初中數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維能力培養(yǎng)案例分析2010.12課件

1、 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中 創(chuàng)新性思維培養(yǎng)的案例分析 引言 全國(guó)科技大會(huì)上指出：“創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步的靈魂，是國(guó)家興旺發(fā)達(dá)的不竭動(dòng)力。一個(gè)沒(méi)有創(chuàng)新能力的民族難于屹立于世界民族之林?！薄敖?chuàng)新型國(guó)家?！?教育部的一個(gè)報(bào)告指出： “實(shí)施素質(zhì)教育重點(diǎn)是改變教育觀念，尤其是要以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造精神為主?！?創(chuàng)造性人才的創(chuàng)造活動(dòng)是在相應(yīng)的創(chuàng)造性思維的支配下，所進(jìn)行的一種積極的能動(dòng)的活動(dòng)。創(chuàng)造性思維是一切創(chuàng)造活動(dòng)的核心和靈魂。著名數(shù)學(xué)家JP塞爾指出： “關(guān)于學(xué)生，關(guān)鍵是要讓他們明白數(shù)學(xué)是活生生的，而不是僵死的，講數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)方法有個(gè)缺陷，即教師從不提及這類(lèi)問(wèn)題，這很可惜。在數(shù)論中有許多這類(lèi)問(wèn)題，十幾歲的孩子

2、就能很好地理解它們：當(dāng)然包括費(fèi)馬大定理，還有哥德巴赫猜想。你可以隨意講一些定理而不加證明 因此我認(rèn)為：數(shù)學(xué)教學(xué)不但應(yīng)該傳授數(shù)學(xué)知識(shí)，還應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。一、歸納思維 歸納是人類(lèi)賴(lài)以發(fā)現(xiàn)真理的基本的、重要的思維方法?！霸跀?shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具和手段是歸納和類(lèi)比?！?著名數(shù)學(xué)家高斯曾說(shuō)：“我的許多發(fā)現(xiàn)都是靠歸納取得的?！?歸納是在通過(guò)多種手段（觀察、實(shí)驗(yàn)、分析）對(duì)許多個(gè)別事物的經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，總結(jié)出原理或定理。歸納是從觀察到一類(lèi)事物的部分對(duì)象具有某一屬性，而歸納出該事物都具有這一屬性的推理方法?；蛘哒f(shuō)，歸納思維就是要從眾多的事物和現(xiàn)象中找出共性和本質(zhì)的東西的抽象化思維。也可

3、以說(shuō)，歸納是在相似中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，由個(gè)別中發(fā)現(xiàn)一般。 從數(shù)學(xué)的發(fā)展可以看出，許多新的數(shù)學(xué)概念、定理、法則、的形式，都經(jīng)歷過(guò)積累經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程，從大量觀察、計(jì)算,然后歸納出其共性和本質(zhì)的東西，例如：哥德巴赫猜想，費(fèi)馬猜想，素?cái)?shù)定理等。1 1 1 1 2 11 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 宋朝數(shù)學(xué)家楊輝1261年寫(xiě)的詳解九章算法*就解釋了上述系數(shù)三角形的構(gòu)造法，并說(shuō)賈憲用此術(shù)。楊輝三角形 科爾莫哥洛夫在我是如何成為數(shù)學(xué)家中說(shuō)：我在6、7歲時(shí)我已經(jīng)感受到數(shù)學(xué)歸納發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣，例如，我注意到下邊的等式： 他的這個(gè)發(fā)現(xiàn)，后來(lái)被刊登在春燕雜志上。問(wèn)題

4、：考察表 按照上述算例找出它們的一般規(guī)律，并用適當(dāng)數(shù)學(xué)式子表示出來(lái)，而且試證明它。問(wèn)題：下述結(jié)論是否成立？教學(xué)中如何培養(yǎng)歸納思維（2）提出延伸性問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究。案例2 問(wèn)題1-3蘋(píng)果一個(gè)農(nóng)夫按照正方形的規(guī)律種植蘋(píng)果樹(shù)。為了保護(hù)果樹(shù)免受強(qiáng)風(fēng)侵襲，他在果園的周?chē)苑N了針葉樹(shù)。下面是栽種情況的示意圖，根據(jù)蘋(píng)果樹(shù)的行數(shù)（n），你可以看到蘋(píng)果樹(shù)和針葉數(shù)的種植規(guī)律。請(qǐng)完成下表：?jiǎn)栴}2：蘋(píng)果 你可以用以下兩條公式，計(jì)算出上述方式所種植的蘋(píng)果樹(shù)和針葉數(shù)的棵樹(shù)：蘋(píng)果樹(shù)的棵樹(shù)針葉樹(shù)的棵樹(shù)n是蘋(píng)果樹(shù)的行數(shù)。若n等于某個(gè)數(shù)值時(shí)，蘋(píng)果樹(shù)的棵數(shù)與針葉樹(shù)的棵數(shù)便會(huì)相等?，F(xiàn)試求出這個(gè)n的數(shù)值，并說(shuō)明計(jì)算方法。問(wèn)題3

