高中數(shù)學(xué)高考總復(fù)習(xí)定積分與微積分基本定理習(xí)題及詳解

1、年級高二學(xué)科數(shù)學(xué)內(nèi)容標(biāo)題定積分的計算編稿老師馬利軍一、教學(xué)目標(biāo)：.理解定積分的基本概念并能利用定積分的幾何意義解決一些簡單的積分計算問題.理解微積分的基本定理，并會用定積分公式解決簡單函數(shù)的定積分問題二、知識要點(diǎn)分析b.定積分的概念：函數(shù) f(x)在區(qū)間a, b上的定積分表示為：f f(x)dxa.定積分的幾何意義： b(1)當(dāng)函數(shù)f (x)在區(qū)間a, b上恒為正時，定積分 L f (x)dx的幾何意義是：y=f (x)與bx=a, x=b及x軸圍成的曲邊梯形面積，在一般情形下 .f (x)dx的幾何意義是介于 x軸、函數(shù) a TOC o 1-5 h z f (x)的圖象、以及直線x=a, x

2、=b之間的各部分的面積代數(shù)和，在 x軸上方的面積取正號，x軸下方的面積取負(fù)號.bbb在圖(1)中：(f (x)dx =s 0，在圖(2)中：ff (x)dx =s0 ,在圖(3)中：(f (x)dxa-a a表示函數(shù)y=f (x)圖象及直線x=a, x=b、x軸圍成的面積的代數(shù)和 . b 注：函數(shù)y=f (x)圖象與x軸及直線x=a, x=b圍成的面積不一定等于f(x)dx,僅當(dāng)在ab 區(qū)間a, b上f (x)恒正時，其面積才等于f f(x)dx. TOC o 1-5 h z 3.定積分的性質(zhì)，(設(shè)函數(shù) f (x) , g (x)在區(qū)間a, b上可積) bbba f (x) _g(x)dx =

3、 a f (x)dx 一 a g(x)dxbb( kf (x)dx = k | f (x)dx , ( k 為常數(shù))bcbf (x)dx = f (x)dx，i f (x)dx HYPERLINK l bookmark4 o Current Document aacb(4)若在區(qū)間a, b上，f(x)之0,則1 f(x)dx之0abb推論：(1)若在區(qū)間a, b上，f (x) Wg(x)，則f (x)dx Wg (x)dxaabb | a f(x)dx|I f(x)|dx HYPERLINK l bookmark10 o Current Document aaaa(3)若f ( x )是偶函數(shù)

4、，則f f (x) dx = 2 f f (x) dx ,若f ( x )是奇函數(shù)，則 1 -a0aL f (x)dx = 04.微積分基本定理：一般地，若 F (x) = f (x)，且f (x)在a, b上可積，則 f f (x)dx = F(b) - F (a)a注：(1)若F (x) = f (x)則F (x)叫函數(shù)f (x)在區(qū)間a, b上的一個原函數(shù)，根據(jù)b導(dǎo)數(shù)定義知：F (x) +C也是f (x)的原函數(shù)，求定積分 f(x)dx的關(guān)鍵是求f (x)的原函數(shù), a可以利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則從反方向求F (x).(2)求導(dǎo)運(yùn)算與求原函數(shù)的運(yùn)算互為逆運(yùn)算【典型例

5、題】知識點(diǎn)一：定積分的幾何意義例1.根據(jù)(sin xdx = 0推斷：求直線 x=0 , x= 2n,y=0和正弦曲線y=sinx所圍成的曲邊梯形面積下列結(jié)論正確的是()A.面積為0B.曲邊梯形在xA.面積為0B.曲邊梯形在x軸上方的面積大于在C.曲邊梯形在D.曲邊梯形在x軸上方的面積小于在x軸上方的面積等于在題意分析：本題考查定積分的幾何意義，注意x軸下方的面積x軸下方的面積x軸下方的面積2二,0 sin xdx與y=sinx及直線x=a, x=b和x軸圍成的面積的區(qū)別 思路分析：作出函數(shù)y=sinx在區(qū)間0 , 2n內(nèi)的圖象及積分的幾何意義及函數(shù)的對稱性可判斷解：對于(A):由于直線x=0

