培養(yǎng)小學(xué)一年級學(xué)生數(shù)感的探索與反思

1、 培養(yǎng)小學(xué)一年級學(xué)生數(shù)感的探索與反思 徐丹【Summary】良好的數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。本文介紹培養(yǎng)小學(xué)生數(shù)感的三種做法：在具體數(shù)學(xué)情境的數(shù)數(shù)中建立數(shù)感、在不斷聯(lián)系的運(yùn)算中發(fā)展數(shù)感、在解決實(shí)際問題中增強(qiáng)數(shù)感?！綤ey】數(shù)感 實(shí)踐 思考 數(shù)量關(guān)系G A0450-9889（2017）09A-0075-03數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)量、數(shù)量關(guān)系，運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。數(shù)感好的學(xué)生，主要表現(xiàn)為在運(yùn)算中不拘泥于運(yùn)用計(jì)算法則或公式進(jìn)行計(jì)算，而是能夠根據(jù)數(shù)的特征，靈活地選取計(jì)算策略。教師對數(shù)

2、感一詞并不陌生，但對數(shù)感的培養(yǎng)卻存在認(rèn)識上的缺失：其一，認(rèn)為數(shù)感培養(yǎng)是某些課的教學(xué)目標(biāo)；其二，重知識技能落實(shí)輕數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展。實(shí)際上，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感是一個(gè)長期積累的過程，學(xué)生的數(shù)感在入學(xué)前已經(jīng)萌芽，需要教師充分挖掘教學(xué)資源，對教材資源進(jìn)行重組與拓展，精心設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生的思維，在日常教學(xué)中幫助學(xué)生建立數(shù)感、發(fā)展數(shù)感、增強(qiáng)數(shù)感。一、在具體數(shù)學(xué)情境的數(shù)數(shù)中建立數(shù)感數(shù)是抽象的數(shù)學(xué)符號，一年級的學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識依托于具體的情境。比如說數(shù)字“2”，學(xué)生頭腦中可能會出現(xiàn)2顆糖果，2枝鉛筆，也可能是3個(gè)小朋友走掉了1個(gè)還剩2個(gè)等具體情境。一年級學(xué)生的思維方式以具體直觀的形象思維為主，他們在具體的生活情境中比

3、較容易理解數(shù)的含義以及數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系。學(xué)生認(rèn)識數(shù)的過程離不開數(shù)數(shù)。數(shù)數(shù)是一項(xiàng)內(nèi)涵豐富的數(shù)學(xué)活動，它可以體現(xiàn)學(xué)生對數(shù)的順序、數(shù)與數(shù)之間關(guān)系的理解。數(shù)學(xué)教學(xué)可以在學(xué)生原有生活經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，選擇特定的數(shù)學(xué)情境，讓學(xué)生在有趣的數(shù)數(shù)活動中建立數(shù)感。（一）實(shí)物情境圖數(shù)學(xué)源于生活，生活中的很多情境都值得用數(shù)學(xué)的眼光進(jìn)行觀察和分析。在數(shù)數(shù)活動中，選取恰當(dāng)?shù)纳钋榫?，有助于學(xué)生體會到數(shù)數(shù)方法的多樣性，以及選擇合適的數(shù)數(shù)方法的必要性和簡便性。要讓學(xué)生看到一幅圖就能立刻對數(shù)數(shù)策略做出恰當(dāng)?shù)倪x擇，依靠的是對數(shù)的直覺反應(yīng)，即學(xué)生的大腦已經(jīng)能夠做出無意識的反應(yīng)。1.先圈出10只，再接著數(shù)。上述三幅圖都出現(xiàn)在人教版一年級

