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文檔簡介
1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1 答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1設(shè)函數(shù),若在上有且僅有5個零點,則的取值范圍為( )ABCD2五行學說是華夏民族創(chuàng)造的哲學思想
2、,是華夏文明重要組成部分.古人認為,天下萬物皆由金、木、水、火、土五類元素組成,如圖,分別是金、木、水、火、土彼此之間存在的相生相克的關(guān)系.若從5類元素中任選2類元素,則2類元素相生的概率為( )ABCD3如圖,中,點D在BC上,將沿AD旋轉(zhuǎn)得到三棱錐,分別記,與平面ADC所成角為,則,的大小關(guān)系是( )ABC,兩種情況都存在D存在某一位置使得4設(shè),則“”是“”的( )A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件5已知,是平面內(nèi)三個單位向量,若,則的最小值( )ABCD56天干地支,簡稱為干支,源自中國遠古時代對天象的觀測.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”稱為十天
3、干,“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”稱為十二地支.干支紀年法是天干和地支依次按固定的順序相互配合組成,以此往復(fù),60年為一個輪回.現(xiàn)從農(nóng)歷2000年至2019年共20個年份中任取2個年份,則這2個年份的天干或地支相同的概率為( )ABCD7下列選項中,說法正確的是( )A“”的否定是“”B若向量滿足 ,則與的夾角為鈍角C若,則D“”是“”的必要條件8在中,則邊上的高為( )AB2CD9 “幻方”最早記載于我國公元前500年的春秋時期大戴禮中“階幻方”是由前個正整數(shù)組成的個階方陣,其各行各列及兩條對角線所含的個數(shù)之和(簡稱幻和)相等,例如“3階幻方”的幻和為15(如圖所示)則“
4、5階幻方”的幻和為( )A75B65C55D4510在一個數(shù)列中,如果,都有(為常數(shù)),那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列,叫做這個數(shù)列的公積.已知數(shù)列是等積數(shù)列,且,公積為,則( )ABCD11五名志愿者到三個不同的單位去進行幫扶,每個單位至少一人,則甲、乙兩人不在同一個單位的概率為( )ABCD12定義,已知函數(shù),則函數(shù)的最小值為( )ABCD二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13若函數(shù),則的值為_.14(5分)已知橢圓方程為,過其下焦點作斜率存在的直線與橢圓交于兩點,為坐標原點,則面積的取值范圍是_15已知點P是直線y=x+1上的動點,點Q是拋物線y=x2上的動點.設(shè)點M為線段PQ的
5、中點,O為原點,則16記Sk1k+2k+3k+nk,當k1,2,3,時,觀察下列等式:S1n2n,S2n3n2n,S3n4n3n2,S5An6n5n4+Bn2,可以推測,AB_三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17(12分)在平面直角坐標系中,已知拋物線C:()的焦點F在直線上,平行于x軸的兩條直線,分別交拋物線C于A,B兩點,交該拋物線的準線于D,E兩點.(1)求拋物線C的方程;(2)若F在線段上,P是的中點,證明:.18(12分)心形線是由一個圓上的一個定點,當該圓在繞著與其相切且半徑相同的另外一個圓周上滾動時,這個定點的軌跡,因其形狀像心形而得名,在極坐標系中
6、,方程()表示的曲線就是一條心形線,如圖,以極軸所在的直線為軸,極點為坐標原點的直角坐標系中.已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(1)求曲線的極坐標方程;(2)若曲線與相交于、三點,求線段的長.19(12分)如圖是圓的直徑,垂直于圓所在的平面,為圓周上不同于的任意一點(1)求證:平面平面;(2)設(shè)為的中點,為上的動點(不與重合)求二面角的正切值的最小值20(12分)某客戶準備在家中安裝一套凈水系統(tǒng),該系統(tǒng)為二級過濾,使用壽命為十年如圖所示兩個二級過濾器采用并聯(lián)安裝,再與一級過濾器串聯(lián)安裝.其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實現(xiàn)在使用過程中,一級濾芯和二級濾芯都需要不定期更換(每個濾芯是否需要更換相