6、 , x= 2n , y=0和正弦曲線y=sinx所圍成的曲邊梯形面積為正可 判斷A錯.對于(B) , ( C)根據(jù)y=sinx在0 , 2n 內(nèi)關(guān)于(冗,0)對稱知兩個答案都是錯誤的.根據(jù)函數(shù)y=sinx的圖象及定積分的幾何意義可知：答案( D)是正確的.解題后的思考：本題主要考查定積分的幾何意義，體現(xiàn)了數(shù)與形結(jié)合的思想的應(yīng)用，易錯點(diǎn)是2 二混淆函數(shù)y=sinx與x軸、直線x=0 , x= 2幾圍成的面積等于(f(x)dx.例2.利用定積分的幾何意義，說明下列等式的合理性1(1) 02xdx = 1112只 o . 1 - x dx =.題意分析：本題主要考查定積分的幾何意義：在區(qū)間 0,

7、1上函數(shù)y=2x,及y= 71 x2恒為正112時，定積分 *2xdx表示函數(shù)y=2x圖象與x=0, x=1圍成的圖形的面積， g-x dx表示函數(shù)y= v1 - x2圖象與x=0 , x=1圍成的圖形的面積.思路分析： 分別作出函數(shù) y=2x及y=M1-x2的圖象，求此圖象與直線x=0, x=1圍成的面積解：(1)在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù) y=2x的圖象及直線 x=0, x=1 (如圖)，它們圍成的圖形是 TOC o 1-5 h z 1.一1直角二角形.其面積Sa= 一父2父1 =1.由于在區(qū)間0, 1內(nèi)f (x)怛?yàn)檎?，? 2xdx = 1. 20*J 由 y = t1 -x2 = x2

8、+y2 =1,xW 0,1,故函數(shù) y=41x2 (x0,1的圖象如圖222所不，所以函數(shù) y = V1x 與直線x=0, x=1圍成的圖形面積是圓x +y =1面積的四分之又y =，1 _x2在區(qū)間0, 1上恒為正.j Ji x2dx =,解題后的思考： 本題主要考查利用定積分的幾何意義來驗(yàn)證函數(shù)y=2x及函數(shù)y= Ji x2在區(qū)間0, 1上的定積分的值，體現(xiàn)了數(shù)與形結(jié)合的思想的應(yīng)用，易錯點(diǎn)是畫函數(shù)圖象的不準(zhǔn)確造成錯誤的結(jié)果.4例3.利用定積分的幾何意義求工(|x1| + |x3|)dx的值.4題意分析：本題考查定積分的幾何意義，(|x1| + |x 3|)dx的值是函數(shù)y x1|十|x3|

9、的圖象與直線x=0, x=4所圍成圖形的面積.思路分析：首先把區(qū)間0,4分割為0, 1 , 1,3, 3, 4,在每個區(qū)間上討論 x-1, x 3的符號，把函數(shù) y =| x 1| +1 x - 3 |化為分段函數(shù)，再根據(jù)定積分的幾何意義求40 (| x1| +|x _3|)dx的值.2x +4,(xw 0,1解：函數(shù) y =| x 1| + | x -3 |化為 y = 2, (x w 1,3 2x-4,(x 3,4J2x + 4,(xy0,1由于函數(shù)y =12,(x W 1,3 在區(qū)間0, 1 , 1,3, 3, 4都恒為正. 2x-4,(x 3,4設(shè)函數(shù)y= 2x+4的圖象與直線 x=0

10、, x=1圍成的面積為 S1函數(shù)y=2的圖象與直線 x=1 , x=3圍成的面積是 S2函數(shù)y=2x - 4的圖象與直線 x=3 , x=4圍成的面積是 &一一由圖知：S產(chǎn)S3= (4 2) 1=3, S2=2 2 = 44由定積分的幾何意義知：o(|x-1| |x-3|)dx=S1 S3 S2 -10解題后的思考：本題考查的知識點(diǎn)是定積分的幾何意義，利用其幾何意義求定積分40 (| x -1| +| x -3 |)dx的值，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想(把區(qū)間0, 4分割，把函數(shù)y=|x1|+|x 3|化成分段函數(shù))、數(shù)與形結(jié)合的思想的應(yīng)用.易錯點(diǎn)是：區(qū)間0, 4分割不當(dāng)及畫函數(shù)圖象不準(zhǔn)確，造成