4、上冊1120各數(shù)的認(rèn)識課后練習(xí)十七，要求學(xué)生數(shù)出圖中物品的數(shù)量。圖中物品的呈現(xiàn)方式是不一樣的，所需要的數(shù)數(shù)策略也有所不同。學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識從一位數(shù)擴(kuò)展到了兩位數(shù)，數(shù)變大了，同時(shí)還產(chǎn)生了位值的概念。這是讓學(xué)生初步感受數(shù)數(shù)策略，建立直覺性數(shù)感的好時(shí)機(jī)。筆者在教學(xué)過程中設(shè)計(jì)了如下環(huán)節(jié)：師：老師這里有三幅圖，比一比，誰能又快又準(zhǔn)確地?cái)?shù)出圖中物品的數(shù)量。（學(xué)生獨(dú)立數(shù)數(shù)，老師巡視）師：說一說每一幅圖你是怎么數(shù)的。生1：第一幅圖的蜜蜂有點(diǎn)亂，我是1只1只邊做記號邊數(shù)的，一共是14只。生2：第二幅圖拖鞋一雙一雙地?cái)[，我是2，4，6這樣2個(gè)2個(gè)數(shù)的，一共是12只。香蕉是5根一柄，我是5、10、15、20這樣5個(gè)5

5、個(gè)數(shù)的，一共20根。生3：第三幅圖我是看一包書上面寫著10本，旁邊還有2本，一個(gè)“十”和2個(gè)“一”合起來就是12本，數(shù)筆的方法也一樣。師：小朋友們真會觀察，數(shù)數(shù)的方法有很多，可以1個(gè)1個(gè)數(shù)，2個(gè)2個(gè)數(shù)，5個(gè)5個(gè)數(shù)也可以分別數(shù)出幾個(gè)“十”和幾個(gè)“一”再合起來。根據(jù)不同的圖選擇合適的數(shù)數(shù)方法，就能數(shù)得又快又準(zhǔn)確。同樣是數(shù)數(shù)，不同的情境圖可以選擇不同的數(shù)數(shù)方法，教學(xué)中教師巧妙地將練習(xí)中的幾道題進(jìn)行整合，讓學(xué)生在對比中做出合理的選擇，學(xué)會舉一反三。通過長期的積累，學(xué)生頭腦中建立了很多數(shù)數(shù)方法的模型，一旦遇到類似情況就能做出直覺反應(yīng)。這是學(xué)生數(shù)感建立的重要標(biāo)志。（二）變化幾何圖數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本的

6、研究對象，數(shù)可以使形的表達(dá)更精確，形可以使數(shù)量關(guān)系的表達(dá)更清晰。在一年級的數(shù)學(xué)教學(xué)中，將抽象的數(shù)與幾何圖形的拼組相結(jié)合，學(xué)生的數(shù)數(shù)伴隨著空間想象，每個(gè)孩子的觀察角度有所不同，數(shù)數(shù)方法也不一樣。學(xué)生的數(shù)數(shù)方法都有明顯的個(gè)體性特征。如圖四，數(shù)圖中灰色的三角形數(shù)量，有的學(xué)生是一行一行地往下數(shù)，每一行都是前一行的基礎(chǔ)上加1個(gè)，第四個(gè)圖形就是“1+2+3+4”個(gè)；有的學(xué)生斜著觀察，第四個(gè)圖形就是“4+3+2+1”個(gè)。如圖五，有的學(xué)生是從每行和每列的數(shù)量變化進(jìn)行觀察的，接下去應(yīng)該是五行五列，可以5個(gè)5個(gè)快速數(shù)出是25；有的學(xué)生是對前后兩個(gè)圖進(jìn)行重疊式的對比，發(fā)現(xiàn)每次都多了一行和一列（行與列有一個(gè)重疊），接

7、下去就是“16+9=25”個(gè)。讓變化的幾何圖作為數(shù)學(xué)情境，能夠促使學(xué)生通過觀察和對比形的變化來感知數(shù)量的變化，認(rèn)識到數(shù)數(shù)不一定是幾個(gè)幾個(gè)數(shù)，也可以遵循一定規(guī)律變化著數(shù)，數(shù)數(shù)的方法更多樣了。在數(shù)數(shù)中，學(xué)生學(xué)會了觀察，逐漸建立直覺的、個(gè)體性的數(shù)感。二、在不斷聯(lián)系的運(yùn)算中發(fā)展數(shù)感一年級數(shù)學(xué)教材遵循從小到大、由易到難的教學(xué)原則，以10、20、100作為分界點(diǎn)，讓學(xué)生循序漸進(jìn)地認(rèn)識數(shù)，以及學(xué)習(xí)加減法運(yùn)算。教材按照運(yùn)算的復(fù)雜程度，每次都是先學(xué)不進(jìn)位加法和不退位減法，再學(xué)進(jìn)位加法和退位減法；不論數(shù)有多大，加減法運(yùn)算遵循的都是位值和十進(jìn)制等數(shù)學(xué)法則。教材這樣安排遵循學(xué)生身心發(fā)展規(guī)律，便于學(xué)生循序漸進(jìn)地掌握運(yùn)算

