化簡、求值、證明 .（難點）3,熟悉兩角和與差的正切公式的常見變形，并能靈活應(yīng)用.（易錯點）階段1階段1認知預(yù)習質(zhì)疑基礎(chǔ)初探教材整理二倍角的正弦、余弦、正切公式閱讀教材Pl32R33例5以上內(nèi)容，完成下列問題.二倍角的正弦、余弦、正切公式記法公式S2sin 2 a = 2sin a COS aGCOS 2 a = cos a sin a丁2“2tan atan 2 a=-1 tan a2,余弦的二

2、倍角公式的變形（1）二倍角的正弦、余弦、正切公式的適用范圍是任意角（1）二倍角的正弦、余弦、正切公式的適用范圍是任意角(1)sin a cos.()3,正弦的二倍角公式的變形a =；sin 2 a , cos a =|in-2吆22sin a(2)存在角 a ,使得sin 2 a = 2sin a成立.()（3）對于任意的角a , COS 2 a = 2cos a都不成立.（【解析】（1） x ,二倍角的正弦、 余弦公式對任意角都是適用的，而二倍角的正切公式,要求7t卜 kjt ( ke Z)且7t卜kjt ( ke Z),故此說法錯誤(2)，.當 a=kTt(kC Z)時，sin 2 a=2

3、sin a.(3) x.當 cos a = -時，cos 2 a = 2COS a .【答案】(1) x (2) V (3) X2.已知 cos a =,則 cos 2 OC 等于.3【解析】由 cos a【解析】由 cos a,得 cos 2 a = 2cos 2 a - 1 = 2 X 39-【答案】階段2合作探究通關(guān)階段2合作探究通關(guān)【介維修論疑難觸覺小組合作型利用二倍角公式化簡三角函數(shù)式化簡求值.利用二倍角公式化簡三角函數(shù)式化簡求值.(1)cos 4 -2-sin 4 -2;/c， 兀兀兀sin24 cos 24 cos T2;(3)1 2sin 2 750 ;2-(4)tan 150

4、1 3tan 150(4)tan 1502tan 150 【精彩點撥】靈活運用倍角公式轉(zhuǎn)化為特殊角或產(chǎn)生相消項，然后求得【自主解答】(1)cos 4 y-sin4 2=cos=cos2 sin 22cos2 + sin 2 - 22=cos a .一 ，、1 c . 兀兀兀(2)原式=2 2sin 24cos 24 - cos =1sin cos =1 2sin cos 21212 41212= 4sin T=1.1，原式=.8(3)原式=cos(2 X750。)=cos 1 500 1=cos(4 x 360 +60 ) = cos 60 = 2(4)原式=2tan 2150 + 1 3ta

5、n (4)原式=2tan 150 TOC o 1-5 h z 1 - tan 2 15012tan 150=tan2X15011tan 300 =tan360 601；3c= 一tan 603 .，原式=專.二倍角公式的靈活運用:(1)公式的逆用：逆用公式，這種在原有基礎(chǔ)上的變通是創(chuàng)新意識的體現(xiàn)2sin a cos a = sin 2 a , sin1 .c cos a = 2sin 2 a ,cosa =sin_2, cos(1)公式的逆用：逆用公式，這種在原有基礎(chǔ)上的變通是創(chuàng)新意識的體現(xiàn)2sin a cos a = sin 2 a , sin1 .c cos a = 2sin 2 a ,c

6、osa =sin_2, cos2 oc - sin 2 a = cos 2 a ,2tan 2a = tan 22sin a1 tan a(2)公式的變形：公式間有著密切的聯(lián)系，這就要求思考時要融會貫通,式.主要形式有:1 sin 2 a = sin 2 a + cos2 a 2sin a cos a = (sina cos a )2,.主要形式有：a .有目的地活用公21 + cos 2 a = 2cos21 21 + cos 2 aa , cos a =2，.21 cos 2 asin a =2再練一題1.求下列各式的值:(1)sin兀-cos12(1)sin兀-cos12兀12；2tan