11、錯誤的結(jié)果.當(dāng)被積函數(shù)含有絕對值時，常采用分割區(qū)間把函數(shù)化為分段函數(shù)的方法求定積分的值 .小結(jié)：本題主要考查定積分的幾何意義，要分清在區(qū)間a, b上f (x)恒為正時，f (x)在區(qū)間a, b上定積分值才等于函數(shù)圖象與直線x=a, x=b圍成的面積.在畫函數(shù)圖象時注意 x的取值區(qū)間.當(dāng)被積函數(shù)含有絕對值時，恰當(dāng)?shù)姆指顓^(qū)間把函數(shù)畫為分段函數(shù)再求定積分的值、選擇題1. (2010山東日照模考)a= f2xdx, b= f2exdx, c=sinxdx,則a、b、c的大小關(guān)系是()B. abcA. acbB. abcC.cba2.2（2010山東理，7）由曲線y=xD. caby = x3圍成的封閉

12、圖形面積為C.cba2.2（2010山東理，7）由曲線y=xD. caby = x3圍成的封閉圖形面積為（）1 C.o37D.12（2010湖南師大附中）設(shè)點(diǎn)P在曲線y=x2上從原點(diǎn)到A（2,4）移動，如果把由直線 直線y=x2及直線x = 2所圍成的面積分別記作S1, &.如圖所示，當(dāng)S1=S2時，點(diǎn)POP,的坐標(biāo)是（）A 4345157D 4D. 51373.由三條直線3.由三條直線x= 0、x= 2、y=0和曲線y=x3所圍成的圖形的面積為（）A.4B.3A.4B.318D. 64.A.C.2 + 2cos1D. 22cos15.曲線y= cosx（0wxw 2 nt后直線y= 1所圍成

13、的圖形面積是（）A.B. 3兀C.37D.兀.函數(shù)4.A.C.2 + 2cos1D. 22cos15.曲線y= cosx（0wxw 2 nt后直線y= 1所圍成的圖形面積是（）A.B. 3兀C.37D.兀.函數(shù) F(x)= fxt(t4)dt 在1,5上()10A.有最大值0,無最小值B.有最大值0和最小值-32332C.有最小值 -,無取大值3D.既無最大值也無最小值.已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=2n2+n,函數(shù) f(x)=dt,若 f(x)a3,則 1tx的取值范圍是（）A. (0, e21). (e11, e)(0, e11)8. （2010福建廈門一中）如圖所示，在一個長為兀，寬為

14、2的矩形OABC內(nèi)，曲線y =（2010湖南省考試院調(diào)研）/ 1（sinx+1）dx的值為（）B. 2sinx(0WxW nt后x軸圍成如圖所示的陰影部分，向矩形 OABC內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)(該點(diǎn)落在矩形OABC內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的),則所投的點(diǎn)落在陰影部分的概率是()1 A.- 兀2 B.- 兀兀D.4儼OABC內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的),則所投的點(diǎn)落在陰影部分的概率是()1 A.- 兀2 B.- 兀兀D.4儼+2? 2x0?(2010吉林質(zhì)檢)函數(shù)f(x)=g兀 的圖象與x軸所圍成的圖形面積S為|2cosx ?0 x0)與x軸，直線x=1構(gòu)成區(qū)域M,現(xiàn)將一個質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)地投入正方形中，則質(zhì)點(diǎn) 落在區(qū)域M內(nèi)的概率是()11A.2B.412C-D-35二、填空題(2010蕪湖十二中)已知函數(shù)f(x)=3x2+2x+1 ,若/ 1f(x)dx= 2f(a)成立，則 a=.116已知 a= / 20(sinx+cosx)dx,則二項(xiàng)式(a阪一1x)的 展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)是.拋物線y2=2x與直線y= 4 x圍成的平面圖形的面積為(2010安徽合