隨機(jī)事件與概率2課件

1、概率的定義概率是隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的一種度量對于不同的事件，概率應(yīng)如何規(guī)定？統(tǒng)計(jì)定義古典定義幾何定義公理定義隨機(jī)事件的頻率A=“出現(xiàn)正面”隨機(jī)試驗(yàn)拋擲一枚均勻的硬幣試驗(yàn)總次數(shù)n 將硬幣拋擲n次隨機(jī)事件隨機(jī)事件的頻率事件A出現(xiàn)次數(shù)出現(xiàn)正面 次德.摩 根 試 驗(yàn) 者 拋 擲 次 數(shù)n 出現(xiàn)正面的頻率2048 1061 0.518 蒲 豐 4040 2048 0.5069 皮爾遜 12000 6019 0.5016 皮爾遜 24000 12012 0.5005 維 尼 0.4998 14994 30000 拋擲硬幣的試驗(yàn)歷史紀(jì)錄出現(xiàn)正面的次數(shù)m 隨機(jī)事件A在相同條件下重復(fù)多次時(shí)，事件A 發(fā)生的

2、頻率在一個(gè)固定的數(shù)值p附近擺動，隨試驗(yàn)次數(shù)的增加更加明顯頻率和概率 頻率的穩(wěn)定性 事件的概率 事件A的頻率穩(wěn)定在數(shù)值p，說明了數(shù)值p可以用來刻劃事件發(fā)生可能性大小，可以規(guī)定為事件A的概率概率的統(tǒng)計(jì)定義當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)，可以用事件A發(fā)生的頻率近似的代替事件A的概率 對某一事件，在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行 n 次試驗(yàn)，事件發(fā) 生的頻率 ，隨著試驗(yàn)次數(shù) n 的增大而穩(wěn)定地在某個(gè)常數(shù) p 附近擺動，那么稱 p 為事件的概率 再分析一個(gè)例子，為檢查某種小麥的發(fā)芽情況，從一大批種子中抽取10批種子做發(fā)芽試驗(yàn)，其結(jié)果如表1-2：發(fā)芽率 發(fā)芽粒數(shù) 種子粒數(shù) 2 5 10 70 130 310 700 1500

3、2000 3000 2 4 9 60 116 282 639 1339 1806 2715 1 0.8 0.9 0.857 0.892 0.910 0.913 0.893 0.903 0.905 從表1-2可看出，發(fā)芽率在0.9附近擺動，隨著n的增大，將逐漸穩(wěn)定在0.9這個(gè)數(shù)值上. 確定事件A包含的基本事件數(shù)古典概型的概率計(jì)算事件由其中的 個(gè)基本事件組成拋擲一顆勻質(zhì)骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) , 求“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是不小于3的偶數(shù)”的概率=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是不小于3的偶數(shù)” 拋擲骰子事件A試驗(yàn)拋擲一顆勻質(zhì)骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)樣本空間=4，6 =1，2，3，4，5，6n=6m=2事件A的概率 劃拳確定基本事件

4、空間確定每個(gè)事件所包含的基本事件的個(gè)數(shù)甲乙兩人，等可能地伸出0,1,2,3,4或5個(gè)手指，同叫出0到10中的某一個(gè)數(shù)。若有一人叫出的數(shù)字等于兩人伸出的手指數(shù)之和即贏得該回合。那個(gè)數(shù)勝出的可能最大？二維數(shù)組（x,y）記甲乙伸出的手指數(shù)，共6x6=36種和數(shù)為0=(0,0)，1和數(shù)為1=(1,0),(0,1)，2 和數(shù)為5 5+1=6有放回抽樣和無放回抽樣 設(shè)在10 件產(chǎn)品中，有2件次品，8件正品A=“第一次抽取正品，第二次抽取次品” 第一次抽取后，產(chǎn)品放回去 第一次抽取后，產(chǎn)品不放回去古典概率的計(jì)算：投球入盒 把3個(gè)小球隨機(jī)地投入5個(gè)盒內(nèi)。設(shè)球與盒都是可識別的。 A=“指定的三個(gè)盒內(nèi)各有一球”

