大學(xué)生畢業(yè)論文模板

1、目錄摘要Abstract 1. 引言1 2. 抽屜原理簡(jiǎn)述12.1 抽屜原理的一般含義12.2 抽屜原理推廣到一般情形的兩種推廣形式 2 2.3 數(shù)學(xué)競(jìng)賽中常見的幾種相關(guān)抽屜原理的題型23.抽屜原理在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的運(yùn)用及解題思路分析23.1抽屜原理在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中五種問題的靈活運(yùn)用。23.1.1 整除問題 23.1.2面積問題43.1.3 染色問題 53.1.4六人集會(huì)問題 63.1.5生日問題83.2 總結(jié)抽屜原理的運(yùn)用及解題步驟83.2.1抽屜原理的運(yùn)用8 3.2.2應(yīng)用抽屜原理解題的步驟94 小結(jié)及說明 9 4.1 小結(jié) 94.2說明9致謝10參考文獻(xiàn)10哈哈我的畢業(yè)論文就是抽屜原理及其應(yīng)用。

2、以下是我的論文中的一部分僅供參考。抽屜原理又稱為也叫信箱原理、鴿籠原理、鞋盒原理它是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)最基本的原理。應(yīng)用它可以解許多涉及存在性的組合問題。抽屜原理的簡(jiǎn)單形式為設(shè) A 是有限集 n1Ai Ai 12? 6? 7n 且 A 則必有正整數(shù) k1k n 使得 2。其通俗表述為將 n1 個(gè)球放入 n 個(gè)盒子中則至少有一個(gè)盒子中裝的球數(shù)不少于兩個(gè)。證明若每個(gè)盒子中最多裝一個(gè)球則n 個(gè)盒子中總共最多只能裝n 個(gè)球但這n 個(gè)盒子中共有 n1 個(gè)球這是一個(gè)矛盾。關(guān)于鴿籠原理的一般形式為設(shè) A 是 mm2 元集 Ai Ai12 ? 6? 7n 且 A 則必有正整數(shù)k1 k使n得1。其通俗表述為如果mm

3、 2個(gè)球放入n 個(gè)盒子中則必有一個(gè)盒子該盒子里至少有1 個(gè)球。抽屜原理還可推廣為更一般的形式設(shè)m1m2? 6? 7mn 都是正整數(shù)若將n1 個(gè)球放入 n 個(gè)盒子中則第一個(gè)盒子中至少放入m1 個(gè)球或第二個(gè)盒子中至少放入m2 個(gè)球 ? 6? 7 或第 n 個(gè)盒子中至少放入 mn 個(gè)球這 n 種情形中至少有一種情形必然發(fā)生。證明若第一個(gè)盒子中裝的球數(shù)少于m1 個(gè)第二個(gè)盒子中裝的球數(shù)少于 m2 個(gè) ? 6? 7若第 n 個(gè)盒子中裝的球數(shù)少于mn 個(gè)則總球數(shù)的個(gè)數(shù)不超過n n1 這與總球數(shù)為 n1 相矛盾。 由上面的原理可得如下推論推論1 設(shè) m1m2 ? 6? 7mn 均為整數(shù)且滿足 r-1 則 m1

4、m2? 6? 7mn 中至少有一個(gè)數(shù)不小于r。有了抽屜原理按照下面的步驟用它解決問題1 明確什么是 “抽屜 ”什么是元素 “往抽屜里放什么 ”2制造 “合適 ”的抽屜抽屜的設(shè)計(jì)要“恰當(dāng) ”?！昂线m ” 要求每個(gè)抽屜的 “規(guī)格 ”是一樣的因?yàn)槭前慈我夥绞椒胚M(jìn)元素的每個(gè)抽屜放人元素的可能性是一樣的“恰當(dāng) ” 抽屜的數(shù)目要少于元素的數(shù)目且滿足所求的結(jié)論 3 運(yùn)用抽屜原理據(jù)此解決問題。應(yīng)用抽屜原理解題要注意以下幾點(diǎn) 1 題目中給出的元素物品具有任意性分類也是任意的所以不能用元素的一種特殊布局來點(diǎn)代替元素的任意放置 2 題目中給出的元素可能是實(shí)物也可能是數(shù)、圖形、符號(hào)、方式或方法等構(gòu)造抽屜就是對(duì)這些元素