5、：蘋(píng)果假設(shè)這個(gè)農(nóng)夫要建一個(gè)更大、可以種植更多果樹(shù)的果園。當(dāng)他擴(kuò)建果園時(shí)，哪一種樹(shù)的棵數(shù)會(huì)增加的較快？請(qǐng)解釋你是如何找到答案的。教學(xué)中如何培養(yǎng)歸納思維（1）設(shè)計(jì)有趣的活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生在游戲中探索規(guī)律（2）提出延伸性問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究。（3）引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)探究中的關(guān)鍵點(diǎn)和方法進(jìn)行總結(jié)，掌握數(shù)學(xué)探究 的辦法。 2. 一種合情推理的方法,歸納推理的結(jié)論未必正確. 案例4： 歸納推理 08年 3. 歸納法分兩種： 不完全歸納（根據(jù)對(duì)特殊情況的考查而得出一般的結(jié)論） 完全歸納（根據(jù)對(duì)所有情況的考查而得出的判斷） 案例3: 圓周角.doc 案例3的價(jià)值：（1）一個(gè)完全歸納的例子；（2）多種數(shù)學(xué)思維方法應(yīng)

6、用； （3）教學(xué)設(shè)計(jì)中的問(wèn)題： 被新穎性遮蔽的情境設(shè)計(jì)的合理性； 歸納思維探索過(guò)程的展示； 重要思維方法的使用和總結(jié) 類(lèi)比為人們思維過(guò)程提供了更廣闊的“自由創(chuàng)造”的天地，使它成為科學(xué)研究中非常有創(chuàng)造性的思維形式，從而受到了很多著名科學(xué)家的重視與青睞。例如： 著名天文學(xué)、數(shù)學(xué)家開(kāi)普勒說(shuō)： “我珍視類(lèi)比勝于任何別的東西，它是我最可信賴(lài)的老師它能揭示自然的奧秘?！?在平面解析幾何中直線(xiàn)的截距式是：在平面解析幾何中,兩點(diǎn)的距離是： 在空間解析幾何中,兩點(diǎn)的距離是： 在空間解析幾何中平面的截距式是： 在平面解析幾何中圓的方程是： (x-a)2+(y-b)2=R2 在空間解析幾何中球面的方程是: (x-a

7、)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 等等。 ZZ=XX+YY52=32+42Z3 = x3 + Y3 (X,Y,Z 為正整數(shù))=zxy+公元972年阿拉伯人阿爾科但第（Alkhodjidi)Zn = n+ Yn (n2)(Wiles 1994) 實(shí)踐證明：在學(xué)習(xí)過(guò)程中，將新內(nèi)容與自己已經(jīng)熟悉的知識(shí)。進(jìn)行類(lèi)比，不但易于接受、理解、掌握新知識(shí)，更重要的是：培養(yǎng)、鍛煉了自己的類(lèi)比思維，有利于開(kāi)發(fā)自己的創(chuàng)造力。（費(fèi)馬猜想） 教學(xué)中如何培養(yǎng)類(lèi)比思維案例5 不等式的性質(zhì)等式的性質(zhì) 一次方程的解法一次不等式的解法 分式分?jǐn)?shù)； 線(xiàn)段 數(shù)； 二次函數(shù)一次函數(shù)； 定義的類(lèi)比，平行直線(xiàn)平行平面類(lèi)比推理： 由兩類(lèi)