7、 150 1tan 2150 ；1 乖 sin 10 cos 10 (4)cos 20 cos 40 cos 80兀兀兀2sin 12cos 12 sin -6 1【解】(1)原式=2=-2=(2)原式2tan 150 1tan 2150 ；1 乖 sin 10 cos 10 (4)cos 20 cos 40 cos 80兀兀兀2sin 12cos 12 sin -6 1【解】(1)原式=2=-2=(2)原式=tan(2 X150 ) =tan 300 =tan(360 -60 )=一 tan 60= q3.(3)原式=cos 10 - q3sin 10 sin 10 cos 10 -1o ,

8、32 2os 10 一 sin 10 sin 10 cos 10 4 sin 30 cos 10 cos 30 sin 102sin 10 cos 104sin 20sin 20=4.(4)原式=2sin 20- cos 20- cos 40- cos 802sin 40cos 404sin 202sin 80- cos 808sin 202sin 20- cos 80sin 1608sin 20利用二倍角公式解決求值問題(1)已知 sin a = 3cos a ,那么tan 2 a的值為(A.2B. 23C.43 D.-4(2)已知sin 康+ a =；，則 cos - 63a的值等于(A.

9、 91B.37C. 一1B.37C. 一9(3)已知cos a = , sin 3 =, a是第三象限角，B C3，兀432求sin 2 a的值；求 cos(2 a+ B)的值.【精彩點撥】(1)可先求tan a ,再求tan 2 a ;(2)可利用 -Tt 2a = 2 a 及-;7 a = a 求值；33326可先求sin 2 a , cos 2 a ,cos 3 ,再利用兩角和的余弦公式求cos(2 a + (3 ).【自主解答】(1)因為 sin a=3cos a ,所以tan a=3,所以tan 2民2tan2X31 tan13 可先求sin 2 a , cos 2 a ,cos 3

10、 ,再利用兩角和的余弦公式求cos(2 a + (3 ).【自主解答】(1)因為 sin a=3cos a ,所以tan a=3,所以tan 2民2tan2X31 tan13 34.(2)因為cos7t3=sin7t27t3兀=sin -+ a13,所以cos2 a = 2cos 37t31=2X 32T = -9.D(2)C(3)因為a是第三象限角,cos34所以sina = 1 cos2所以sin 2a = 2sina cos=2X337 48 .因為3兀e 2，兀所以cos3 = d sin 2111 =-1 89a 1 = 2X a 16所以 cos(2 a +) ) = cos 2

11、a cos (3 sin 21s sin (3 = o x8,153 ； 72*3 =24名師直接應(yīng)用二倍角公式求值的三種類型sina (或cos a)同角三角5勺關(guān)系COS a (或sin a )“sin 2 a (或cos2 a).(2)sin(或 cos)i式 cos 2-12sin2(或(2)sin(或 cos)i式 cos 2-12sin2(或 2cos 2a 1).(3)sin(或 cos、同角三角函數(shù)的關(guān)系),cos或 sin atan二San 2 a.再練一題兀2.(1)已知a CW,7t(2)已知兀2.(1)已知a CW,7t(2)已知兀sin + asin7t兀2，兀a的值

12、.【導學號:70512043】【解析】(1)因為7tcos a羋，所以sin 25=2sin 【解析】(1)因為7tcos a羋，所以sin 25=2sin a cosa = 2X2,. 554cos 2a = 1 2sin52 a =1-2x 乎 2 = 5, tan 2sin 2 acos 2 a(2)因為sin7t=sin7t則已知條件可化為兀sin 7(2)因為sin7t=sin7t則已知條件可化為兀sin 7+cos16,n1 .八兀即 2sin 2 4 + a16所以 sin -2- + 2 a =1, 23所以cos 2 a = .因為a C 兀,所以2 a C (兀，2兀)，

13、32從而sin 2a = 4 一 cos2從而sin 2所以tan 2sin 2 a j- 所以tan 2sin 2 a j- a=coZT故 tan 4 a2tan 2 風1tan 22” =一匚4. 22 一 7 .(2)法一：左邊=2cos (2)法一：左邊=2cos 0sin 2 0 1cosi=cos2 0 sin 2 0=cos 2 9 =右邊.* M3利用二倍角公式證明卜例國 求證：(1)cos = 2(cos 2Acos 2B sin 2Asin 2B+= 2(cos 2Acos 2B sin 2Asin 2B+cos 2Acos 2 B+ sin 2Asin2B)=cos 2

