2022年北京市東城第50中高三二診模擬考試數(shù)學試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項：1答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1設等比數(shù)列的前項和為，則“”是“”的（ ）A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要2一場考試需要2小時，在這場考試中鐘表的時針轉過的弧度數(shù)為（ ）ABCD3設函數(shù)的導函數(shù)，且

2、滿足，若在中，則（ ）ABCD4數(shù)列an，滿足對任意的nN+，均有an+an+1+an+2為定值.若a7=2，a9=3，a98=4，則數(shù)列an的前100項的和S100=( )A132B299C68D995雙曲線：（），左焦點到漸近線的距離為2，則雙曲線的漸近線方程為（ ）ABCD6已知函數(shù)f（x）ebxexb+c（b，c均為常數(shù)）的圖象關于點（2，1）對稱，則f（5）+f（1）（ ）A2B1C2D47已知復數(shù)，則（ ）ABCD28下列幾何體的三視圖中，恰好有兩個視圖相同的幾何體是（ ）A正方體B球體C圓錐D長寬高互不相等的長方體9復數(shù)的模為（ ）AB1C2D10已知函數(shù)是偶函數(shù)，當時，函數(shù)單調

3、遞減，設，則的大小關系為（）ABCD11已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則的取值范圍為（ ）ABCD12某公園新購進盆錦紫蘇、盆虞美人、盆郁金香，盆盆栽，現(xiàn)將這盆盆栽擺成一排，要求郁金香不在兩邊，任兩盆錦紫蘇不相鄰的擺法共（ ）種ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13在三棱錐中，三條側棱兩兩垂直，則三棱錐外接球的表面積的最小值為_.14過點，且圓心在直線上的圓的半徑為_15的展開式中二項式系數(shù)最大的項的系數(shù)為_（用數(shù)字作答）.16袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為_三、解答

4、題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知，.（1）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；（2）的三個內角、所對邊分別為、，若且，求面積的取值范圍.18（12分）如圖1，已知四邊形BCDE為直角梯形，且，A為BE的中點將沿AD折到位置如圖，連結PC，PB構成一個四棱錐（）求證；（）若平面求二面角的大??；在棱PC上存在點M，滿足，使得直線AM與平面PBC所成的角為，求的值19（12分）某商場為改進服務質量，在進場購物的顧客中隨機抽取了人進行問卷調查調查后，就顧客“購物體驗”的滿意度統(tǒng)計如下：滿意不滿意男女是否有的把握認為顧客購物體驗的滿意度與性別有關？若在購物體驗滿意的問卷顧客中按

5、照性別分層抽取了人發(fā)放價值元的購物券若在獲得了元購物券的人中隨機抽取人贈其紀念品，求獲得紀念品的人中僅有人是女顧客的概率附表及公式：20（12分）已知集合，將的所有子集任意排列，得到一個有序集合組，其中.記集合中元素的個數(shù)為，規(guī)定空集中元素的個數(shù)為.當時，求的值；利用數(shù)學歸納法證明：不論為何值，總存在有序集合組，滿足任意，都有.21（12分）已知關于的不等式解集為（）.（1）求正數(shù)的值；（2）設，且，求證：.22（10分）近年來，隨著“霧霾”天出現(xiàn)的越來越頻繁，很多人為了自己的健康，外出時選擇戴口罩，在一項對人們霧霾天外出時是否戴口罩的調查中，共調查了人，其中女性人，男性人，并根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)畫出

6、等高條形圖如圖所示：（1）利用圖形判斷性別與霧霾天外出戴口罩是否有關系并說明理由；（2）根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)建立一個列聯(lián)表；（3）能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為性別與霧霾天外出戴口罩的關系.附：參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1A【解析】首先根據(jù)等比數(shù)列分別求出滿足，的基本量，根據(jù)基本量的范圍即可確定答案.【詳解】為等比數(shù)列，若成立，有，因為恒成立，故可以推出且，若成立，當時，有，當時，有，因為恒成立，所以有，故可以推出，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列基本量的求解，充分必要條件

7、的集合關系，屬于基礎題.2B【解析】因為時針經(jīng)過2小時相當于轉了一圈的，且按順時針轉所形成的角為負角，綜合以上即可得到本題答案.【詳解】因為時針旋轉一周為12小時，轉過的角度為，按順時針轉所形成的角為負角，所以經(jīng)過2小時，時針所轉過的弧度數(shù)為.故選：B【點睛】本題主要考查正負角的定義以及弧度制，屬于基礎題.3D【解析】根據(jù)的結構形式，設，求導，則，在上是增函數(shù)，再根據(jù)在中，得到，利用余弦函數(shù)的單調性，得到，再利用的單調性求解.【詳解】設，所以 ，因為當時，即，所以，在上是增函數(shù)，在中，因為，所以，因為，且，所以，即，所以，即故選：D【點睛】本題主要考查導數(shù)與函數(shù)的單調性，還考查了運算求解的能力