8、對(duì)象具有某些類(lèi)似特征和其中一類(lèi)對(duì)象的某些已知特征，推出另一類(lèi)對(duì)象也具有這些特征的推理稱(chēng)為類(lèi)比推理。波利亞：類(lèi)比是一個(gè)偉大的引路人。類(lèi)比推理大致模式案例6：類(lèi)比推理根據(jù)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)類(lèi)比探究活動(dòng)尋找類(lèi)比對(duì)象比較分析猜想驗(yàn)證成解釋分式教學(xué)的類(lèi)比探究（1）分式與我們?cè)?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的什么內(nèi)容相似？（2）你從哪些方面發(fā)現(xiàn)它們相似？（3）根據(jù)你的經(jīng)驗(yàn)，我們下面應(yīng)該進(jìn)行什么研究？如何研究？（4）總結(jié)：這節(jié)課學(xué)習(xí)了分式的什么性質(zhì)？同學(xué)們是通過(guò)什么方法進(jìn)行研究的？你過(guò)去有類(lèi)似的學(xué)習(xí)經(jīng)歷嗎？ 教學(xué)中應(yīng)注意：（1）不能把數(shù)學(xué)知識(shí)作為預(yù)先確定了的東西教給學(xué)生，不應(yīng)把教育者對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)正確性的強(qiáng)調(diào)作為學(xué)生接受它的理由，學(xué)生對(duì)數(shù)

9、學(xué)知識(shí)的獲取應(yīng)靠自己的探索和建構(gòu)來(lái)完成，以他自己的經(jīng)驗(yàn)、信念為背景來(lái)分析知識(shí)的合理性。（2）通過(guò)類(lèi)比探究的數(shù)學(xué)活動(dòng)使學(xué)生積累數(shù)學(xué)思考的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)化，豐富對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的情感體驗(yàn)。（3）經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基本的思維方法。（4）對(duì)探究過(guò)程進(jìn)行小結(jié),體會(huì)數(shù)學(xué)的思考方法在解題中作用培養(yǎng)類(lèi)比思維應(yīng)注意什么？ 合情推理的一種。關(guān)鍵是找到兩個(gè)對(duì)象內(nèi)部屬性、關(guān)系的具有某些方面相似 維數(shù)的類(lèi)比（距離、重心） 教學(xué)中注意分析事物研究對(duì)象的本質(zhì)屬性，進(jìn)行有效的比較，教師應(yīng)具有發(fā)散思想，鼓勵(lì)學(xué)生敢于在類(lèi)比中猜想，培養(yǎng)直覺(jué)思維。 三、發(fā)散思維 所謂具有發(fā)散特性的思維是指信息處理的途徑靈活多變，求結(jié)果的

10、豐富多樣。它是一種開(kāi)放性的立體思維，即圍繞某一問(wèn)題，沿著不同方向去思考探索，重組眼前的信息和記憶中的信息，產(chǎn)生新的信息并獲得解決問(wèn)題的多種方案。因此，也把發(fā)散思維稱(chēng)為求異思維。它是一種重要的創(chuàng)造性思維。 用“一題多解”，“一題多變”等方式，發(fā)散式地思考問(wèn)題。 數(shù)學(xué)中“一題多解”最著名的例子,是幾何學(xué)中關(guān)于“勾股定理”的證法。 勾股定理(被譽(yù)為“千古第一定理”): 一個(gè)直角三角形的斜邊c的平方等于另外兩邊(a,b)的平方和。即 a2 + b2 = c2 這個(gè)定理人們用不同的方法,給出了370多個(gè)證明。這個(gè)定理的重要性在于：1. 它是聯(lián)系“數(shù)”與“形”的第一個(gè)重要定理；2. 它導(dǎo)致了不可公約量的發(fā)

11、現(xiàn)（第一次數(shù)學(xué)危機(jī)）；3. 它開(kāi)始把數(shù)學(xué)由計(jì)算與測(cè)量的技術(shù)擴(kuò)大到證明與推理的科學(xué)；4. 它是最早得出完整解的不定方程，并引導(dǎo)到各式各樣的不定方程，包括費(fèi)馬大定理。1.在歐幾里得的中,給出了一種歐幾里得的證明:AHKCBDEFGIL因此同理兩式相加即得定理。2.我國(guó)趙爽(約222年)在的注釋中給出的證明：ab等于兩直角三角形的面積(b-a)2為中心正方形的面積，顯然，有2ab+(b-a)2=c2，化簡(jiǎn)，即可得證。ABCbcaa-b弦圖3.大正方形的面積: (a+b)2=a2+2ab+b2又等于: 4ab/2+c2=2ab+c2從而 得證.ababaabcc美國(guó)A.菲爾德總統(tǒng)：SABED=SBCE