8、法則，但是也容易使學(xué)生在頭腦中將加減法運(yùn)算割裂成一個(gè)個(gè)獨(dú)立的部分，從而導(dǎo)致在計(jì)算過程中只會依賴運(yùn)算法則進(jìn)行機(jī)械的運(yùn)算，而不能根據(jù)數(shù)字的特征尋求簡便的運(yùn)算方法，不利于學(xué)生發(fā)展數(shù)感。因此，教師在教學(xué)中要整體把握運(yùn)算教學(xué)的目標(biāo)，借助體現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的圖溝通不同運(yùn)算之間的關(guān)聯(lián)，通過設(shè)計(jì)開放性的計(jì)算練習(xí)建立關(guān)聯(lián)數(shù)字組，通過開展發(fā)散性的轉(zhuǎn)換訓(xùn)練實(shí)現(xiàn)式與式的關(guān)聯(lián)，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。endprint（一）借助直觀圖建立關(guān)系模型每一種運(yùn)算都不是孤立存在的，彼此之間存在內(nèi)在邏輯聯(lián)系。一年級數(shù)學(xué)涉及的加法和減法之間是互逆關(guān)系。在計(jì)算20以內(nèi)退位減法時(shí)用想加做減法可以快速地計(jì)算出得數(shù)，如計(jì)算12-9=（ ），只要想9+

9、（ ）=12就能算出結(jié)果。一年級學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)加法和減法，有必要在教學(xué)中及時(shí)溝通加法和減法之間的關(guān)系。抽象的內(nèi)在聯(lián)系可以借助體現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的直觀圖來溝通，在學(xué)生頭腦中建立加減法關(guān)系的模型，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。在教學(xué)“6、7的加減法”時(shí)，學(xué)生學(xué)習(xí)了“一圖四式”（人教版一年級上冊P42，根據(jù)一幅圖寫出兩道加法算式和兩道減法算式），這時(shí)再引入表示數(shù)量關(guān)系的圖，就能使學(xué)生在腦海中建立加減法關(guān)系的圖像模型，為運(yùn)用加減法之間的關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算奠定基礎(chǔ)。師（出示6個(gè)正方形）：涂一涂，將6個(gè)正方形分成2個(gè)部分，你打算涂幾個(gè)（見圖六）？生1：涂4個(gè)。師：（根據(jù)學(xué)生的回答出示圖七），揭示“6”可以分成“4”和“2”，看圖你能

10、寫出哪些算式？生：4+2=6，2+4=6，6-2=4，6-4=2。師：圖中老師能找到算式中的“4”和“2”，“6”表示什么意思呢？生：“6”是總共有6個(gè)正方形。師：（出示圖八）這樣可以更清楚地看出6、4、2這三個(gè)數(shù)之間的關(guān)系。師：（出示圖九）現(xiàn)在你還能看出這三個(gè)數(shù)之間的關(guān)系嗎？生：能。師：（出示圖十）你能根據(jù)這幅圖來寫一寫算式嗎？生：+=10，+=10，10-=，10-=。學(xué)生頭腦中有了圖十這樣直觀的圖像模型，數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系一目了然，而數(shù)與數(shù)之間關(guān)系的不同表達(dá)式就是加法與減法之間數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)換。學(xué)生根本不需要去記“加數(shù)=和-加數(shù)”“減數(shù)=被減數(shù)-差”等這些枯燥的表達(dá)式就能運(yùn)用自如，數(shù)感在這樣

