妙用多項(xiàng)式除法求解導(dǎo)數(shù)與解幾壓軸試題

1、PAGE 7 -妙用多項(xiàng)式除法求解導(dǎo)數(shù)與解幾壓軸試題蘇藝偉陳藝平摘要：巧妙借助多項(xiàng)式除法解決導(dǎo)數(shù)與解幾壓軸試題，往往能夠化繁為簡，化抽象為具體，實(shí)現(xiàn)解題的最優(yōu)化.關(guān)鍵詞：多項(xiàng)式除法;導(dǎo)數(shù)與解幾;最優(yōu)化中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）10-0039-05多項(xiàng)式除法定理設(shè)fx，gx是兩個(gè)多項(xiàng)式，且gx0，則恰有兩多項(xiàng)式qx及rx使得fx=qxg（x）+r（x）成立，其中r（x）=0或degrx通俗地說，多項(xiàng)式除法是代數(shù)中的一種運(yùn)算，用一個(gè)多項(xiàng)式去除以另一個(gè)多項(xiàng)式，從而將一個(gè)相對(duì)復(fù)雜的除法問題分解成更小的一些問題.借助多項(xiàng)式除法定理可以解決導(dǎo)數(shù)與解幾壓軸試題

2、中一些較難的多項(xiàng)式分解問題，從而突破難點(diǎn)，化繁為簡，化抽象為具體，實(shí)現(xiàn)解題的高效.例1（2022年全國卷理科第21題）已知函數(shù)fx=ex+ax2-x.（1）當(dāng)a=1時(shí)，討論fx的單調(diào)性（略）.（2）當(dāng)x0時(shí)，fx12x3+1，求a的取值范圍.解析由已知可得ax212x3+1+x-ex.當(dāng)x=0時(shí)，aR.當(dāng)x0時(shí)，a12x3+x+1-exx2.令gx=12x3+x+1-exx2，x0，只需agxmax.gx=12x3-x-2-x-2exx3=x-212x2+x+1-x-2exx3=2-xex-12x2+x+1x3.記hx=ex-12x2-x-1，x0，則hx=ex-x-1，hx=ex-10，所以

3、hx在0，+上單調(diào)遞增.所以hxh0=0.故hx在0，+上單調(diào)遞增.所以hxh0=0.所以ex-12x2-x-10.令gx=0，得x=2.所以gx在0，2上單調(diào)遞增，在2，+上單調(diào)遞減.所以gxmax=7-e24.此時(shí)有a7-e24.綜上，a7-e24.簡析對(duì)于多項(xiàng)式12x3-x-2，經(jīng)檢驗(yàn)可知x=2是方程12x3-x-2=0的一個(gè)實(shí)根，借助多項(xiàng)式除法得到另外一個(gè)因式12x2+x+1，通過驗(yàn)根和多項(xiàng)式除法，順利將gx進(jìn)行化簡，從而突破難點(diǎn).例2（2022年天津卷理科第20題）已知函數(shù)fx=x3+klnx（kR），fx為fx的導(dǎo)函數(shù).當(dāng)k=6時(shí)，求函數(shù)gx=fx-fx+9x的單調(diào)區(qū)間和極值.解析

4、gx=x3+6lnx-3x2+3x，gx=3x2x4-2x3+2x-1=3x2x+1x3-3x2+3x-1=3x2x+1x-13.所以gx在0，1上單調(diào)遞減，在1，+上單調(diào)遞增.所以g（x）有極小值g1=1，無極大值.簡析對(duì)于多項(xiàng)式x4-2x3+2x-1，經(jīng)檢驗(yàn)可知x=-1是方程x4-2x3+2x-1=0的一個(gè)實(shí)根，借助多項(xiàng)式除法得到另外一個(gè)因式x3-3x2+3x-1.通過驗(yàn)根和多項(xiàng)式除法，順利將gx進(jìn)行化簡，從而突破難點(diǎn).例3（2022年江蘇卷理科第19題）已知關(guān)于x的函數(shù)y=fx，y=gx與hx=kx+b（k，bR）在區(qū)間D上恒有fxhxgx.若fx=x4-2x2，gx=4x2-8，hx=

5、4t3-tx-3t4+2t2，D=m，n-2，2，0證明由已知可得x4-2x2-4t3-tx+3t4-2t20，4x2-4t3-tx+3t4-2t2-80.先考慮第個(gè)不等式，轉(zhuǎn)化成x-t2x2+2tx+3t2-20.即x2+2tx+3t2-20對(duì)任意xm，n-2，2，0=81-t2.若00，則n-m2+tb0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.F2也是拋物線E：y2=2px（p0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)A為C與E的一個(gè)交點(diǎn)，且直線AF1的傾斜角為45，求C的離心率.解析聯(lián)立直線和橢圓方程求出點(diǎn)A坐標(biāo)，然后代入拋物線方程.由y=x+c，x2a2+y2b2=1，得b2+a2x2+2a2cx+a2c2-a2b2=0.

