專題36 切線的條數(shù)-2023年高考數(shù)學(xué)核心壓軸題（新高考地區(qū)專用）

1、專題36 切線的條數(shù)【方法點(diǎn)撥】1.按照過一點(diǎn)求切線方程的一般步驟，設(shè)切點(diǎn)、求斜率得切線方程、點(diǎn)代入，將切線的條數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)問題；是否存在切線轉(zhuǎn)化為方程有無解的問題.2.有時(shí)也可考慮相切為“臨界狀態(tài)”，利用參數(shù)的幾何意義確定參數(shù)的取值范圍.【典型題示例】（2022全國新高考卷15）若曲線有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則的取值范圍是_【答案】【解析】易知曲線不過原點(diǎn)，故設(shè)切點(diǎn)為，則切線的斜率為所以切線方程為又因?yàn)榍芯€過原點(diǎn)，所以即又因?yàn)榍芯€有兩條，故上方程有兩不等實(shí)根所以，解得，或所以的取值范圍是例2 (2022江蘇南京一中學(xué)情調(diào)研模擬檢測8)若函數(shù)與函數(shù)有公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）

2、A. B. C. D. 【答案】B【分析】由于中要求，故考慮當(dāng)時(shí)的公切線所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)的值為臨界值，當(dāng)增大時(shí)，拋物線沿直線上移，公切線與相切的切點(diǎn)左移，橫坐標(biāo)減小，故所求大于此時(shí)的臨界值.【解析】先求當(dāng)時(shí)，曲線的切線方程，曲線的切線在處的切線方程為，即再求當(dāng)曲線與直線相切時(shí)（即直線為公切線）的值設(shè)曲線與直線相切時(shí)切點(diǎn)為則由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，解得，切點(diǎn)為將代入得當(dāng)增大時(shí)，拋物線沿直線上移，公切線與相切的切點(diǎn)左移，橫坐標(biāo)減小，即切點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于0故所求大于此時(shí)的值，即.例3 （2022全國甲卷文20改編）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 【答案】【分析一】由于中的幾何意

3、義為截距，故只需求出、相切時(shí)的值，將圖象往上平移，即增大，即為所求.【分析二】設(shè)出上的切點(diǎn)坐標(biāo)，分別由和及切點(diǎn)表示出切線方程，由切線重合表示出，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)求出函數(shù)值域，即可求得的取值范圍.【解析一】設(shè)公切點(diǎn)為則，解之得或（不符合題意，舍去）故的取值范圍為.【解析二】，則在點(diǎn)處的切線方程為，整理得，設(shè)該切線與切于點(diǎn)，則，則切線方程為，整理得，則，整理得，令，則，令，解得或，令，解得或，則變化時(shí)，的變化情況如下表：01000則的值域?yàn)?，故的取值范圍?例4 （2022江蘇南通期末16）已知函數(shù)，若aR時(shí)，直線與曲線相切，且滿足條件的k的值有且只有3個(gè)，則a的取值范圍為_【答案】【分析】利用過點(diǎn)

4、的曲線的切線有3條，構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)求解作答.【解析】由求導(dǎo)得：，設(shè)直線與曲線相切的切點(diǎn)為，于是得，且，則，顯然函數(shù)在R上單調(diào)遞增，因直線與曲線相切的k的值有且只有3個(gè)，則有直線與曲線相切的切點(diǎn)橫坐標(biāo)t值有且只有3個(gè)，即方程有3個(gè)不等實(shí)根，令，求導(dǎo)得：，當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在，上遞增，在上遞減，當(dāng)時(shí)，取得極大值，當(dāng)時(shí)，取得極小值，方程有3個(gè)不等實(shí)根，當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，因此，解得，所以a的取值范圍為.故答案為.例5 若函數(shù)的圖象與曲線C:存在公共切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為ABCD【答案】A【分析】本道題結(jié)合存在公共切線，建立切線方程，結(jié)合待定系數(shù)法，建立等式，構(gòu)造新函數(shù)，將