5、有目的地進(jìn)行分類、分組、分割等 3 用抽屜原理解決的只是存在性問題至于存在地點(diǎn)、存在多少這都無關(guān)緊要4 應(yīng)用抽屜原理解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造抽屜因?yàn)橹挥邪殉閷洗_定了才能明確元素的放置情況從而才能進(jìn)行應(yīng)有的討論所以在解題時(shí)重點(diǎn)也是難點(diǎn)就是如何構(gòu)造抽屜一、抽屜原理的基本理論把5個(gè)蘋果放到4 個(gè)抽屜中必然有一個(gè)抽屜中至少有2 個(gè)蘋果這是抽屜原理的通俗解釋。一般地我們將它表述為第一抽屜原理把mn 1 個(gè)物體放入n 個(gè)抽屜其中必有一個(gè)抽屜中至少有m 1個(gè)物體。例 1 在一個(gè)禮堂中有99 名學(xué)生如果他們中的每個(gè)人都與其中的66 人相識(shí)那么可能出現(xiàn)這種情況他們中的任何 4 人中都一定有2 人不相識(shí)假定相識(shí)是互相的

6、。分析注意到題中的說法“可能出現(xiàn) ”說明題的結(jié)論并非是條件的必然結(jié)果而僅僅是一種可能性因此只需要設(shè)法構(gòu)造出一種情況使之出現(xiàn)題目中所說的結(jié)論即可。解將禮堂中的99 人記為K1、 K2、 K99將99 人分為3 組K1 K33K34 K66K67 K99將 3 組學(xué)生作為3 個(gè)抽屜分別記為A、B、C并約定A 中的學(xué)生所認(rèn)識(shí)的66 人只在B、C中同時(shí)B、 C中的學(xué)生所認(rèn)識(shí)的66 人也只在A、 C和A 、B中。如果出現(xiàn)這種局面那么題目中所說情況就可能出現(xiàn)。因?yàn)槎Y堂中任意 4 人可看做 4 個(gè)蘋果放入 A 、B 、C 三個(gè)抽屜中必有 2 人在同一抽屜即必有 2 人來自同一組那么他們認(rèn)識(shí)的人只在另2 組中

7、因此他們兩人不相識(shí)。下面我們來考慮另外一種情況若把5 個(gè)蘋果放到6 個(gè)抽屜中則必然有一個(gè)抽屜空著。這種情況一般可以表述為第二抽屜原理把mn-1個(gè)物體放入n 個(gè)抽屜其中必有一個(gè)抽屜中至多有m-1 個(gè)物體。例 2 在圓周上放有5 個(gè)籌碼其中有3 個(gè)是同色的那么這3 個(gè)同色的籌碼必有 2 個(gè)相鄰。 分析將這個(gè)問題加以轉(zhuǎn)化如圖將同色的 3 個(gè)籌碼 A 、B、 C 置于圓周上看是否能用另外2個(gè)籌碼將其隔開。 解將同色的3 個(gè)籌碼放置在圓周上將每2個(gè)籌碼之間的間隔看做抽屜將其余2 個(gè)籌碼看做蘋果將2 個(gè)蘋果放入 3 個(gè)抽屜中則必有 1 個(gè)抽屜中沒有蘋果即有2 個(gè)同色籌碼之間沒有其它籌碼那么這2 個(gè)籌碼必相