7、互獨立).若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯,則一級濾芯每個160元,二級濾芯每個80元.若客戶在使用過程中單獨購買濾芯則一級濾芯每個400元,二級濾芯每個200元.現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯的數(shù)量,為此參考了根據(jù)100套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內(nèi)更換濾芯的相關(guān)數(shù)據(jù)制成的圖表,其中表1是根據(jù)100個一級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的頻數(shù)分布表,圖2是根據(jù)200個二級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的條形圖.表1:一級濾芯更換頻數(shù)分布表一級濾芯更換的個數(shù)89頻數(shù)6040圖2:二級濾芯更換頻數(shù)條形圖 以100個一級過濾器更換濾芯的頻率代替1個一級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率,以200個二級過濾器更換濾芯的
8、頻率代替1個二級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率.(1)求一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16的概率;(2)記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的二級濾芯總數(shù),求的分布列及數(shù)學期望;(3)記分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買的一級濾芯和二級濾芯的個數(shù).若,且,以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費用的期望值為決策依據(jù),試確定的值.21(12分)已知,函數(shù),(是自然對數(shù)的底數(shù)).()討論函數(shù)極值點的個數(shù);()若,且命題“,”是假命題,求實數(shù)的取值范圍.22(10分)百年大計,教育為本.某校積極響應(yīng)教育部號召,不斷加大拔尖人才的培養(yǎng)力度,為清華、北大等排名前十的名校輸
9、送更多的人才.該校成立特長班進行專項培訓.據(jù)統(tǒng)計有如下表格.(其中表示通過自主招生獲得降分資格的學生人數(shù),表示被清華、北大等名校錄取的學生人數(shù))年份(屆)2014201520162017201841495557638296108106123(1)通過畫散點圖發(fā)現(xiàn)與之間具有線性相關(guān)關(guān)系,求關(guān)于的線性回歸方程;(保留兩位有效數(shù)字)(2)若已知該校2019年通過自主招生獲得降分資格的學生人數(shù)為61人,預(yù)測2019年高考該校考人名校的人數(shù);(3)若從2014年和2018年考人名校的學生中采用分層抽樣的方式抽取出5個人回校宣傳,在選取的5個人中再選取2人進行演講,求進行演講的兩人是2018年畢業(yè)的人數(shù)的
10、分布列和期望.參考公式:,參考數(shù)據(jù):,參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1A【解析】由求出范圍,結(jié)合正弦函數(shù)的圖象零點特征,建立不等量關(guān)系,即可求解.【詳解】當時,在上有且僅有5個零點,.故選:A.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì),整體代換是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.2A【解析】列舉出金、木、水、火、土任取兩個的所有結(jié)果共10種,其中2類元素相生的結(jié)果有5種,再根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】金、木、水、火、土任取兩類,共有:金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10種結(jié)果,其中兩類元素相生的有
11、火木、火土、木水、水金、金土共5結(jié)果,所以2類元素相生的概率為,故選A.【點睛】本題主要考查古典概型概率公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題,利用古典概型概率公式求概率時,找準基本事件個數(shù)是解題的關(guān)鍵,基本亊件的探求方法有 (1)枚舉法:適合給定的基本事件個數(shù)較少且易一一列舉出的;(2)樹狀圖法:適合于較為復(fù)雜的問題中的基本亊件的探求.在找基本事件個數(shù)時,一定要按順序逐個寫出:先,. ,再,.依次. 這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.3A【解析】根據(jù)題意作出垂線段,表示出所要求得、角,分別表示出其正弦值進行比較大小,從而判斷出角的大小,即可得答案【詳解】由題可得過點作交于點,過作的垂線,垂足為,則易得,設(shè),