5、切線問題轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)問題，計(jì)算a的范圍，即可【解析】設(shè)函數(shù)的切點(diǎn)為,該切線斜率,所以切線方程為,的切點(diǎn)為,所以切線方程為,由于該兩切線方程為同一方程，利用待定系數(shù)法，可得,解得得到新方程為,構(gòu)造函數(shù)解得,表示與存在著共同的交點(diǎn),而過定點(diǎn),得到過的切線方程,設(shè)切點(diǎn)為,則,該切點(diǎn)在該直線上,代入,得到,解得,所以直線斜率為,要使得與存在著交點(diǎn),則,結(jié)合,所以a的取值范圍為，故選A例6 (2021全國卷)若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則( )ABCD【答案】D【分析】結(jié)合已知條件，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的交點(diǎn)問題，然后通過構(gòu)造新函數(shù)，并求出新函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及最值，利用數(shù)形結(jié)合的方法即可求解

6、.【解析】設(shè)切點(diǎn)，因?yàn)?，即，則切線方程為，由得，則由題意知，關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的解設(shè)，則，由得，所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以的最大值為，當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故的圖像如下圖所示：故故選:D【鞏固訓(xùn)練】1.過定點(diǎn)作曲線的切線，恰有2條，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_2.若函數(shù)與函數(shù)有公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD3.若存在實(shí)數(shù)，使不等式對(duì)一切正數(shù)都成立（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則實(shí)數(shù)的最大值是（ ）ABCD4.若過點(diǎn)可以作三條直線與曲線相切，則m的取值范圍是（ ）ABCD5.已知函數(shù)，若曲線與有兩條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 6.若曲線與曲線存在公共切線，數(shù)a 取范圍為

7、 7.已知函數(shù)，若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 8.已知函數(shù)，若過點(diǎn)只有一條直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .【答案或提示】1.【答案】【分析】設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線方程為，由題意知在上有兩個(gè)不同解，構(gòu)造且，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性及值域，進(jìn)而確定的范圍.【解析】由，若切點(diǎn)為，則，切線方程為，又在切線上，即在上有兩個(gè)不同解，令，即原問題轉(zhuǎn)化為與有兩個(gè)交點(diǎn)，而，（1）當(dāng)時(shí)，遞增，且，（2）當(dāng)時(shí)，遞增；當(dāng)時(shí)，遞減； ，又，時(shí)且，要使在上有兩個(gè)不同解，即.故答案為：點(diǎn)評(píng)： 作為填空題，本著“小題小做”的策略，只需先求出點(diǎn)在曲線上時(shí)的值為，此時(shí)，過點(diǎn)曲線的切線洽有一條，從形上看

8、，當(dāng)增大時(shí)，切線就有兩條，故答案為.2.【答案】A【解析】設(shè)公切線與函數(shù)切于點(diǎn)，則切線方程為；設(shè)公切線與函數(shù)切于點(diǎn)，則切線方程為，所以有，又，令，設(shè)，則，在(0，2)上為減函數(shù)，則，故選A3.【答案】C【解析】存在實(shí)數(shù)，使不等式對(duì)一切正數(shù)都成立，要求的最大值，臨界條件即為直線恰為函數(shù)的公切線.設(shè)的切點(diǎn)為，.設(shè)的切點(diǎn)為，,所以.由題得.設(shè)，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.又，當(dāng)時(shí)，所以方程另外一個(gè)零點(diǎn)一定大于.所以方程小的零點(diǎn)為，所以.故選：C.4.【答案】A【解析】設(shè)切點(diǎn)為，M處的切線斜率，則過點(diǎn)P的切線方程為，代入點(diǎn)P的坐標(biāo)，化簡得，過點(diǎn)可以作三條直線與曲線相切，方程有三個(gè)不等實(shí)根.

9、令，求導(dǎo)得到，可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，如圖所示，故，即.故選：A.5.【答案】，【解析一】根據(jù)二次函數(shù)和代數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得：當(dāng)時(shí)，曲線與有兩條公切線，即在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，令，即，因此，【解析二】取兩個(gè)函數(shù)相切的臨界條件：，解得，由此可知，若兩條曲線具有兩條公切線時(shí)，故的取值范圍是，6.【答案】【提示】取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為曲線與直線有交點(diǎn)，臨界狀態(tài)是相切.7. 【答案】【解答】 設(shè)切點(diǎn)為，切線斜率為：切線方程為：又切線過點(diǎn)，帶入化簡為：令 與 ，（1），；，令，；在，單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增；過點(diǎn)可作曲線的三條切線，即存在三個(gè)，也即是與有三個(gè)交點(diǎn)故如圖所知：8.【答案】【解析】設(shè)過