8、鄰。二、制造抽屜是運(yùn)用原理的一大關(guān)鍵例 3 從 24630 這 15 個(gè)偶數(shù)中任取 9 個(gè)數(shù)證明其中一定有兩個(gè)數(shù)之和是34。 分析與解答我們用題目中的 15 個(gè)偶數(shù)制造 8 個(gè)抽屜。凡是抽屜中有兩個(gè)數(shù)的都具有一個(gè)共同的特點(diǎn)這兩個(gè)數(shù)的和是34?，F(xiàn)從題目中的 15 個(gè)偶數(shù)中任取 9 個(gè)數(shù)由抽屜原理因?yàn)槌閷现挥?個(gè)必有兩個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜中。由制造的抽屜的特點(diǎn)這兩個(gè)數(shù)的和是 34。 在有些問題中 “抽屜 ”和 “物體 ”不是很明顯的需要精心制造 “抽屜 ”和 “物體 ”如何制造 “抽屜 ”和“物體 ”可能是很困難的一方面需要認(rèn)真地分析題目中的條件和問題另一方面需要多做一些題積累經(jīng)驗(yàn)。三、抽屜原則的應(yīng)用

9、抽屜原理的內(nèi)容簡(jiǎn)明樸素易于接受它在數(shù)學(xué)問題中有重要的作用許多有關(guān)存在性的證明都可用它來解決。例4幼兒園買來了不少白兔、熊貓、長頸鹿塑料玩具每個(gè)小朋友任意選擇兩件那么不管怎樣挑選在任意七個(gè)小朋友中總有兩個(gè)彼此選的玩具都相同試說明道理。解 從三種玩具中挑選兩件搭配方式只能是下面六種兔、兔兔、熊貓兔、長頸鹿熊貓、熊貓熊貓、長頸鹿長頸鹿、長頸鹿。把每種搭配方式看作一個(gè)抽屜把 7 個(gè)小朋友看作物體那么根據(jù)原理1 至少有 2 個(gè)物體要放進(jìn)同一個(gè)抽屜里也就是說至少2 人挑選玩具采用同一搭配方式選的玩具相同。上面數(shù)例論證的似乎都是“存在 ”、“總有 ”、 “至少有 ”的問題不錯(cuò)這正是抽屜原則的主要作用。需要說

10、明的是運(yùn)用抽屜原則只是肯定了“存在 ”、“總有 ”、“至少有 ”卻不能確切地指出哪個(gè)抽屜里存在多少。抽屜原理雖然簡(jiǎn)單但應(yīng)用卻很廣泛它可以解答很多有趣的問題其中有些問題還具有相當(dāng)?shù)碾y度。下面我們來研究有關(guān)的一些問題。1、整除問題 把所有整數(shù)按照除以某個(gè)自然數(shù) m 的余數(shù)分為 m 類叫做 m 的剩余類或同余類用 012 m表示。每一個(gè)類含有無窮多個(gè)數(shù)例如 1 中含有 1m 12m 13m 1 。在研究與整除有關(guān)的問題時(shí)常用剩余類作為抽屜根據(jù)抽屜原理可以證明任意n 1個(gè)自然數(shù)中總有兩個(gè)自然數(shù)的差是n 的倍數(shù)。 例5 證明任取8 個(gè)自然數(shù)必有兩個(gè)數(shù)的差是7 的倍數(shù)。 分析與解答在與整除有關(guān)的問題中有這

11、樣的性質(zhì)如果兩個(gè)整數(shù)ab它們除以自然數(shù)m 的余數(shù)相同那么它們的差a-b 是m 的倍數(shù)根據(jù)這個(gè)性質(zhì)本題只需證明這8 個(gè)自然數(shù)中有2 個(gè)自然數(shù)它們除以7 的余數(shù)相同。我們可以把所有自然數(shù)按被7 除所得的 7 種不同的余數(shù)01 6分成七類 .也就是 7 個(gè)抽屜 .任取 8個(gè)自然數(shù)根據(jù)抽屜原理1 必有兩個(gè)數(shù)在同一個(gè)抽屜中也就是它們除以 7 的余數(shù)相同因此這兩個(gè)數(shù)的差一定是7 的倍數(shù)。2、面積問題例 6 邊長為 1 的正方形中任意放入9 個(gè)點(diǎn)求證這 9 個(gè)點(diǎn)中任取3 個(gè)點(diǎn)組成的三角形中至少有一個(gè)的面積不超過 1/8。 解將邊長為1 的正方形等分成邊長為1/2 的四個(gè)小正方形視這四個(gè)正方形為抽屜9 個(gè)點(diǎn)任