6、所以=8a2a2-c22.由求根公式有x=-2a2c+22aa2-c22b2+a2=2a3-a2c-2ac22a2-c2.故A2a3-a2c-2ac22a2-c2，2a3+a2c-2ac2-c32a2-c2.將點(diǎn)A坐標(biāo)代入拋物線方程y2=4cx，得2a3+a2c-2ac2-c32a2-c22=4c2a3-a2c-2ac22a2-c2.化簡，得2a3+a2c-2ac2-c32=4c2a3-a2c-2ac22a2-c2.即2a6+22a5c-3a4c2-42a3c3+22ac5+c6=82a5c-8a4c2-122a3c3+4a2c4+42ac5.得2a6-62a5c+5a4c2+82a3c3-4

7、a2c4-22ac5+c6=0.兩邊同時(shí)除以a6，得e6-22e5-4e4+82e3+5e2-62e+2=0.即e+22e4-42e3+10e2-42e+1=0.則e4-42e3+10e2-42e+1=0.兩邊再同時(shí)除以e2，得e-222+1e-222=6.結(jié)合0簡析該解法通過聯(lián)立直線和橢圓方程求出點(diǎn)A坐標(biāo)，然后代入拋物線方程，從而求出離心率.將點(diǎn)A坐標(biāo)代入拋物線方程y2=4px，整理得到關(guān)于a與c的齊次式，然后兩邊同時(shí)除以a6得到e的方程.由于這個(gè)關(guān)于e的方程（即式）是一個(gè)關(guān)于e的六次方程.對(duì)于這樣一個(gè)六次方程的求解在高中階段更是顯得十分困難.為了順利求出離心率，通過觀察嘗試，運(yùn)用合情推理，

8、首先猜測該方程有一個(gè)根-2，代入式檢驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)是成立的，因此不難得到式有一個(gè)因式為e+22（注意不是e+2，因?yàn)樽罡叽雾?xiàng)是6）.當(dāng)確定有一個(gè)因式為e+22，運(yùn)用多項(xiàng)式除法得到另外一個(gè)因式e4-42e3+10e2-42e+1，從而將式轉(zhuǎn)化成為式，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成式，最后得到式.事實(shí)上，還可以鼓勵(lì)有能力的學(xué)生，進(jìn)一步思考，將式進(jìn)一步分解成為e+22e-2+12e-2-12=0，從而求出離心率.例6已知雙曲線x2a2-y2b2=1的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，漸近線y=bax上一點(diǎn)N滿足ON=c（點(diǎn)N在第一象限內(nèi)），直線NF1與雙曲線的另一條漸近線y=-bax相交于點(diǎn)M，且FM=3a，求雙曲線的離心率e.解析由

9、已知可得Na，b，F(xiàn)1-c，0，kNF1=ba+c.所以直線NF1方程為y=ba+cx+c.由y=ba+cx+c，y=-bax，得M-ac2a+c，bc2a+c.所以ac+c222a+c2+b2c22a+c2=3a.故2c4+2c3a=12a4+12a3c+3a2c2.即2e4+2e3-3e2-12e-12=0.即e-22e3+6e2+9e+6=0.故e=2.簡析觀察到方程2e4+2e3-3e2-12e-12=0，有一個(gè)實(shí)根e=2，借助多項(xiàng)式除法得到另外一個(gè)因式2e3+6e2+9e+6，從而求出離心率.例7過橢圓C：x29+y2b2=1（0解析設(shè)直線AM方程為y=kx+b，代入b2x2+9y2

10、=9b2，得9k2+b2x2+18kbx=0.故xM=-18kbb2+9k2.用-1k代替k，得xN=18kbb2k2+9.所以AM=1+k218kbb2+9k2，AN=1+1k218kbb2k2+9.令A(yù)M=AN，得1+k218kbb2+9k2=1+1k218kbb2k2+9.設(shè)k0且k1，則b2k3-9k2+9k-b2=0.即k-1b2k2+b2-9k+b2=0.方程b2k2+b2-9k+b2=0有大于0且不等于1的正實(shí)根.故0且b2+b2-9+b20，0解得0簡析觀察到方程b2k3-9k2+9k-b2=0，有一個(gè)實(shí)根k=1，借助多項(xiàng)式除法得到另外一個(gè)因式b2k2+b2-9k+b2，從而求

11、出實(shí)數(shù)b的取值范圍.不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)于此類導(dǎo)數(shù)與解幾壓軸試題中的多項(xiàng)式化簡問題，在難以直接因式分解的前提下，可以采用先驗(yàn)根，得到一個(gè)因式，再借助多項(xiàng)式除法得到另外一個(gè)因式，從而將多項(xiàng)式分解成若干項(xiàng)之積，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成簡單的問題，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，培育數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，可謂大道至簡，柳暗花明又一村.練習(xí)當(dāng)x0時(shí)，ex-ax316x4+12x2+x+1恒成立，求a的取值范圍.解析由已知，得aex-16x4-12x2-x-1x3.令g（x）=ex-16x4-12x2-x-1x3，只需agxmin.故gx=x-3ex-16x4-12x2-2x-3x4.又16x4-12x2-2x-3=x-316x3+12x2+x+1，所以g（x）=（x-3）（ex-16x3-12x2-x-1）x4.又當(dāng)x0時(shí)，exx+1，所以x0exdxx0 x+1dx.即ex1+x+12x2.所以x0exdxx0（1+x+12x2）d