12、 +SABC +SDCE4.最令人感興趣的證法之一 他證明時(shí),只是一位議員,是他和其他議員討論數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)想出來(lái)的,發(fā)表在新英格蘭教育雜志上 。5. 2000年12月1日山東青島市即墨一中高二六班李亮同學(xué)的證明:思考：他的證明對(duì)否？好不好？ACBDabcBD+AD=AB= c 案例7: 等腰三角形“正度” (1) 甲： |a-b|; 乙： |-|（）哪個(gè)方案較為合理，為什么？（）對(duì)你認(rèn)為不夠合理的方案加以改進(jìn)（）請(qǐng)?jiān)俳o出一種衡量“正度”的表達(dá)式案例7： 等腰三角形的“正度”問(wèn)題是基于學(xué)生知識(shí)基礎(chǔ)而設(shè)計(jì)的新問(wèn)題情境；有利于學(xué)生在新情境中進(jìn)行探索；真正考核學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能。案例8: 陸地的面積試運(yùn)用地

13、圖的比例尺，估計(jì)出南極洲的面積，并列出和說(shuō)明估計(jì)方法。 (若有需要,可以在地圖上表示出你的估計(jì)方法)發(fā)散思維可貴之處在于從不同角度開(kāi)拓思路 案例9 歐拉七橋問(wèn)題網(wǎng)絡(luò)幾何 發(fā)散思維的核心是要有廣博的知識(shí)，然后充分運(yùn)用各方面知識(shí)去解決問(wèn)題。 案例10 求幾何圖形的重心的問(wèn)題（物理的、幾何的），由于考慮問(wèn)題的背景不同，使用的解決問(wèn)題的工具不同，使得“一題多解”。 “一題多解”，“一題多變”希望得到它的優(yōu)化解，不要在過(guò)分追求技巧上花費(fèi)時(shí)間和精力。四、逆向思維 一位老太太有兩個(gè)女兒。大女兒嫁給雨傘店老板，小女兒當(dāng)了洗衣作坊的女主管。于是，老太太整天憂(yōu)心忡忡，逢上雨天，她擔(dān)心洗衣作坊的衣服晾不干；逢上晴天

14、，她怕傘店的雨傘賣(mài)不出去，日子過(guò)得很憂(yōu)郁。 后來(lái)有一位聰明的人勸她：老太太，你真好福氣，下雨天，你大女兒家生意興隆；大晴天，你小女兒家顧客盈門(mén)，哪一天你都有好消息啊。這么一說(shuō)，老太太生活的色彩竟煥然一新。一則小故事: 逆向思維（又稱(chēng)反向思維）是相對(duì)于習(xí)慣性思維的另一種思維形式。它的基本特點(diǎn)是從已有的思路的反方向去思考問(wèn)題。它對(duì)解放思想、開(kāi)闊思路、解決某些難題、開(kāi)創(chuàng)新的方向，往往能起到積極的作用。（1）如果遇到某些問(wèn)題順推不行，可以考慮逆推。（2）如果遇到某些問(wèn)題不能直接解決困難，想法用間接解決。（3）正命題研究過(guò)后，研究逆命題。（4）探討可能性發(fā)生困難時(shí)，轉(zhuǎn)而探討不可能性。 下面舉幾個(gè)數(shù)學(xué)中的

15、例子: 探討可能性發(fā)生困難時(shí)，轉(zhuǎn)而探討不可能性。 下面我們例舉數(shù)學(xué)史上兩個(gè)最有名的問(wèn)題：關(guān)于非歐幾何的發(fā)現(xiàn) 歐幾里得幾何原本第一卷中給出了五個(gè)公設(shè)，其中前四個(gè)簡(jiǎn)單明了，（前三個(gè)是作圖的規(guī)定，第四個(gè)是“凡直角都相等”），符合亞里士多德公理“自明性”的要求，唯獨(dú)第五公設(shè)不僅文字啰嗦，而且所肯定的事實(shí)也不明顯。 而且只有第5公設(shè)涉及到無(wú)限,這是人們經(jīng)驗(yàn)之外的東西. 歐幾里得： 三角形內(nèi)角和 = 兩直角 , 2r=c ， a2+b2=c2 羅巴切夫斯基：三角形內(nèi)角和 兩直角 , 2rc ， a2+b2 兩直角 , 2rc ，a2+b2c2 后來(lái)許多幾何理論都建立在改變和推廣歐幾里得幾何概念的基礎(chǔ)之上。