12、意放入這四個(gè)正方形中據(jù)原理2 必有三點(diǎn)落入同一個(gè)正方形內(nèi)。那么可知三角形的面積不超過小正方形面積的一半即不超過1/8。 3、染色問題例 7 有 5 個(gè)小朋友每人都從裝有許多黑白圍棋子的布袋中任意摸出3 枚棋子請(qǐng)你證明這5 個(gè)人中至少有兩個(gè)小朋友摸出的棋子的顏色的配組是一樣的。分析與解答首先要確定 3 枚棋子的顏色可以有多少種不同的情況可以有3 黑2黑1白1黑 2白3白共 4種配組情況看作4個(gè)抽屜根據(jù)抽屜原理至少有兩個(gè)小朋友摸出的棋子的顏色在同一個(gè)抽屜里也就是他們所拿棋子的顏色配組是一樣的。四、鴿籠原理的日常運(yùn)用我這里舉一些和日常生活有關(guān)的一些問題你可以看到數(shù)學(xué)在這里的運(yùn)用。1 月黑風(fēng)高穿襪子有

13、一個(gè)晚上你的房間的電燈忽然間壞了伸手不見五指而你又要出去于是你就摸床底下的襪子。你有三雙分別為紅、白、藍(lán)顏色的襪子可是你平時(shí)做事隨便一脫襪就亂丟在黑暗中不能知道哪一雙是顏色相同的。你想拿最少數(shù)目的襪子出去在外面借街燈配成同顏色的一雙。這最少數(shù)目應(yīng)該是多少如果你懂得鴿籠原理你就會(huì)知道只需拿出去四只襪子就行了。為什么呢因?yàn)槿绻覀冇腥齻€(gè)涂上紅、白、藍(lán)的盒子里面各放進(jìn)相對(duì)顏色的襪子只要我們抽出 4 只襪子一定有一個(gè)盒子是空的那么這空的盒子取出的襪子是可以拿來穿。 2 手指紋和頭發(fā)據(jù)說世界上沒有兩個(gè)人的手指紋是一樣的因此警方在處理犯罪問題時(shí)很重視手指紋希望通過手指紋來破案或檢定犯人?？墒悄阒啦恢涝?/p>

14、 12 億中國人當(dāng)中最少有兩個(gè)人的頭發(fā)是一樣的多道理是很簡(jiǎn)單人的頭發(fā)數(shù)目是不會(huì)超過12 億這么大的數(shù)目字假定人最多有N 根頭發(fā)?，F(xiàn)在我們想像有編上號(hào)碼 1234 一直到 N 的房子。誰有多少頭發(fā)誰就進(jìn)入那編號(hào)和他的頭發(fā)數(shù)相同的房子去。因此張樂平先生的“三毛 ”應(yīng)該進(jìn)入 “3號(hào)房子 ”?，F(xiàn)在假定每間房巳進(jìn)入一個(gè)人那么還剩下“九億減 N”個(gè)人這數(shù)目不會(huì)等于零我們現(xiàn)在隨便挑一個(gè)放進(jìn)一間和他頭發(fā)數(shù)相同的房子他就會(huì)在里面遇到和他有相同頭發(fā)數(shù)目的同志了。 3 戲院觀眾的生日在一間能容納 1500 個(gè)座位的戲院里證明如果戲院坐滿人時(shí)一定最少有五個(gè)觀眾是同月同日生。現(xiàn)在假定一年有三百六十五天。想像有一個(gè)很大的

15、鴿子籠這籠有編上 “一月一日 ”“一月二日 ”至到 “十二月三十一日 ”為止的標(biāo)志的間隔。 假定現(xiàn)在每個(gè)間隔都塞進(jìn)四個(gè)人那么 43651460 個(gè)是進(jìn)去鴿子籠子里去還剩下1500-146040 人。只要任何一人進(jìn)入鴿子籠就有五個(gè)人是有相同的生日了。五、鴿籠原理在數(shù)學(xué)上的運(yùn)用現(xiàn)在我想舉一些數(shù)學(xué)上的問題說明鴿籠原理的運(yùn)用。1 斐波那契數(shù)的一個(gè)性質(zhì)斐波那契數(shù)列是這樣的數(shù)列 。從11 以后的各項(xiàng)是前面兩項(xiàng)的數(shù)的和組成。在18 世紀(jì)時(shí)法國大數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家拉格朗日J(rèn)LLa-grange 發(fā)現(xiàn)這斐波那契數(shù)有這樣有趣的性質(zhì)如果你用2 來除各項(xiàng)并寫下它的余數(shù)你會(huì)看到這樣的情形 110110110 如果用 3來

