高數(shù)上課件不等式的證明

1、機目上下返結(jié)第四機目上下返結(jié)第四一、利用單調(diào)性證明例1證明當x0時,證: 令ff則),f(xf 2ln2 x一、利用單調(diào)性證明例1證明當x0時,證: 令ff則),f(xf 2ln2 x1x x2xf)2x 1f 列表判別x(,0時0,21)2 .f 0即(x0機目上下返結(jié)ln( x).則(0 x例證1證: 設(shè)(x) 11ln( x).則(0 x例證1證: 設(shè)(x) 11(x)x)ln1x2x 0時(x)單調(diào)增加)0)(xxx即1ln( 1x x(時如何設(shè)輔思考證函數(shù)更好1 arcsin 提示(x)(1x)ln(1機目上下返結(jié)且上例設(shè)存在且單有遞減證明對一則證設(shè) f且上例設(shè)存在且單有遞減證明對一

2、則證設(shè) f(ax) f(x)所以令得機目上下返結(jié)即所證不等式成立常數(shù)變異二、利用中值定理證1.利用Lagrange在ab上連續(xù)ab內(nèi)可導(dǎo)，則設(shè)函f（1）ff二、利用中值定理證1.利用Lagrange在ab上連續(xù)ab內(nèi)可導(dǎo)，則設(shè)函f（1）ffMba（2）f ffbafbafff fba機目上下返結(jié)例設(shè)函在在內(nèi)有界b再取異x0 內(nèi)可導(dǎo)證0證取b), 例設(shè)函在在內(nèi)有界b再取異x0 內(nèi)可導(dǎo)證0證取b), 點得為端點的區(qū)間上用Lagrange定理 f )(xx0)(0f()(xx0f(xfffx000()xba) (定數(shù)可機目上下返結(jié)見對任意b),f即得所證2.利用Cauchy設(shè)a0 x y ,證明例2

3、cosx2.利用Cauchy設(shè)a0 x y ,證明例2cosxcosyaxlnaxay分析令在上滿足中值定理條件在0單調(diào)增2 0 單調(diào)2 機目上下返結(jié)例函的二階導(dǎo)證明故證連續(xù)由于函f(x)例函的二階導(dǎo)證明故證連續(xù)由于函f(x)一階Maclaurin公f(x) f 0 f0機目上下返結(jié)例1.（法二）證明利用Taylor2 xf(1 f(x)(xf(xf 2例1.（法二）證明利用Taylor2 xf(1 f(x)(xf(xf 2則),f1x x2xf)x2 2 x f 處的二階Taylor公式 在得 f)3x )2xfxx210,3)(x31之間故所證不等式成立機目上下返結(jié)上二階可導(dǎo)在例設(shè)函且證證

4、fx0,1由公式)2f f0 f(x212f(上二階可導(dǎo)在例設(shè)函且證證fx0,1由公式)2f f0 f(x212f(xx() 兩式相減22)x2f1222 )x2f(xf)(1 f122f)2 x21222(x0,機目上下返結(jié)三、利用凹凸性證明220 x.例6證明,F(x證(22三、利用凹凸性證明220 x.例6證明,F(x證(22是凸函即)F(x)(22機目上下返結(jié)四、利用最值證明不例1.（法三）利用極值第二判別(x)1四、利用最值證明不例1.（法三）利用極值第二判別(x)1,fx)的唯一極小為x2 y)ln)2f(1 也是最小值x( )0,因此x 0(x即1機目上下返結(jié)例6證明:當x0時，對任意a例6證明:當x0時，對任意a0,12axx2ex.證fxexfxex2a2xfxxln