11、的聯(lián)系中得到發(fā)展。（二）借助開放性式題建立關(guān)聯(lián)數(shù)組“20以內(nèi)退位減法”在減法計(jì)算教學(xué)中占有舉足輕重的地位，20以內(nèi)退位減法的熟練程度直接影響到今后多位數(shù)減法的計(jì)算正確率。很多教師認(rèn)為，熟能生巧，因而試圖通過不斷的強(qiáng)化訓(xùn)練來提高學(xué)生的計(jì)算正確率，但是實(shí)際上學(xué)生的數(shù)感并沒有在重復(fù)的機(jī)械訓(xùn)練中獲得發(fā)展。在學(xué)習(xí)“20以內(nèi)退位減法”時(shí)，教材介紹了三種計(jì)算方法，如“12-9”：個(gè)位上“2-9”不夠減，可以采用破十法，直接用“10-9=1”，再算“1+2=3”；也可以采用連減法“12-2-7=3”；還可以采用想加算減法，想“9+（3）=12”，那么“12-9=3”。學(xué)生能夠理解算理，也能夠運(yùn)用這些算法進(jìn)行計(jì)

12、算，但是這幾種算法都需要幾個(gè)步驟，學(xué)生在口算時(shí)要想好幾個(gè)步驟，想達(dá)到一定的速度和正確率頗有難度。根據(jù)退位減法的算理，我們可以設(shè)計(jì)開放性式題，讓學(xué)生在填寫式題時(shí)鞏固算法，同時(shí)又能關(guān)注數(shù)字本身的特征，在頭腦中建立一些相關(guān)聯(lián)的數(shù)字組，在計(jì)算中加以運(yùn)用，從而發(fā)展數(shù)感。師：（出示式題-7=，見圖十一）給大家2分鐘時(shí)間，看誰填出的算式多。師：同學(xué)們都能夠有順序地思考。觀察這些算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？生1：被減數(shù)一個(gè)一個(gè)地增加，差也一個(gè)一個(gè)地增加。生2：有些是不退位減法，有些是退位減法。生3：被減數(shù)的個(gè)位和差都相差3。師：你知道為什么會相差3嗎？生4：我想這是破十法中的3，比如11-7，先算10-7=3，再算3

13、+1=4。（其他學(xué)生按照這個(gè)思路去觀察，發(fā)現(xiàn)如果用破十法去計(jì)算，都會先算“10-7=3”）片段四：師：（出示式題二 -=7，見圖十二）給大家2分鐘時(shí)間，看誰寫的算式多。師：同學(xué)們都能夠有順序地思考。觀察這些算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？生1：被減數(shù)一個(gè)一個(gè)地增加，減數(shù)也一個(gè)一個(gè)地增加。生2：被減數(shù)的個(gè)位比減數(shù)小3。師：你知道為什么會相差3嗎？生3：比如11-4，我們用連減法，把4分成1和3，11-1=10，10-3=7。（其他學(xué)生按照這樣的思路去觀察，發(fā)現(xiàn)減數(shù)都可以分成被減數(shù)的個(gè)位數(shù)字和3，這樣連減的第二步算的都是“10-3=7”）上述兩個(gè)式題中的已知數(shù)都是“7”，不論“7”是差還是減數(shù)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)計(jì)算中

14、都會用到“10-7=3”或者“10-3=7”。在有關(guān)“7”的減法中，學(xué)生會習(xí)慣性地將“3”與之進(jìn)行聯(lián)系，形成一種思維習(xí)慣，這便是一種數(shù)感。填數(shù)練習(xí)還可以進(jìn)一步擴(kuò)展，如-=6與-6=，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)“6”與“4”的密切關(guān)系。這樣的填數(shù)練習(xí)，既是對20以內(nèi)減法的鞏固，又能讓學(xué)生跳出算法本身的桎梏，關(guān)注到數(shù)字本身，在頭腦中建立一組組相關(guān)聯(lián)的數(shù)字，如“7”與“3”，“6”與“4”。在今后更復(fù)雜的運(yùn)算中，學(xué)生如果將數(shù)字的這種關(guān)聯(lián)性進(jìn)行運(yùn)用，就會使得數(shù)感在運(yùn)算中不斷發(fā)展。（三）借助發(fā)散性的轉(zhuǎn)換建立式與式的關(guān)聯(lián)運(yùn)算教學(xué)螺旋上升，學(xué)生并不是不斷學(xué)習(xí)新的算法，而是不斷地將新的運(yùn)算轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的運(yùn)算。如一年級100

