常微分方程學(xué)習(xí)活動(dòng)6第三章一階線性方程組第四章n階線性方程綜合練習(xí)WORD版

1、常微分方程學(xué)習(xí)活動(dòng)6第三章一階線性方程組、第四章n階線性方程綜合練習(xí)WORD版常微分方程學(xué)習(xí)活動(dòng)6第三章一階線性方程組、第四章n階線性方程綜合練習(xí)WORD版常微分方程學(xué)習(xí)活動(dòng)6第三章一階線性方程組、第四章n階線性方程綜合練習(xí)WORD版常微分方程學(xué)習(xí)活動(dòng)6第三章一階線性方程組、第四章n階線性方程的綜合練習(xí)本程形成性核查合共3次，內(nèi)容主要分是第一章初平分法的合、二章基本定理的合、第三章和第四章的合，目的是通合性作，可以自己的學(xué)成就，找出掌握的單薄知點(diǎn)，要點(diǎn)復(fù)，爭(zhēng)取趕快掌握第同學(xué)要求：第一起學(xué)下作附件文檔并行填寫，文檔填寫達(dá)成后在本次作面中點(diǎn)“去達(dá)成”按入相網(wǎng)界面達(dá)成任，此后將所做完的作文檔以附件的

2、形式上到程上，隨后老會(huì)在程中行分。一、填空1若A(x)在(-,+)上，那么性次方程dYA(x)Y，YRn的任一非零dx解在Rn1空不可以與x訂交2方程dYF(x,Y),xR,YRn的任何一個(gè)解的象是n+1空dx中的一條分曲3向量函數(shù)Y1(x),Y2(x),Yn(x)性有關(guān)的必需條件是它的朗斯期隊(duì)列式W(x)=04性次微分方程dYA(x)Y,xR,YRn，的一個(gè)基本解的個(gè)數(shù)不可以多dx于n+1個(gè)51(x)，2(x)在區(qū)(a,b)上性有關(guān)，它的朗斯基隊(duì)列式W(x)在區(qū)若函數(shù)(a,b)上恒等于函數(shù)y1sinx的朗斯基隊(duì)列式W(x)是W(x)sinxcosx6y2cosxcosxsinx7二方程yxy

3、x2y0的等價(jià)方程是yy1y1xy1x2y8若y1(x)和y2(x)是二性次方程的基本解，它沒有共同零點(diǎn)9二性次微分方程的兩個(gè)解y1(x),y2(x)成其基本解的充要條件是性沒關(guān)10n性次微分方程性沒關(guān)解的個(gè)數(shù)最多n個(gè)11在方程y+(x)yp+q(x)y=0中，p(x),q(x)在(-,+)上，它的任一非零解在xOy平面上可以與x橫截訂交12二階線性方程y2yy0的基本解組是ex,xex13線性方程yy0的基本解組是cosx,sinx14方程yxyx2y0的全部解組成一個(gè)2維線性空間15n階線性齊次微分方程的全部解組成一個(gè)n維線性空間二、計(jì)算題1將以下方程式化為一階方程組（1）xf(x)xg(

4、x)0（2）ya1(x)ya2(x)ya3(x)y0dyy1dxdxydy11）解dt，（2）解y2dydxg(x)f(x)ydy2dta1(x)y2a2(x)y1a3(x)y0dx2求解以下方程組：dx4xdxy5yx（1）dt（2）dtdy5xdyy4yxdtdt（1）解54方程組的系數(shù)陣為A特點(diǎn)方程為：45det(A-54=(1)(9)0，E)=54其特點(diǎn)根為11,29.當(dāng)1y1ta1時(shí),ez1b，此中a,b知足a44a(A-E)=4=0,b4b則有a+b=0取a=1,b=y1t11,則得一特解ez11同理,當(dāng)2y29t19時(shí)，ez21y(t)ete9t因此方程組的解為C1C2z(t)e