16、除各項(xiàng)寫下它的余數(shù)你就得到 如果用 4 來除各項(xiàng)寫下它的余數(shù)你就會(huì)得到 現(xiàn)在觀察用 2 除所得的數(shù)列從開頭算起每隔三段后面的數(shù)列就重復(fù)前面的數(shù)列。用 3 除所得的數(shù)列從開頭算起每隔八段后面的數(shù)列就重復(fù)前面的數(shù)列樣子。對(duì)于以 4 除所得的余數(shù)數(shù)列也有同樣的情況每隔六段后面的數(shù)列就重復(fù)前面的數(shù)列樣子。拉格朗日發(fā)現(xiàn)不管你用什么數(shù)字去除余數(shù)數(shù)列會(huì)出現(xiàn)有規(guī)律的重復(fù)現(xiàn)象。為什么會(huì)有這樣的現(xiàn)象呢如果我們用一個(gè)整數(shù)K 來除斐波那契數(shù)列的數(shù)它可能的余數(shù)是012K1 。由于在斐波那契數(shù)的每一項(xiàng)是前面兩項(xiàng)的和它被K 除后的余數(shù)是等于前兩項(xiàng)被K 除余數(shù)的和。注意如果這和是大過 K 我們?nèi)∷?K 除后的余數(shù)只要有一對(duì)

17、相鄰的余數(shù)重復(fù)出現(xiàn)那么以后的數(shù)列從那對(duì)數(shù)開始就會(huì)重復(fù)出現(xiàn)了。不同對(duì)相鄰余數(shù)可能的數(shù)目有K2 個(gè)因此由鴿籠原理我們知道只要適當(dāng)大的項(xiàng)數(shù)一定會(huì)有一對(duì)相鄰余數(shù)重復(fù)。因此斐波那契數(shù)列的余數(shù)數(shù)列會(huì)有周期重復(fù)現(xiàn)象。 2 五個(gè)大頭釘在等邊三角板里的位置有一個(gè)每邊長2 單位的正三角形即三邊都相等的三角形的三角板。你隨便在上面釘上五個(gè)大頭釘一定會(huì)有一對(duì)大頭釘?shù)木嚯x是小過一單位。你不相信的話可以做幾次實(shí)驗(yàn)看看是否一直是如此。我現(xiàn)在要用鴿籠原理來解決這個(gè)問題。在三角板的每邊取中點(diǎn)然后用線段連結(jié)這些中點(diǎn)把這正三角形分成四個(gè)全等的小正三角形圖?，F(xiàn)在在每一個(gè)小三角形里任何兩點(diǎn)的距離是不會(huì)超過 1 個(gè)單位。由于我們有五個(gè)大頭釘不管怎么樣放一定有兩個(gè)要落進(jìn)同一個(gè)小正三角形里因此這兩個(gè)大頭釘?shù)木嚯x是不會(huì)超過一個(gè)單位。六、動(dòng)腦筋想想看 1 給出任意12 個(gè)數(shù)字證明當(dāng)用11 來除時(shí)一定有一對(duì)數(shù)的余數(shù)是相同。2如果在一個(gè)每邊都是2 單位的正三角形板上隨便釘上17 個(gè)大 3 如果在一個(gè)每邊都是 2 單位的正方形板上隨便釘上5 根釘 4 我們一定能夠在一個(gè)每邊都是2 單位長的正方形板上適當(dāng)?shù)尼斏?9 根釘使它們之中不存在有兩根釘?shù)木嚯x是小于1單位。5 英國數(shù)學(xué)奧林匹克 1975 年的問題在一個(gè)半