16、例如：1844年格拉斯曼建立的n維仿射空間和度量空間幾何。關(guān)于五次及五次以上代數(shù)方程根式求解問(wèn)題 在16世紀(jì)之前，數(shù)學(xué)家們就成功地找到了一般的一次、二次、三次、四次以及某些特殊的五次及五次以上代數(shù)方程的根式解法。如： 那么，一般五次及五次以上的代數(shù)方程是否也存在根式解法呢？ 這個(gè)問(wèn)題吸引著眾多的數(shù)學(xué)家，他們相信這種解法一定存在，包括：卡當(dāng)（Cardano）、韋達(dá)(Viete)、笛卡兒、牛頓、萊布尼茨、拉格朗日等等，但相繼經(jīng)歷了兩百多年的努力都未能找到解法。 阿貝爾從這種逆向思維出發(fā)，終于嚴(yán)格地證明了：一般五次及五次以上的方程不能用根式求解，不但徹底解決了這樁歷史懸案，并且進(jìn)而開(kāi)創(chuàng)了近世代數(shù)方程

17、的研究道路，包括群論和方程的超越函數(shù)解法。 逆向思維的基本特點(diǎn) 從已有思路的反方向去思考問(wèn)題。順推不行，考慮逆推；直接解決不行，想辦法間接解決;正命題研究過(guò)后，研究逆命題；探討可能發(fā)生困難時(shí)，考慮探討不可能性。它有利于克服思維定勢(shì)的保守性，它對(duì)解放思想、開(kāi)闊思路、發(fā)現(xiàn)新生事物，開(kāi)辟新的方向，往往能起到積極作用。 例如： 毒蛇、蝎子都令人生畏，但有人大膽地逆向思考，提出了以毒攻毒，結(jié)果制成了許多珍貴的藥品。 英國(guó)醫(yī)師琴納(Jener)發(fā)現(xiàn)牛痘能夠預(yù)防天花，實(shí)際上也是使用了逆向思維。 “圍魏救趙” (“36計(jì)”中的第2計(jì))桂陵（今長(zhǎng)垣縣西邊），大梁（今開(kāi)封）。大梁逆向思維間接證明是逆向思維的一種：

18、反證法案例11：七年級(jí)滲透“反證法”，九年級(jí)證明“過(guò)同一直線(xiàn)上三點(diǎn)不能作圓”，正式引入“反證法”。逆向應(yīng)用不等式性質(zhì) 案例12 若關(guān)于x的不等式（a-1）xa2-2的解集為x2，求a的值。 分析：根據(jù)不等式性質(zhì)3，從反方向進(jìn)行分析，得： a-10，且a2-2=2（a-1） 所求a值為a=0. 五、統(tǒng)計(jì)推斷在不確定中找出確定的規(guī)律去近似模擬兩方面： （1）用函數(shù)模擬數(shù)據(jù) 案例13： 一次函數(shù)中，奧運(yùn)選手成績(jī)預(yù)測(cè) 案例14： 二次函數(shù)中，剎車(chē)距離與剎車(chē)速度的關(guān)系 （2） 統(tǒng)計(jì)推斷：核心：用部分估計(jì)總體；保證：抽樣的隨機(jī)性和樣本的大小。 數(shù)據(jù)分布的估計(jì)；特征數(shù)的估計(jì)。統(tǒng)計(jì)推斷培養(yǎng)統(tǒng)計(jì)推斷能力應(yīng)注意的問(wèn)題 收集數(shù)據(jù)（將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題數(shù)學(xué)化的問(wèn)題） 分析數(shù)據(jù)（抽樣的隨機(jī)性，統(tǒng)計(jì)圖的誤讀）案例15：風(fēng)景區(qū)收費(fèi)有沒(méi)有變化？影響創(chuàng)新的原因（1）外界對(duì)上海中學(xué)生pisa測(cè)試奪冠評(píng)價(jià) 應(yīng)試教育“剝奪中國(guó)孩子的創(chuàng)造力” （2）眼界不寬，沒(méi)有創(chuàng)新的思路，找不到創(chuàng)新的入口 “阻止市場(chǎng)中買(mǎi)賣(mài)雙方有效配對(duì)的障礙分析” 獲獎(jiǎng)的啟示 研究：“60歲以后情商會(huì)增加”的啟示建 議 （1）解放學(xué)生的手，多種感官參與學(xué)習(xí) 案例16： 拼圖04年中考 拼圖09年中考 （2）解放學(xué)生的思想 案例17：決策方案 （3）組織學(xué)生多看課外書(shū)（如“閱讀與思考”）， 將學(xué)生從習(xí)題中