初二數(shù)學(xué)秋季講義 第13講.幾何綜合 教師版

1、PAGE 14初二秋季初二秋季第13講提高班教師版PAGE 15PAGE 1名校期末試題點(diǎn)撥幾何部分13名校期末試題點(diǎn)撥幾何部分13題型一：全等三角形與軸對稱題型一：全等三角形與軸對稱思路導(dǎo)航思路導(dǎo)航全等三角形是初中幾何學(xué)習(xí)中的重要內(nèi)容之一，是今后學(xué)習(xí)其他知識的基礎(chǔ)。判斷三角形全等的公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL（直角三角形），如果所給條件充足，則可直接根據(jù)相應(yīng)的公理證明，但是如果給出的條件不全，就需要根據(jù)已知的條件結(jié)合相應(yīng)的公理進(jìn)行分析，先推導(dǎo)出所缺的條件，引出相應(yīng)的輔助線然后再證明。一、常見輔助線的作法有以下幾種：1. 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題

2、，思維模式是全等變換中的“對稱”；2. 若遇到三角形的中線，可倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”；3. 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對稱”，所考知識點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理；4. 過圖形上某一點(diǎn)作特定的平行線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”；5. 截長法與補(bǔ)短法，具體作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的

3、題目。二、常見模型1.最值問題：“將軍飲馬”模型；2. 全等三角形經(jīng)典模型：三垂直模型、手拉手模型、半角模型以及雙垂模型等。三、尺規(guī)作圖部分地區(qū)會考察尺規(guī)作圖，難點(diǎn)在于構(gòu)造軸對稱圖形解決幾何問題。典題精練典題精練如下左圖，把ABC沿EF對折，疊合后的圖形如圖所示若A=60，1=95，則2的度數(shù)為（）（2013海淀期末）A24 B25 C30 D35 長為20，寬為a的矩形紙片（10a20），如上右圖那樣折一下，剪下一個邊長等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于此時(shí)矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復(fù)操作下去，若在第n次操作后，剩下的矩形為

4、正方形，則操作停止當(dāng)n=3時(shí)，a的值為 【解析】A=60，AEF+AFE=180-60=120，F(xiàn)EB+EFC=360-120=240，由折疊可得：BEF+EFC=FEB+EFC=240，1+2=240-120=120，1=95，2=120-95=25，故選：B由題意，可知當(dāng)10a20時(shí)，第一次操作后剩下的矩形的長為a，寬為20-a，所以第二次操作時(shí)剪下正方形的邊長為20-a，第二次操作以后剩下的矩形的兩邊分別為20-a，2a-20此時(shí)，分兩種情況：如果20-a2a-20，即a，那么第三次操作時(shí)正方形的邊長為2a-20則2a-20=（20-a）-（2a-20），解得a=12；如果20-a2a-

5、20，即a，那么第三次操作時(shí)正方形的邊長為20-a則20-a=（2a-20）-（20-a），解得a=15當(dāng)n=3時(shí)，a的值為12或15故答案為：12或15如圖所示，在長方形ABCD稱軸l上找點(diǎn)P，使得PAB、PBC均為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)P有（ ）A1個 B3個 C5個 D6個【解析】C已知，橫線和豎線相交的點(diǎn)叫做格點(diǎn)，P、A、B為格點(diǎn)上的點(diǎn)，A、B的位置如圖所示，若此三點(diǎn)能夠構(gòu)成等腰三角形，P點(diǎn)有 種不同的位置？【解析】12種，如下圖所示： 如圖1，在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)P，使BP+PE的值最?。?如圖2，正方形ABCD的邊長為2，E

6、為AB的中點(diǎn)，在AC上找一點(diǎn)P，使PB+PE的值最??； 如圖3，O的半徑為2，點(diǎn)A、B、C在O上，OAOB，AOC=60，P是OB上一動點(diǎn)，求PA+PC的最小值； 如圖4，在四邊形ABCD的對角線AC上找一點(diǎn)P，使APB=APD保留作圖痕跡，不必寫出作法作點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，故BP+PE的最小值為；連接BD，由正方形對稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對稱連接ED交AC于P，則PB+PE的最小值是；作A關(guān)于OB的對稱點(diǎn)A，連接AC，交OB于P，PA+PC的最小值即為AC的長，AOC=60，AOC=120，作ODAC于D，則AOD=60，O

