正態(tài)分布和線性回歸

1、專題：正態(tài)分布和線性回歸基礎(chǔ)知識(shí)回顧正態(tài)分布：若總體密度曲線就是或近似地是函期=二-燃2, x e(-8, +疽的圖象2no其中：n是圓周率；e是自然對(duì)數(shù)的底；x是隨機(jī)變量的取值旦為正態(tài)分布的平均值2是 正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差.這個(gè)總體是無(wú)限容量的抽樣總體，其分布叫做正態(tài)分布.正態(tài)分布由參 數(shù)旦Q唯一確定，記相 N(四q2) ,E(& )=旦,D(& ) = Q 2.函數(shù)f(x)圖象被稱為正態(tài)曲線.從形態(tài)上看，正態(tài)分布是一條單峰、對(duì)稱呈鐘形的曲線其對(duì)稱軸為乂=口，并在x=p時(shí)取 .最大值(2)從x=p點(diǎn)開始，曲線向正負(fù)兩個(gè)方向遞減延伸，不斷逼近軸，但永不與x軸相 交因此說(shuō)曲線在正負(fù)兩個(gè)方向都是以軸為

2、漸近線的(3)當(dāng)廉勺值一定時(shí)。越大曲線越矮 胖”，總體分布越分散；。越小，曲線越“高”總體分布越集中.把如N(0,1)即p=0/o=1稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，這樣的正態(tài)總體稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體其密度函正值數(shù)為f (x)=碧 -丁，x(-8, +8)，相應(yīng)的曲線稱為標(biāo)準(zhǔn) 態(tài)曲線.正值4 .利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可求得標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在某一區(qū)間內(nèi)取 的概率對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N(0,1),(x )是總體取值小于x的概率，即：中(x ) = P(x 0，其值可以通過(guò)“標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表”查得，也就是圖中陰影部分的面積，它表示 總體取值小于工的概率.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線關(guān)于7軸對(duì)稱。因?yàn)楫?dāng)x 0時(shí)，中(x ) = P(x x );而當(dāng)

3、x0 0時(shí)，根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)可得二(x0) = 1 -(-：)，并且可以求得在任一區(qū)間1 x2)內(nèi)取值的概率 P(xi x x2) = 0(x2) -0(xi)，顯然(0) = 0.5.對(duì)于任一正態(tài)總俺n3，b2)，都可以通過(guò)!=使之標(biāo)準(zhǔn)俯-N(0,1)，那么bP(& v x) = P(n 1 ) = o( 1)，求得其在某一區(qū)間內(nèi)取值的概率bb例如：&中1,4)那么設(shè)門=，則門 N(0,1)有 PG 3) = P(n 1)=(1)=0.8413. 2(1)=0.8413、(2)=0.9772 (3)=0.9987二例題下面給出三個(gè)正態(tài)總體的函數(shù)表示式，請(qǐng)找出其均值口和標(biāo)準(zhǔn)差。.f(x) =

4、 -e-；，(-8x+8 ).2兀f(x) = e4 ,(-8x+8 )22兀2f(x)= =e-2(x+1)2 , ( -8x +8 )2兀正態(tài)總體的函數(shù)表示式是f(x) =e-2(x+1)2 , (-8x +8) ( 1 )求f(x)的最大值；偵2兀利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)說(shuō)明其單調(diào)區(qū)間，以及曲線的對(duì)稱軸.3利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表(1)=0.8413、(2)=0.9772(3)=0.9987求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在下面 區(qū)間取值的概率.(0,1)；(1,3);(-1,2).4利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表(0(1)=0.8413、(1.84)=0.9671),求正態(tài)總體在下面區(qū)間取值的概 率.在 N(1,4)T，求 F(

5、3)在 n3，b 2)下，求 P(p-1.84oXC),則。等于()(A)0(B)p(C)中(D)。正態(tài)總體的概率密度函數(shù)沏=二e-1 x (-氣+8),則總體的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別是優(yōu)兀(A)0 和 8(B)0 和 4(C)0 和 2(D)0 和&填空題 TOC o 1-5 h z 若隨機(jī)變量ZN(1,0.25測(cè)2Z的概率密度函數(shù)為.期望為2,方差為2兀的正態(tài)分布的密度函數(shù)是.已知正態(tài)總體落在區(qū)間0.2,+8)的概率是0.5則相應(yīng)的正態(tài)曲線)在x=時(shí)達(dá)到最 高點(diǎn).已知 ZN(0,1),PZ1.96)=e(1.96)=0.9750則 e(-1.96)=.(5)某種零件的尺寸服從正態(tài)分布N(0,4

6、)則不屬于區(qū)間(-4,4)這個(gè)尺寸范圍的零件約占總數(shù)的(6)某次抽樣調(diào)查結(jié)果表明考生的成績(jī)百分制)近似服從正態(tài)分布平均成績(jī)?yōu)?2 分,96分以上 的考生占考生總數(shù)的2.3%,則考生成績(jī)?cè)?0至84分之間的概率 為.(1)=0.8413、職2)=0.977、(3)=0.9987參考答案1(1)0,1(2)1,2(3)-1,0.5;2.(1)x=-1 時(shí)fma(尤)=名,(2)對(duì)稱軸為x=-1.3.(1)0.3413(2)0.1574(3)0.8185(1)F(3)=0.8413(2) P0-1.84oX0, -8x8)其中n是圓周率；e是自然對(duì)數(shù)的底；x是隨機(jī)變量的取值；為正態(tài)分布的均值；。是正