8、，屬于中檔題.4B【解析】由為定值，可得，則是以3為周期的數(shù)列，求出，即求.【詳解】對任意的，均有為定值，故，是以3為周期的數(shù)列，故，.故選：.【點睛】本題考查周期數(shù)列求和，屬于中檔題.5B【解析】首先求得雙曲線的一條漸近線方程，再利用左焦點到漸近線的距離為2，列方程即可求出，進而求出漸近線的方程.【詳解】設左焦點為，一條漸近線的方程為，由左焦點到漸近線的距離為2，可得，所以漸近線方程為，即為,故選：B【點睛】本題考查雙曲線的漸近線的方程，考查了點到直線的距離公式，屬于中檔題.6C【解析】根據(jù)對稱性即可求出答案【詳解】解：點（5，f（5）與點（1，f（1）滿足（51）22，故它們關于點（2，1

9、）對稱，所以f（5）+f（1）2，故選：C【點睛】本題主要考查函數(shù)的對稱性的應用，屬于中檔題7C【解析】根據(jù)復數(shù)模的性質即可求解.【詳解】,故選：C【點睛】本題主要考查了復數(shù)模的性質，屬于容易題.8C【解析】根據(jù)基本幾何體的三視圖確定【詳解】正方體的三個三視圖都是相等的正方形，球的三個三視圖都是相等的圓，圓錐的三個三視圖有一個是圓，另外兩個是全等的等腰三角形，長寬高互不相等的長方體的三視圖是三個兩兩不全等的矩形故選：C【點睛】本題考查基本幾何體的三視圖，掌握基本幾何體的三視圖是解題關鍵9D【解析】利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復數(shù)模的計算公式求解【詳解】解：，復數(shù)的模為故選：D【點睛】本

10、題主要考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)模的求法，屬于基礎題10A【解析】根據(jù)圖象關于軸對稱可知關于對稱，從而得到在上單調遞增且；再根據(jù)自變量的大小關系得到函數(shù)值的大小關系.【詳解】為偶函數(shù) 圖象關于軸對稱圖象關于對稱時，單調遞減 時，單調遞增又且 ，即本題正確選項：【點睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性、對稱性和單調性比較函數(shù)值的大小關系問題，關鍵是能夠通過奇偶性和對稱性得到函數(shù)的單調性，通過自變量的大小關系求得結果.11D【解析】先根據(jù)已知條件求解出的通項公式，然后根據(jù)的單調性以及得到滿足的不等關系，由此求解出的取值范圍.【詳解】由已知得，則.因為，數(shù)列是單調遞增數(shù)列，所以，則，化簡得，所以.故

11、選：D.【點睛】本題考查數(shù)列通項公式求解以及根據(jù)數(shù)列單調性求解參數(shù)范圍，難度一般.已知數(shù)列單調性，可根據(jù)之間的大小關系分析問題.12B【解析】間接法求解，兩盆錦紫蘇不相鄰，被另3盆隔開有，扣除郁金香在兩邊有，即可求出結論.【詳解】使用插空法，先排盆虞美人、盆郁金香有種，然后將盆錦紫蘇放入到4個位置中有種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理有，扣除郁金香在兩邊，排盆虞美人、盆郁金香有種，再將盆錦紫蘇放入到3個位置中有，根據(jù)分步計數(shù)原理有，所以共有種.故選:B.【點睛】本題考查排列應用問題、分步乘法計數(shù)原理，不相鄰問題插空法是解題的關鍵，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】設

12、，可表示出，由三棱錐性質得這三條棱長的平方和等于外接球直徑的平方，從而半徑的最小值，得外接球表面積【詳解】設則，由兩兩垂直知三棱錐的三條棱的棱長的平方和等于其外接球的直徑的平方記外接球半徑為，當時，故答案為：【點睛】本題考查三棱錐外接球表面積，解題關鍵是掌握三棱錐的性質：三條側棱兩兩垂直的三棱錐的外接球的直徑的平方等于這三條側棱的平方和14【解析】根據(jù)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,結合圓心所在直線方程,即可求得圓心坐標.由兩點間距離公式,即可得半徑.【詳解】因為圓經(jīng)過點則直線的斜率為 所以與直線垂直的方程斜率為點的中點坐標為所以由點斜式可得直線垂直平分線的方程為,化簡可得而弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,且