7、A=OA=2，AD=，AC=如圖4，首先過點(diǎn)B作BBAC于O，且OB=OB，連接DB并延長交AC于P，由AC是BB的垂直平分線，可得APB=APD如圖1，在中，的平分線交于點(diǎn)，點(diǎn)為上一動點(diǎn)，過點(diǎn)作直線于，分別交直線于點(diǎn). = 1 * GB2 當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)（如圖2），證明：； = 2 * GB2 當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，寫出和之間的等量關(guān)系，并加以證明； = 3 * GB2 請直接寫出之間的等量關(guān)系. （海淀期末考試） = 1 * GB2 證明：連接.平分，.直線于，.是線段的中垂線.，. = 2 * GB2 如圖，當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，和之間的等量關(guān)系為.證明：過點(diǎn)作交于.由（1）可得，.過點(diǎn)作交直線于.，.是

8、中點(diǎn)，.在和中，. = 3 * GB2 之間的等量關(guān)系：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，.題型二題型二：直角三角形與勾股定理思路導(dǎo)航思路導(dǎo)航一、直角三角形的性質(zhì) 1. 直角三角形的兩個銳角互余；2. 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；3. 直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積，即ab=ch；4. 勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即；5. 在直角三角形中，30角所對的直角邊等于斜邊的一半（或含30的直角三角形三邊之比為1：2）；6. 含45角的直角三角形三邊之比為1：1：二、直角三角形的判定1. 有一個角為90的三角形是直角三角形

9、；2. 兩個銳角互余的三角形是直角三角形；3. 勾股定理的逆定理：在以a、b、c為邊的三角形中，若，則這個三角形是以c為斜邊的直角三角形；4. 一個三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是以這條邊為斜邊的直角三角形典題精練典題精練在給定的圖形內(nèi)作一條折線AB1C1D1E，使AB1AB，B1C1BC，C1D1CD，D1EDE，且A，B，C，D，E，B1，C1，D1都是格點(diǎn)【解析】如圖，AC=AB，DC=DB，CAB=60，CDB=120，E是AC上一點(diǎn)，F(xiàn)是AB延長線上一點(diǎn)，且CE=BF 思考驗(yàn)證：求證：DE=DF；在圖1中，若G在AB上且EDG=60，試猜想CE、EG、BG之

10、間的數(shù)量關(guān)系并證明；探究應(yīng)用：運(yùn)用解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識，完成下題：如圖2，ABC=90，CAB=CAD=30，E在AB上，DEAB，且DCE=60，若AE=3，求BE的長【解析】A+C+CDB+ABD=360，A=60，CDB=120，C+ABD=180，ABD+DBF=180，C=DBF，在DEC和DFB中，DECDFB，DE=DFCE+BG=EG，證明：連接DA，在ACD和ABD中ACDABD，CDA=BDA=60，EDG=EDA+ADG=ADG+GDB=60，CDE=ADG，EDA=GDB，BDF=CDE，GDB+BDF=60，即GDF=60在DGF和DGE中DGFDEG，F(xiàn)G=EG

11、，CE=BF，CE+BG=EG過C作CMAD交AD的延長線于M，在AMC和ABC中AMCABC，AM=ABCM=CB，由可知：DM+BE=DE，AE=3，AED=90，DAB=60，AD=6，由勾股定理得：DE=DM=AB-6=BE+3-6=BE-3，BE-3+BE=，即BE=已知等腰三角形ABC中，ACB=90，點(diǎn)E在AC邊的延長線上，且DEC=45，點(diǎn)M、N分別是DE、AE的中點(diǎn)，連接MN交直線BE于點(diǎn)F當(dāng)點(diǎn)D在CB邊的延長線上時(shí)，如圖1所示易證：MF+FN=BE當(dāng)點(diǎn)D在CB邊上時(shí)，如圖2所示，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給與證明；若不成立，請寫出你的猜想，并說明理由當(dāng)點(diǎn)D在BC邊的延長線