5、te9t（2）解方程組的系數(shù)陣為A.特點(diǎn)方程為:det(A-E)=()220特點(diǎn)根為i.當(dāng)1ix1eia此中a,b知足時(shí),by1(A-a=ia=0,E)ibbaib0即bai.故有bi0a取a1,bi，于是方程組對(duì)應(yīng)于x1*ei1=etcostisinty1*isinticost故特點(diǎn)根i所對(duì)應(yīng)的實(shí)解為x1=etcost,x2tsinty1sin=ecostty2因此方程組的解為x(t)tcostsintC1=esintcostC2y(t)3求解以下方程組：xxy1）y3y2xx2xyz（2）yx2yzzxy2z11（1）解方程組的系數(shù)陣為A.23特點(diǎn)方程為:det(A-E)=特點(diǎn)根為12i,

6、21124502=32i當(dāng)12i時(shí),x1(2i)ta1i1ay1eb此中a,b知足(i=0,11b(1i)ab0即a(1i)b0第一個(gè)方程x(1i)有2a(1i)b0令a1，則b1i于是由x(t)e2t(costisint)1y(t)1i解得通解x(t)2tcostsintC1y(t)=ecostsintcostsint.C2211（2）解系數(shù)陣為A121112211特點(diǎn)方程為:det(A-E)=121=(1)(2)(3)0.112特點(diǎn)根為11,22,33.x(t)0e2te3tc1通解解為y(t)ete2t0c2.z(t)ete2te3tc34求解以下方程組：dx3xyxyt（1）dt2e（

7、2）xt2dyy3ydt（1）解31方程組的系數(shù)陣為A3，其特點(diǎn)方程為：0det(A-E)=31=(3)20.03特點(diǎn)根為123,方程組有以下形式的解:x(r11r12t)e3ty(r21r22t)e3t3(r11r12t)e3tr12e3t3(r11r12t)e3t(r21r22t)e3t代入原方程組有r22t)e3tr22e3tr22t)e3t3(r213(r21消去e3t得r12r21r22tr220令r12r211r110,則xte3tye3t令r12r210r111,則xe3ty0因此方程組的解為x(t)C1te3tC2e3ty(t)e3t0（2）解第一求出相應(yīng)齊次線性方程組的通解.

8、對(duì)應(yīng)齊次方程的系數(shù)陣為A011.0其特點(diǎn)方程為：det(A-E)=1=(1)(1)0.1特點(diǎn)根為11,21當(dāng)11時(shí)，x1eta，此中a,b知足(A-E)a=111a=0,則有ab=0y1bb1b取a=b=1,則得一特解x1et1y11同理,當(dāng)2x2et11時(shí)，1y2因此對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的通解為x(t)etc2ety(t)c1eett此后運(yùn)用常數(shù)變易法計(jì)算原方程組的一個(gè)特解.x(t)c1(t)etc2(t)etc1(t)1t2et2將c1(t)et代入原方程組，得t2et2y(t)c2(t)ec2(t)e2tc1(t)t1t2ettetet解得2.1e2tc2(t)ett22(tetet)2原

9、方程組的特解為x(t)etey(t)etetc1(t)etett1t2ettetet2tc2(t)etet12tt2tt2eet2(tee)tett21et22.1ettet2t2x(t)ete因此原方程組的通解為etey(t)tc1tett21et2t2.c2tet1et2t25已知方程(1lnx)y1y12y0的一個(gè)解y1lnx，求其通解xx解由通解公式y(tǒng)c*y1cy112ep(x)dxdx，y1lnx,p(x)1，y1x(1lnx)p(x)dx12e1dxyc*y1y1c*cy1dxcx(1lnx)dx12ey1(lnx)y1c*lnx1y1(c1c2xc1lnxc2xc2dx)(lnx