5、B =“存在三個(gè)盒，其中各有一球”abcde 古典概率的計(jì)算：生日問題某班有50個(gè)學(xué)生，求他們的生日各不相同的概率（設(shè)一年365天）分析此問題可以用投球入盒模型來模擬50個(gè)學(xué)生365天50個(gè)小球365個(gè)盒子相似地有分房問題 房子 盒子人 小球生日問題模型某班有n個(gè)學(xué)生，則他們的生日各不相同的概率為至少有兩人生日相同的概率為 n1020233040500.120.410.510.710.890.97 概率的古典定義性質(zhì) （1） （2） （3） 若A，B互斥，則 解： 總的基本事件數(shù)為 排成行時(shí)，事件A“甲乙相鄰”的基本事件數(shù)為 排成圈時(shí)，事件B“甲乙相鄰”的基本事件數(shù)為 所求概率為 思考題包括甲

6、，乙在內(nèi)的10個(gè)人隨機(jī)地排成一行，甲與乙相鄰的概率。若這10個(gè)人隨機(jī)地排成一圈，又如何呢？ n個(gè)男孩，m個(gè)女孩（mn+2）隨機(jī)地排成一列。問事件A“任意兩個(gè)女孩都不相鄰”的概率是多少？若排成一個(gè)圓圈結(jié)果又如何？思考題概率的統(tǒng)計(jì)定義和古典定義的區(qū)別？統(tǒng)計(jì)定義：做實(shí)驗(yàn)，只能逼近古典定義：已經(jīng)知道每個(gè)事件等可能想一想概率的幾何定義：幾何概型 將古典概型中的有限性推廣到無限性，而保留等可能性，就得到幾何概型。 事件A發(fā)生就是點(diǎn)落在中的可度量圖形G中 幾何度量-指長度、面積或體積 特點(diǎn) 有一個(gè)可度量的幾何圖形（基本事件空間） 隨機(jī)試驗(yàn)可看成往中隨機(jī)地投擲一點(diǎn)（基本事件）一個(gè)質(zhì)地均勻的陀螺的圓周上均勻地刻

7、有0 , 5)上諸數(shù)字，在桌面上旋轉(zhuǎn)它，求當(dāng)它停下來時(shí)，圓周與桌面接觸處的刻度位于區(qū)間 2 , 3 上的概率。 = 2 , 3 幾何概型的計(jì)算 甲乙二人相約定7點(diǎn)到8點(diǎn)在預(yù)定地點(diǎn)會面，先到的人要等候另一人20分鐘后，方可離開。求甲乙二人能會面的概率（假定他們在7:00-8:00內(nèi)的任意時(shí)刻到達(dá)預(yù)定地點(diǎn)的機(jī)會是等可能的）。幾何概型的計(jì)算：會面問題 解 設(shè)甲乙二人到達(dá)預(yù)定地點(diǎn)的時(shí)刻分別為 x 及 y（分鐘）, 則二人會面60602020yx 幾 何 概 型性質(zhì) （1） （2） （3） 若A，B互斥，則 思考題解 以A為起點(diǎn)，逆時(shí)針方向?yàn)檎?B至A的曲線距離為x，C至A的 曲線距離為y，則ABC為

8、銳角三角形 或 一個(gè)圓的所有內(nèi)接三角形中，問是銳角三角形的概率是多少？A B CO概率的公理化定義 基本事件空間（ ） 設(shè)為一些事件構(gòu)成的集合，如果每次試驗(yàn)有且僅有中的一個(gè)事件發(fā)生，則稱為基本事件空間（或樣本空間），而稱中的事件為基本事件（或樣本點(diǎn)）基本事件空間是所有基本事件構(gòu)成的集合基本事件之間互不相容其他事件是的一個(gè)子集，包含若干個(gè)基本事件。 事件A發(fā)生A中的一個(gè)基本事件發(fā)生 事件域（F） 設(shè)為基本事件空間，F(xiàn)是的一些子集所構(gòu)成的集合，且滿足下列條件：則稱F為事件域，并稱F中的元素（即的某一子集）為事件事件域的例子擲骰子，基本事件空間A=出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，B=出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)C=出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)