7、態(tài)分 布的標(biāo)準(zhǔn)差正態(tài)分布一般記為心,b 2).2 .正S分布n(日, 2)是由均值網(wǎng)標(biāo)準(zhǔn)差唯一決定的分布例1、下面給出三個(gè)正態(tài)總體的函數(shù)表示式，請(qǐng)找出其均值口和標(biāo)準(zhǔn)差。.f(x) = _e土 ,(-8x+8 )2兀f(x) = 。-4 ,(-8x+8 )2解：(1)0,1(2)1,2正態(tài)曲線的性質(zhì)：正態(tài)分布由參數(shù)隊(duì)。唯一確定，如果隨機(jī)變量 N(M,o2)，根 據(jù)定義有：pE& ,。=/。正態(tài)曲線具有以下性質(zhì)：(1)曲線在x軸的上方，與x軸不相交。(2 )曲線關(guān)于直線x =對(duì)稱。(3 )曲線在x=M時(shí)位于最高點(diǎn)。當(dāng)x即時(shí)，曲線上升；當(dāng)x沖時(shí)，曲線下降。并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無(wú)限延伸 時(shí)，以x軸為

8、漸近線，向它無(wú)限靠近。當(dāng)口一定時(shí)，曲線的形狀由。確定。越大，曲線越矮胖”表示總體越分散；。越 小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中。五條性質(zhì)中前三條較易掌握，后兩條較難理解，因此應(yīng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的原則，采用對(duì)比教 學(xué).4 .標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線當(dāng)p=0.o=l時(shí)，正態(tài)總體稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體，其相應(yīng)的函數(shù)表示式是f(x) = -e，(-8x+8).；2兀其相應(yīng)的曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N(0,1)在正態(tài)總體的研究中占有重要的地位任何正態(tài)分布的概率問(wèn)題均可轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體的概率問(wèn)通對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N (0,1),(x )是總體取值小于:的概率，即中(x ) - P(x 0

9、，圖中陰影部分的面積表示為概率3(x x0).只要有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表即可查表解決從圖中不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)x0 0時(shí)，中(x0) = 1-Q(-x0)；而當(dāng)x0 = 0時(shí)，(0) =0.5 例2設(shè)X N3,b2)，且總體密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為：f (f (x)=土e - b(1)求 M，a;,xuR。(2)求 P (I x -11淫)的值。分析：根據(jù)表示正態(tài)曲線函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)照已知函數(shù)求出和。利用一般正態(tài)總體N(四q 2)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N(0,1)概率間的關(guān)系，將一般正態(tài)總體劃歸為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體來(lái) 解決。解：(1 )由于 f =二 e-b =e-*，2 m、2兀.： 2根據(jù)一般正態(tài)分布的函數(shù)表達(dá)形式，可

10、知日1,。=爭(zhēng)，故XN(1,2)。(2 ) P(I x 11 * 2) = P(1 、2 x 1 + 氣.2)=F (1+ 技)F (1 2)=中(+；-1)中(I：-1)=O (1)0 (1) = 2 (1) 1 = 2 x 0.8413 1=0.6826。點(diǎn)評(píng)：在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，將未知的，不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的、熟悉的、已 解決了的問(wèn)題，是我們常用的手段與思考問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)。通過(guò)本例我們還可以看出一般正態(tài)分 布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。.相關(guān)關(guān)系:當(dāng)自變量一定時(shí)，因變量的取值帶有一定的隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系稱 為相關(guān)關(guān)系.相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點(diǎn)如下：相同點(diǎn)：均是指兩個(gè)變量的

11、關(guān)系不同點(diǎn)：函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是一種非確定關(guān)系；函數(shù)關(guān)系是自變量 與因變量之間的關(guān)系，這種關(guān)系是兩個(gè)非隨機(jī)變量的關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變 量的關(guān)系.回歸分析一元線性回歸分析：對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法叫做回 歸分析，通俗地講，回歸分析是尋找相關(guān)關(guān)系中非確定性關(guān)系的某種確定性對(duì)于線性回歸分析，我們要注意以下幾個(gè)方面：回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法。兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān) 系是回歸分析的前提。散點(diǎn)圖是定義在具有相關(guān)系的兩個(gè)變量基礎(chǔ)上的，對(duì)于性質(zhì)不明確的兩組數(shù)據(jù)，可 先作散點(diǎn)圖，在圖上看它們有無(wú)關(guān)系，關(guān)系的密切程度，然后再進(jìn)行相關(guān)回歸分

12、析。求回歸直線方程，首先應(yīng)注意到，只有在散點(diǎn)圖大至呈線性時(shí)，求出的回歸直線方 程才有實(shí)際意義，否則，求出的回歸直線方程毫無(wú)意義。11.散點(diǎn)圖：表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫做散點(diǎn)融點(diǎn)圖形象地反映了各對(duì)數(shù)據(jù)的密切程度.粗略地看，散點(diǎn)分布具有一定的規(guī)律12.回歸直線設(shè)所求的直線方程為* = bx +小，其中a、b是待定系數(shù).片十嚀-刃y b = -t=iy， -a4(x - x)2ii=1a = y - bxxy nxyTyJx 2 - nx2ii=1-i y - i yx = _ x / y = _ yn i=in i=1相應(yīng)的直線叫做回歸直線，對(duì)兩個(gè)變量所進(jìn)行的上述統(tǒng)計(jì)分析叫做回歸分析13相關(guān)系數(shù)：相關(guān)系數(shù)是因果統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾遜提出的，對(duì)于變量與x的一組觀測(cè)值， 把y (x x)(y y) r = i=i:y（ xi - x ）2 y（ y - y ）2i =1i =1叫做變量y與x之間的樣本相關(guān)系數(shù)，簡(jiǎn)稱相關(guān)系數(shù)，用它來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量之間的線性相關(guān)(Ex2 -nx2)(y y2 -ny2)i=1i=1程度.14相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)： 0.7