14、 Acos 2 B=右邊,，等式成立.(2)cos 2 0 (1 tan 2 0 ) = cos 2 0 .【精彩點撥】(1)可考慮從左向右證的思路：先把左邊降哥擴角，再用余弦的和、差角公式轉(zhuǎn)化為右邊形式.(2)證法一：從左向右：切化弦降哥擴角化為右邊形式;證法二：從右向左：利用余弦二倍角公式升哥后向左邊形式轉(zhuǎn)化【自主解答】1 + cos2A+ 2B1 - cos 2A 2Bcos 2A+ 2B + cos 2A 2B法二： 右邊= cos 2 0= cos2 0 sin 2 0=cos2 0 1 -: = cos2 0 (1 tan 2 0 )=左邊. cos t)證明問題的原則及一般步驟:

15、1觀察式子兩端的結(jié)構(gòu)形式,般是從復雜到簡單， 如果兩端都比較復雜，1觀察式子兩端的結(jié)構(gòu)形式,都化簡，即采用“兩頭湊”的思想2證明的一般步驟是：先觀察，找出角、函數(shù)名稱、式子結(jié)構(gòu)等方面的差異，然后本著“復角化單角”、“異名化同名”、“變量集中”等原則，設(shè)法消除差異，達到證明的目 的.再練一題3.證明:1+sin 2 aZ 22cos a+ sin 2 a1= tan13.證明:1+sin 2 aZ 22cos a+ sin 2 a1= tan1a +2.【導學號：00680072】【證明】左邊=sin 2 a + cos2 a+ 2sin a cos a2sin a + cos a7；22cos

16、a + 2sin a cos a2cos a sin a + cossin a + cos a 1sin a + cos a 1o= /an2cos a 2+2=右邊.所以1 + sin 2 a22cosoc + sin 2 a所以1 + sin 2 a22cosoc + sin 2 a+1=2tan a探究共研型倍角公式的靈活運用探究1請利用倍角公式化簡:探究1請利用倍角公式化簡:寸2 + 42+2cos a (2 兀 a 3兀).提示. a 3 tt 兀 a 3 ttT_2_,萬/3cos2x+q3sin 2x 4sin xcos x, xC j -4 倒求其單調(diào)減區(qū)間【精彩點撥】化簡f

17、x 的解析式一 f x= Asincox + 6+B一 3 x + 6的范圍一求最小值，單調(diào)減區(qū)間1 1 + cos 2 x 1 1 cos 2 x【自主解答】f (x) = 543 2+ V3 2=3m + 243cos 2 x- 2sin 2 x= 3 + 4 申cos 2 x 2sin 2 x= 33 + 4 sin7t7t= 33 + 4 sin7t7tcos 2 x cos sin 2 x= 343 + 4sin7tl= 343 + 4sin7tl兀3 2x = 3y 3 - 4sin 2x 3-.7t兀 .sin2x 3兀，當 兀，當 2x-37t7,即 x=W4 時，f(x)取最

18、小值為 3J32，2.兀兀 7兀y= sin 2x- 在 1, 五 上單調(diào)遞增,1 f (x)在4-, -4上單調(diào)遞減.名師I，11本題考查二倍角公式，輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì).解決這類問題經(jīng)常是先利用公式將函數(shù)表達式化成形如 y=Asin3x+()的形式，再利用函數(shù)圖象解決問題4.求函數(shù) 4.求函數(shù) y = sin 4x+23sinxcos x - cos4 x的最小正周期和最小值，并寫出該函數(shù)在0,兀上的單調(diào)遞減區(qū)間.【解】y= sin 4x+ 2sin【解】y= sin 4x+ 2sinxcos x cos 4x=(sin 2x + cos 2x)(sin2xcos2x) + 23sin xcos x=2 事in 2 x-7t-cos 2 x =2sin 2x-, 26所以 T=兀,ymin = 2.7t7t由7t7