13、圓心在直線上,設圓心所以圓心滿足解得所以圓心坐標為則圓的半徑為 故答案為: 【點睛】本題考查了直線垂直時的斜率關系,直線與直線交點的求法,直線與圓的位置關系,圓的半徑的求法,屬于基礎題.155670【解析】根據(jù)二項式展開的通項，可得二項式系數(shù)的最大項，可求得其系數(shù).【詳解】二項展開式一共有項，所以由二項式系數(shù)的性質可知二項式系數(shù)最大的項為第5項，系數(shù)為.故答案為：5670【點睛】本題考查了二項式定理展開式的應用，由通項公式求二項式系數(shù)，屬于中檔題.16【解析】試題分析：根據(jù)題意，記白球為A，紅球為B，黃球為，則一次取出2只球，基本事件為、共6種，其中2只球的顏色不同的是、共5種；所以所求的概率

14、是考點：古典概型概率三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）；（2）.【解析】（1）利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)的解析式為，然后解不等式，可求得函數(shù)的單調遞增區(qū)間；（2）由求得，利用余弦定理結合基本不等式求出的取值范圍，再結合三角形的面積公式可求得面積的取值范圍.【詳解】（1），解不等式，解得.因此，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為；（2）由題意，則，解得.由余弦定理得，又，當且僅當時取等號，所以，的面積.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)單調區(qū)間的求解，同時也考查了三角形面積取值范圍的計算，涉及余弦定理和基本不等式的應用，考查計算能力，屬于中等題.18詳見解析；，或【解析】可以通

15、過已知證明出平面PAB，這樣就可以證明出；以點A為坐標原點，分別以AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，可以求出相應點的坐標，求出平面PBC的法向量為、平面PCD的法向量，利用空間向量的數(shù)量積，求出二面角的大??；求出平面PBC的法向量，利用線面角的公式求出的值.【詳解】證明：在圖1中，為平行四邊形，當沿AD折起時，即，又，平面PAB，又平面PAB，解：以點A為坐標原點，分別以AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，由于平面ABCD則0，0，1，0，1，1，1，0，設平面PBC的法向量為y，則，取，得0，設平面PCD的法向量b，則，取，得1，設二面角的大小為，可知為鈍角

16、，則，二面角的大小為設AM與面PBC所成角為，0，1，平面PBC的法向量0，直線AM與平面PBC所成的角為，解得或【點睛】本題考查了利用線面垂直證明線線垂直，考查了利用向量數(shù)量積，求二面角的大小以及通過線面角公式求定比分點問題.19有的把握認為顧客購物體驗的滿意度與性別有關；.【解析】由題得，根據(jù)數(shù)據(jù)判斷出顧客購物體驗的滿意度與性別有關；獲得了元購物券的人中男顧客有人，記為，；女顧客有人，記為，從中隨機抽取人，所有基本事件有個，其中僅有1人是女顧客的基本事件有個，進而求出獲得紀念品的人中僅有人是女顧客的概率.【詳解】解析：由題得所以，有的把握認為顧客購物體驗的滿意度與性別有關獲得了元購物券的人

17、中男顧客有人，記為，；女顧客有人，記為，從中隨機抽取人，所有基本事件有：，共個其中僅有1人是女顧客的基本事件有：，共個所以獲得紀念品的人中僅有人是女顧客的概率【點睛】本小題主要考查統(tǒng)計案例、卡方分布、概率等基本知識，考查概率統(tǒng)計基本思想以及抽象概括等能力和應用意識，屬于中檔題20；證明見解析.【解析】當時，集合共有個子集，即可求出結果；分類討論，利用數(shù)學歸納法證明.【詳解】當時，集合共有個子集，所以；當時，由可知，此時令，滿足對任意，都有，且；假設當時，存在有序集合組滿足題意，且，則當時，集合的子集個數(shù)為個，因為是4的整數(shù)倍，所以令，且恒成立，即滿足對任意，都有，且，綜上，原命題得證.【點睛】本題考查集合的自己個數(shù)的研究，結合數(shù)學歸納法的應用，屬于難題.21（1）1；（2）證明見解析.【解析】（1）將不等式化為，求解得出，根據(jù)解集確定正數(shù)的值；（2）利用基本不等式以及不等式的性質，得出，三式相加，即可得證.【詳解】（1）解：不等式，即不等式，而，于是依題意得（2）證明：由（1）知，原不等式可化為，同理，三式相加得，當且僅當時取等號綜上.【點睛】本題主要考查了求絕對值不等式中參數(shù)的范圍以及基本不等式的應用，屬于中檔題.22（1）圖形見解析，理由見解析；（2）見解析；（3）犯錯誤的概率不超過的前提下認為性別與霧霾天外出戴口罩有關系【解析】（1）利用等高條形圖中兩個深顏色條的高比較