15、以內(nèi)進(jìn)位加法可以轉(zhuǎn)化成20以內(nèi)進(jìn)位加法來計(jì)算，今后要學(xué)的多位數(shù)加法可以轉(zhuǎn)換成100以內(nèi)加法進(jìn)行計(jì)算等。轉(zhuǎn)換的方式具有多樣性，如在計(jì)算“24+9”就有多種轉(zhuǎn)換方法：方法一，先算“4+9=13”，再算“20+13=33”；方法二，先算“24+6=30”，再算“30+3=33”；方法三，先算“29+1=30”，再算“30+3=33”；方法四，“24+10=34，34-1=33”等。這些算法都將進(jìn)位加法進(jìn)行拆分和重組，都是建立在很多已知算式的基礎(chǔ)之上進(jìn)行計(jì)算的。開展發(fā)散性的轉(zhuǎn)換訓(xùn)練，讓學(xué)生將一個(gè)算式進(jìn)行多角度的轉(zhuǎn)換，有助于學(xué)生建立算式之間的關(guān)聯(lián)，在復(fù)雜的計(jì)算中靈活選用算法，提高計(jì)算的速度和正確率，發(fā)展

16、數(shù)感。在不改變運(yùn)算結(jié)果的前提下，學(xué)生根據(jù)數(shù)字之間的關(guān)系，不斷變換觀察角度，將比較復(fù)雜的計(jì)算轉(zhuǎn)換成簡單的心算（如圖十三、十四）。轉(zhuǎn)換訓(xùn)練可以由學(xué)生獨(dú)立完成，訓(xùn)練學(xué)生的思維廣度；也可以由一個(gè)學(xué)習(xí)小組成員共同完成，分享彼此的成果。在不斷求異的轉(zhuǎn)換中，學(xué)生對數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系有了更敏銳的感覺，并把這種感覺應(yīng)用于式的運(yùn)算中，建立式與式的關(guān)聯(lián)。學(xué)生的數(shù)感在這種訓(xùn)練中不斷發(fā)展。三、在解決實(shí)際問題中增強(qiáng)數(shù)感運(yùn)算與解決問題緊密相連，因此我們要引導(dǎo)學(xué)生依托具體的情境來理解運(yùn)算的含義，在解決問題的過程中掌握運(yùn)算技能。學(xué)生解決一個(gè)問題需要經(jīng)歷提取信息、選擇算法、得出結(jié)論這一基本過程。在這一過程中，理解數(shù)的含義，提取數(shù)量關(guān)系，得出結(jié)論需要學(xué)生綜合運(yùn)用對數(shù)的認(rèn)識、數(shù)的運(yùn)算以及對數(shù)量關(guān)系的把握等知識。學(xué)生的數(shù)感在解決問題中得到體現(xiàn)并增強(qiáng)。圖十五是人教版一年級下冊P80的一道題，一群小朋友圍在桌子旁邊分蛋糕，桌子上放著3盤蛋糕，每盤都是6個(gè)，一個(gè)小朋友說，分給17個(gè)小朋友，問：每個(gè)小朋友分一塊，夠嗎？圖中只出現(xiàn)了11個(gè)小朋友，而小朋友說要分給17個(gè)小朋友，學(xué)生首先需要對人數(shù)做出判斷。要知道每個(gè)小朋友分一塊夠不夠，可以將人數(shù)與蛋糕的數(shù)量進(jìn)行比較，根據(jù)比較結(jié)果做出判斷。學(xué)生能夠把握將人數(shù)和蛋糕數(shù)進(jìn)行比較來做出判斷的基本思路，根據(jù)個(gè)人對題目中“3個(gè)6”“18”“17”這幾個(gè)數(shù)的特征的把握，綜合