12、則有,可得,;,;,綜上可得,故選:【點睛】本題考查空間直線與平面所成的角的大小關(guān)系,考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì),意在考查學生對這些知識的理解掌握水平4B【解析】先解不等式化簡兩個條件,利用集合法判斷充分必要條件即可【詳解】解不等式可得,解絕對值不等式可得,由于為的子集,據(jù)此可知“”是“”的必要不充分條件故選:B【點睛】本題考查了必要不充分條件的判定,考查了學生數(shù)學運算,邏輯推理能力,屬于基礎(chǔ)題.5A【解析】由于,且為單位向量,所以可令,再設(shè)出單位向量的坐標,再將坐標代入中,利用兩點間的距離的幾何意義可求出結(jié)果【詳解】解:設(shè),則,從而,等號可取到故選:A【點睛】此題考查的是平面向量的坐標、模的運
13、算,利用整體代換,再結(jié)合距離公式求解,屬于難題6B【解析】利用古典概型概率計算方法分析出符合題意的基本事件個數(shù),結(jié)合組合數(shù)的計算即可出求得概率.【詳解】20個年份中天干相同的有10組(每組2個),地支相同的年份有8組(每組2個),從這20個年份中任取2個年份,則這2個年份的天干或地支相同的概率.故選:B.【點睛】本小題主要考查古典概型的計算,考查組合數(shù)的計算,考查學生分析問題的能力,難度較易.7D【解析】對于A根據(jù)命題的否定可得:“x0R,x02-x00”的否定是“xR,x2-x0”,即可判斷出;對于B若向量滿足,則與的夾角為鈍角或平角;對于C當m=0時,滿足am2bm2,但是ab不一定成立;
14、對于D根據(jù)元素與集合的關(guān)系即可做出判斷【詳解】選項A根據(jù)命題的否定可得:“x0R,x02-x00”的否定是“xR,x2-x0”,因此A不正確;選項B若向量滿足,則與的夾角為鈍角或平角,因此不正確.選項C當m=0時,滿足am2bm2,但是ab不一定成立,因此不正確;選項D若“”,則且,所以一定可以推出“”,因此“”是“”的必要條件,故正確.故選:D.【點睛】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,涉及知識點有含有量詞的命題的否定、不等式性質(zhì)、向量夾角與性質(zhì)、集合性質(zhì)等,屬于簡單題.8C【解析】結(jié)合正弦定理、三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,求得邊長,由此求得邊上的高.【詳解】過作,交的延長線于.由于,
15、所以為鈍角,且,所以.在三角形中,由正弦定理得,即,所以.在中有,即邊上的高為.故選:C【點睛】本小題主要考查正弦定理解三角形,考查三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,屬于中檔題.9B【解析】計算的和,然后除以,得到“5階幻方”的幻和.【詳解】依題意“5階幻方”的幻和為,故選B.【點睛】本小題主要考查合情推理與演繹推理,考查等差數(shù)列前項和公式,屬于基礎(chǔ)題.10B【解析】計算出的值,推導出,再由,結(jié)合數(shù)列的周期性可求得數(shù)列的前項和.【詳解】由題意可知,則對任意的,則,由,得,因此,.故選:B.【點睛】本題考查數(shù)列求和,考查了數(shù)列的新定義,推導出數(shù)列的周期性是解答的關(guān)鍵,考查推理能力與計算能力,
16、屬于中等題.11D【解析】三個單位的人數(shù)可能為2,2,1或3,1,1,求出甲、乙兩人在同一個單位的概率,利用互為對立事件的概率和為1即可解決.【詳解】由題意,三個單位的人數(shù)可能為2,2,1或3,1,1;基本事件總數(shù)有種,若為第一種情況,且甲、乙兩人在同一個單位,共有種情況;若為第二種情況,且甲、乙兩人在同一個單位,共有種,故甲、乙兩人在同一個單位的概率為,故甲、乙兩人不在同一個單位的概率為.故選:D.【點睛】本題考查古典概型的概率公式的計算,涉及到排列與組合的應(yīng)用,在正面情況較多時,可以先求其對立事件,即甲、乙兩人在同一個單位的概率,本題有一定難度.12A【解析】根據(jù)分段函數(shù)的定義得,則,再根
17、據(jù)基本不等式構(gòu)造出相應(yīng)的所需的形式,可求得函數(shù)的最小值.【詳解】依題意得,則,(當且僅當,即時“”成立.此時,,的最小值為,故選:A.【點睛】本題考查求分段函數(shù)的最值,關(guān)鍵在于根據(jù)分段函數(shù)的定義得出,再由基本不等式求得最值,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13【解析】根據(jù)題意,由函數(shù)的解析式求出的值,進而計算可得答案【詳解】根據(jù)題意,函數(shù),則,則;故答案為:.【點睛】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)、對數(shù)運算法則的應(yīng)用,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查運算求解能力14【解析】由題意,則,得由題意可設(shè)的方程為,聯(lián)立方程組,消去得,恒成立,則,點到直線的距離為,則,又,則
18、,當且僅當即時取等號故面積的取值范圍是.153【解析】過點Q作直線平行于y=x+1,則M在兩條平行線的中間直線上,當直線相切時距離最小,計算得到答案.【詳解】如圖所示:過點Q作直線平行于y=x+1,則M在兩條平行線的中間直線上,y=x2,則y=2x=1,x=1點M為線段PQ的中點,故M在直線y=x+38時距離最小,故故答案為:32【點睛】本題考查了拋物線中距離的最值問題,轉(zhuǎn)化為切線問題是解題的關(guān)鍵.16【解析】觀察知各等式右邊各項的系數(shù)和為1,最高次項的系數(shù)為該項次數(shù)的倒數(shù),據(jù)此計算得到答案.【詳解】根據(jù)所給的已知等式得到:各等式右邊各項的系數(shù)和為1,最高次項的系數(shù)為該項次數(shù)的倒數(shù),A,A1,