10、)lnx6試求以下n階常系數(shù)線性齊次方程的通解（1）y9y20y0（2）y(4)y0（1）解特點(diǎn)方程為:29200特點(diǎn)根為:14,25。它們對(duì)應(yīng)的解為:e4x,e5x方程通解為:yc1e4xc2e5x.（2）解特點(diǎn)方程為:410特點(diǎn)根為:22i,221,2223,42i22x22x2x,e2xcos2x,e2xsin2x它們對(duì)應(yīng)的解為:e2cosx,e2sin2222222x2x2x)2x2x2x).方程通解為:ye2(c1cosc2sine2(c3cosc4sin22227試求下述各方程知足給定的初始條件的解：（1）y4y4y0，y(2)4，y(2)0（2）yy0，y(0)2，y(0)5（1

11、）解特點(diǎn)方程為:2440.特點(diǎn)根為:1,22，方程通解為:ye2x(c1c2x)由初始條件有:2c13c20c112e4c12c24e4,解得c28e4.因此方程的初值解為:ye2x(12e48e4x).（2）解特點(diǎn)方程為20.:特點(diǎn)根為:10,21，方程通解為:yc1c2ex由初始條件有:c1c22c17.c2,解得c255因此方程的初值解為:y75ex.8求以下n階常系數(shù)線性非齊次方程的通解：（1）y8y7y327x8x（2）y2y10yxcos2x（1）解因?yàn)?870，11,27，故齊次方程的通解為yc1exc2e7x.因?yàn)?不是特點(diǎn)根，故已知方程有形如y1Ax2BxC的特解.將它代入原

12、方程，得,A3,B971126，7,C49343所求通解為ycexce7x3x297x1126.12749343（2）解因?yàn)?2100,112i,212i，yex(c1cos2xc2sin2x).因?yàn)閕2i不是特點(diǎn)根，故已知方程有形如y1(A1xB1)cos2x(A2xB1)sin2x的特解將上式代入原方程，可得A13,B129,A21,B21，2633813169所求通解為yex(c1cos2xc2sin2x)(3x29)cos2x(1x1)sin2x.2633813169三、證明題1設(shè)nn矩陣函數(shù)A1(t)，A2(t)在（a,b）上連續(xù)，試證明，若方程組dXA1(t)X與dXdtA2(t)

13、X有同樣的基本解組，則A1(t)A2(t)dt證明設(shè)X(t)為基本解矩陣,因?yàn)榛窘饩仃囀强赡娴?X1(t)dX(t)A1(t)故有dt1(t)dX(t)XA(t)dt2于是A1(t)A2(t).2設(shè)在方程yp(x)yq(x)y0中，p(x)在區(qū)間I上連續(xù)且恒不為零，試證它的隨意兩個(gè)線性沒關(guān)解的朗斯基隊(duì)列式是在區(qū)間I上嚴(yán)格單一函數(shù)證明設(shè)w(x)是方程的隨意兩個(gè)線性沒關(guān)解的朗斯基隊(duì)列式，則xI,w(x)且0，xp(t)dtxx0I,有w(x)=w(x0)ex0，w(x)xp(x)w(x0)e0p(t)dt.又因?yàn)閜(x)在區(qū)間I上連續(xù)且恒不為零,進(jìn)而對(duì)xI,p(x)0或p(x)0,因此,w(x)在I上恒正或恒負(fù),即w(x)為嚴(yán)格單一函數(shù).3試證明：二階線性齊次方程的隨意兩個(gè)線性沒關(guān)解組的朗斯基隊(duì)列式之比是一個(gè)不為零的常數(shù)證明設(shè)兩個(gè)線性的解組的朗斯基隊(duì)列式分別為xp(t)dtxp(t)dtw1(x)w1(x0)ex0，w2(x)w2(x0)ex0，且w1(x0)0,w2(x0)0，因此有w1(x)w1(x0)0.w2(x)w2(x0)四、應(yīng)用題1一質(zhì)量為m的質(zhì)