9、小于3， D=出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3 E=出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于等于3是事件域不是事件域 概率測度（P） 給定一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，是它的樣本空間，對于任意一個(gè)事件F，賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，如果滿足下列三條公理，非負(fù)性： 規(guī)范性： ()=1 可列可加性：()0 兩兩互不相容時(shí)則稱P為事件域F上的概率測度，稱P(A)為事件的概率 概率空間通常,針對研究的某一隨機(jī)現(xiàn)象,都要首先確定立基本事件空間，事件域和概率測度。將三者視為整體證明 由概率的可列可加性，有所以 概率的性質(zhì) 不可能事件的概率為零注意事項(xiàng) 但反過來，如果P（A）=0，未必有A= 例如：一個(gè)質(zhì)地均勻的陀螺的圓周上均勻地刻有0 , 5)上諸數(shù)字，在桌面上旋轉(zhuǎn)它，求當(dāng)它

10、停下來時(shí)，圓周與桌面接觸處的刻度為2的概率等于0，但該事件有可能發(fā)生。 設(shè)A1，A2， , An兩兩互不相容，則證明 在可列可加性中 , 取i = （i=n+1,n+2, ）. 有限可加性證明 由于與其對立事件互不相容，由規(guī)范性，可加性有 而 所以 補(bǔ)事件的概率若 A B，則有 P(A) P(B)， 且P (B A) = P(B) P(A) ()()() 單調(diào)性和可減性對任意兩個(gè)隨機(jī)事件、 ，有 加法公式上兩式聯(lián)立即得加法公式BCA 加法公式推廣 上（下）連續(xù)性故由概率的可列可加性，有（下連續(xù)性）：A1 A2 An，故A1 , (A2 A1 ), (A3 A2 ), (An An-1 ),等事

11、件互不相容，且證明 幾種概率定義的關(guān)系統(tǒng)計(jì)，古典，幾何概率都包含在公理化定義的框架內(nèi)對公理化定義成立的性質(zhì)，對之前三種概率定義也都成立反過來，可以從三種具體的定義來理解公理化定義的含義例：一個(gè)箱子中裝有36只燈泡,其中32只為一等品,4只為二等品,現(xiàn)從中任取3只,試求取出的3只燈泡中至少有1只為二等品的概率.記A=取出的3只燈泡中至少有1只為二等品,Bi=取出的3只燈泡中恰有i只為二等品 方法 （用互不相容事件和的概率等于概率之和）(A)(B1B2B3)(B1)(B2)(B3)解 方法 （利用對立事件的概率關(guān)系） 則B1,B2,B3互不相容,且A=B1 B2 B3. 甲、乙兩人同時(shí)向目標(biāo)射擊一次，設(shè)甲擊中的概率為 0.85 ，乙擊中的概率為 0.8 兩人都擊中的概率為 0.68 求目標(biāo)被擊中的概率 解 設(shè)表示甲擊中目標(biāo)，表示乙擊中目標(biāo)，表示目標(biāo)被擊中， 則 0.85 0.8 0.68 0.97 例例已知P（A）=0.3,P(B)=0.6,試在下列兩種情形下分別求出P(AB)與P(BA)(1) 事件A,B互不相容(2) 事件A,B有包含關(guān)系解(2) 不難看出，此時(shí)應(yīng)有練一練投擲兩顆骰子,試計(jì)算兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和在4和10之間的概率（含4和10）.解 設(shè)“兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和在4和10”為事件A 總的基本事件數(shù)為 所包含的樣本點(diǎn)