12、上時(shí)，如圖3所示，請寫出你的結(jié)論，并說明理由【解析】答：不成立，猜想：FN-MF=BE，理由如下：證明：如圖2，連接AD，M、N分別是DE、AE的中點(diǎn)，MN=AD，又在ACD與BCE中，ACDBCE（SAS），AD=BE，MN=FN-MF，F(xiàn)N-MF=BE；圖3結(jié)論：MF-FN=BE，證明：如圖3，連接AD，M、N分別是DE、AE的中點(diǎn)，MN=AD，在ACD與BCE中，ACDBCE（SAS），AD=BE，MN=BE，MN=FM-FN，MF-FN=BE思維拓展訓(xùn)練(選講)思維拓展訓(xùn)練(選講)如圖所示，是一個臺球桌面，有黑白兩球分別置于兩點(diǎn)的位置上，試問怎樣撞擊黑球，經(jīng)桌面連續(xù)反彈后，準(zhǔn)確擊中白球

13、？（寫出作法并畫圖） 如圖，在銳角ABC中，的平分線交于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動點(diǎn)，則BM+MN的最小值是_ 如圖所示：分別作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連結(jié)與交于兩點(diǎn).折線就是白球的運(yùn)動路徑.（可由對稱證明角度相等，類似于物理中的鏡面反射問題） 過作，與交點(diǎn)即為，過作，垂足即為，又垂線段最短，為最短距離，長為.如圖，在ABC中，ACBC，ACB90. 將ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，得到A1B1C，連結(jié)BB1，設(shè)B1C交AB于D，A1B1分別交AB、AC于E、F 當(dāng)時(shí)，如圖1，請?jiān)诓惶砑尤魏尉€段的情況下，找出一對全等三角形，并加以證明（ABCA1B1C除外）； 在的條件下，當(dāng)BB1D是等腰三角形時(shí)

14、，求； 當(dāng)時(shí)，如圖2，求證：A1CF BCD. （三帆期中） 答案不唯一，例如：， 由題意得 ，又在中，只能有，即解得 , A1CF BCD.已知如圖，AB=AC，PB=PC，PDAB，PEAC，垂足分別為D、E . 求證：PD=PE； 若，,求四邊形的面積. 證明：連接,在和中， ABAC，PBPC，=，（）,是的平分線；又PDAB，PEAC，垂足分別為D、EPDPE（角平分線上點(diǎn)到角的兩邊距離相等） 解：PDAB，, 是等腰直角三角形.設(shè)，則，在直角中，由勾股定理，整理得：，.四邊形的面積=2的面積= 如圖，等腰直角三角形分別沿著某條直線對稱得到圖形、若上述對稱關(guān)系保持不變平移，使得四個圖

15、形能夠拼成一個重疊且無縫隙的正方形，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)和正方形的邊長為（ ） （海淀期末）A BC D如圖，ABC中，ABBC，B120，AB的垂直平分線交AC于D. 試猜想AD與DC間的數(shù)量關(guān)系，并證明. D 連結(jié)BD，證，可得復(fù)習(xí)鞏固復(fù)習(xí)鞏固如圖，正方形紙片的邊長為1，分別是、 邊上的點(diǎn)，將紙片的一角沿過點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)落在上， 落點(diǎn)記為，折痕交于點(diǎn)若、分別是、邊的中點(diǎn)， 則_；若、分別是、邊上距最近的等 分點(diǎn)（，且為整數(shù)），則_（用含有的式子表示）（北京中考）如圖，為內(nèi)一點(diǎn)，平分， ， 若，則的長為（ ）A1 B1.5C2 D2.5，（，且為整數(shù)） A（提示：延長BD） 如圖，是等腰三角形，

16、是角平分線，以為邊向外作等邊三角形，分別與、交于點(diǎn)、點(diǎn)，連接 求證：； 若，求線段的長 (實(shí)驗(yàn)期末) ，是角平分線，是中點(diǎn) ，由題意創(chuàng)新的力量20世紀(jì)40年代，美國有許多制糖公司向南美洲出口方糖，因方糖在海運(yùn)中會有受潮現(xiàn)象，這給公司帶來巨大損失。公司花了不少錢請專家研究，但始始終未解決這個問題。后來，有一位名叫科魯索的制糖工人，想出一個簡單的防潮方法：只要在包裝紙上開一個小孔，使空氣能夠?qū)α?，方塊糖就不會受潮了。其原理其實(shí)就像是大廳里開個排氣孔和人們穿留有適當(dāng)孔隙材質(zhì)的衣服比較舒適一樣。它雖然十分簡單，但不容易被人想到。創(chuàng)新的力量20世紀(jì)40年代，美國有許多制糖公司向南美洲出口方糖，因方糖在海運(yùn)中會有受潮現(xiàn)