19、解得B,所以AB故答案為:【點睛】本題考查了歸納推理,意在考查學生的推理能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17(1);(2)見解析【解析】(1)根據(jù)拋物線的焦點在直線上,可求得的值,從而求得拋物線的方程;(2)法一:設(shè)直線,的方程分別為和且,可得,的坐標,進而可得直線的方程,根據(jù)在直線上,可得,再分別求得,即可得證;法二:設(shè),則,根據(jù)直線的斜率不為0,設(shè)出直線的方程為,聯(lián)立直線和拋物線的方程,結(jié)合韋達定理,分別求出,化簡,即可得證.【詳解】(1)拋物線C的焦點坐標為,且該點在直線上,所以,解得,故所求拋物線C的方程為(2)法一:由點F在線段上,可設(shè)直線,的方程
20、分別為和且,則,.直線的方程為,即.又點在線段上,.P是的中點,.由于,不重合,所以法二:設(shè),則當直線的斜率為0時,不符合題意,故可設(shè)直線的方程為聯(lián)立直線和拋物線的方程,得又,為該方程兩根,所以,.,由于,不重合,所以【點睛】本題考查拋物線的標準方程,考查拋物線的定義,考查直線與拋物線的位置關(guān)系,屬于中檔題18(1)();(2).【解析】(1)化簡得到直線方程為,再利用極坐標公式計算得到答案.(2)聯(lián)立方程計算得到,計算得到答案 .【詳解】(1)由消得,即,是過原點且傾斜角為的直線,的極坐標方程為().(2)由得,由得,.【點睛】本題考查了參數(shù)方程,極坐標方程,意在考查學生的計算能力和應(yīng)用能力
21、.19(1)見解析(2)【解析】(1)推導出,從而平面,由面面垂直的判定定理即可得證(2)過作,以為坐標原點,建立如圖所示空間坐標系,設(shè),利用空間向量法表示出二面角的余弦值,當余弦值取得最大時,正切值求得最小值;【詳解】(1)因為,面,平面,平面,平面,又平面,平面平面;(2)過作,以為坐標原點,建立如圖所示空間坐標系,則,設(shè),則平面的一個法向量為設(shè)平面的一個法向量為則,即,令,如圖二面角的平面角為銳角,設(shè)二面角為,則,時取得最大值,最大值為,則最小值為【點睛】本題考查面面垂直的證明,利用空間向量法解決立體幾何問題,屬于中檔題.20(1)0.024;(2)分布列見解析,;(3)【解析】(1)由
22、題意可知,若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16,則該套凈水系統(tǒng)中一個一級過濾器需要更換8個濾芯,兩個二級過濾器均需要更換4個濾芯,而由一級濾芯更換頻數(shù)分布表和二級濾芯更換頻數(shù)條形圖可知,一級過濾器需要更換8個濾芯的概率為0.6,二級過濾器需要更換4個濾芯的概率為0.2,再由乘法原理可求出概率;(2)由二級濾芯更換頻數(shù)條形圖可知,一個二級過濾器需要更換濾芯的個數(shù)為4,5,6的概率分別為0.2,0.4,0.4,而的可能取值為8,9,10,11,12,然后求出概率,可得到的分布列及數(shù)學期望;(3)由,且,可知若,則,或若,則,再分別計算兩種情況下的所需總費用的期望值比較大小即可
23、.【詳解】(1)由題意知,若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16,則該套凈水系統(tǒng)中一個一級過濾器需要更換8個濾芯,兩個二級過濾器均需要更換4個濾芯,設(shè)“一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16”為事件,因為一個一級過濾器需要更換8個濾芯的概率為0.6,二級過濾器需要更換4個濾芯的概率為0.2,所以.(2)由柱狀圖知,一個二級過濾器需要更換濾芯的個數(shù)為4,5,6的概率分別為0.2,0.4,0.4,由題意的可能取值為8,9,10,11,12,從而,.所以的分布列為891011120.040.160.320.320.16(個).或用分數(shù)表示也可以為89101112(個).(3)解法一:記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費用(單位:元)因為,且,1若,則,(元);2若,則,(元).因為,故選擇方案:.解法二:記分別表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買一級濾芯和二級濾芯所需費用(單位:元)1若,則,的分布列為128016800.60.488010800.840.16該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買的各級濾芯所需總費用為(元);2若,則,的分布列為800100012000.520.320.16(元).因為所以選擇方案:.【點睛】此題考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的求法及
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