比例 黃金分割 平行線分線段成比例定理

1、黃金分割及平行線分線段成比例、黃金分割黃金分割A(yù) BC如圖，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果AB AC ,那么稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點.AC與AB的比叫做黃金比.黃金比黃金比值的求法：AC _ BCA AB - AC因為 ABAC，且 bc=ABAC，所以 AB AC ，! AB解得AC= 2，或AC0.618AB，即得黃金比AB2 或0.6182 AB連接AD，在DA上截取DE求作黃金分割點2 AB連接AD，在DA上截取DE求已知線段AB的黃金分割點。方法一|：如圖1、經(jīng)過點B作BDXAB，且BD=2、=DB.3、在AB上截取AC=AE，所以點C是線段

2、AB的黃金分割點.v 5.否-13 - 、耳理由：設(shè) AB=1，則 BD = 1/2,AD= 2，AC= 2，BC= 2AC BC _ 5 -1所以AB AC 2 ，所以點C是線段AB的黃金分割點. 方法二I：如圖1、在線段AB上作正方形ADCB2、取AD的中點E，連接EB.3、延長DA至F，使EF=EB. 4、以線段AF為邊作正方形AFGH. 所以點H是線段AB的黃金分割點.理由：設(shè) AB=1，1則 ae=理由：設(shè) AB=1，1則 ae= 2，BE = W EF5-1所以 2 一AF =2=ah，3 f 5bh= 2AH _ HB _ 5 -1所以AB AH 2 ，所以點H是線段AB的黃金分

3、割點. TOC o 1-5 h z 方法三：如圖/、1、以AB為腰作等腰ABD，使ZA=362、作ZADB的角平分線交AB于點CA 匕LA B所以，點C是線段AB的黃金分割點.C理由：作圖的理由在本章學(xué)完就知道，對這一基本圖形我們將會非常熟悉，此等腰三角形叫 做黃金三角形ABBC，那么AC是AB與BC的比例中項如果點C是線段AB的黃金分割點，ACBC，且AB=2，則AC=* 1其中正確的判斷有()A.1個B.2個C.3個D.4個2、已知P為線段AB的黃金分割點，且APVPB，則()A、AP2 = AB - PB ； b、AB2 = AP - PB ； C、PB2 = AP - AB ； d、A

4、P2 + BP2 = AB23、.已知點M將線段AB黃金分割(AMBM)，則下列各式中不正確的是() TOC o 1-5 h z v5 -15 -1A.AM : BM=AB : AMB.AM=ABC.BM=ABD.AMF618AB22A.1個B.2個C.3個D.4個4、已知P、Q是線段AB的兩個黃金分割點，且AB=10cm，則PQ長為（）A、5（偵5 -1） B、5（5 +1） C、10（.；5-2） D、5（3 -、M）三、好好想一想1、已知點1、已知點C是線段AB的黃金分割點AC= 5否-5 ,且AOBC，求線段AB與BC的長。3、A E F B23、A E F B20.618，那么這個矩

5、2、E、F為線段AB的黃金分割點，已知AB = 10 cm，求EF的長度.AB 5-1 如果一個矩形ABCD（ABVBC）中，不 =.BC 2形稱為黃金矩形，黃金矩形給人以美感.在黃金矩形ABCD內(nèi)作正方形 CDEF，得到一個小矩形ABFE（如圖1），請問矩形ABFE是否是黃金矩形? 請說明你的結(jié)論的正確性.二、平行線分線段成比例知識梳理平行線分線段成比例定理及其推論平行線分線段成比例定理如下圖，如果/ / z / I，則竺=EF , AB =匹,AB =竺.123 AC DF AC DF DE DF平行線分線段成比例定理的推論：如圖，在三角形中，如果DE BC，則AD =竺=竺AB AC B

6、C3.平行的判定定理：如上圖，如果有AD =榮=竺，那么DE BC。AB AC BC專題講解專題一、平行線分線段成比例定理及其推論基本應(yīng)用 【例1】如圖，DE BC，且DB = AE，若AB = 5，AC = 10，求AE的長?！纠?】如圖，已知 AB / / EF /CD，若 AB = a，CD = b，EF = c，求證：1 = - + 1. cab【鞏固】如圖，AB BD， CD 1BD，垂足分別為B、D， AC和BD相交于點E，EF1BD，垂足為F .證明：上+ = -1 .AB CD EF【鞏固】如圖，找出s 、S 、S 之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.AABDABEDABCD【例3】如

7、圖，在梯形ABCD中，AB CD， AB = 12，CD = 9，過對角線交點O作EF CD 交 AD，BC于 E，F(xiàn)，求 EF 的長?！眷柟獭浚ㄉ虾Ｊ袛?shù)學(xué)競賽題）如圖，在梯形ABCD中，AD BC，AD = a，BC = b，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，AF交BE于P，CE交DF于Q，求PQ的長。專題二、定理及推論與中點有關(guān)的問題【例4】（2007年北師大附中期末試題）（1）如圖（1），在AABC中，M是AC的中點，E是AB上一點，且AE =1AB，4連接EM并延長，交BC的延長線于D，則匹=.CD（2）如圖（2），已知AABC 中，AE: EB = 1:3，BD: DC = 2:1，AD

8、 與 CE 相交于 F，的值為（）EF AF的值為（）+FC FD TOC o 1-5 h z 53A. 5 B.1C. 322【例5】（2001年河北省中考試題）如圖，在AABC中，D為BC邊的中點，E為 AC邊上的任意一點，BE交AD于點O .（1）當(dāng)竺=-時，求A0的值。（2）當(dāng)竺=1、-時，求A0的值;AC 2 ADAC 3 4 AD（3）試猜想竺=上時業(yè)的值，并證明你的猜想.AC n +1 AD【例6】（2003年湖北恩施中考題）如圖，AD是AABC的中線，點E在aD上，F(xiàn)是BE延長線與AC的交點.：0（1）如果E是AD的中點，求證：生=1 ;技 L 、FC 2b D C（2）由（1

9、）知，當(dāng)E是AD中點時，生=-.竺成立，若E是AD上任意一點 FC 2 ED（E與A、D不重合），上述結(jié)論是否仍然成立，若成立請寫出證明，若不成立， 請說明理由.【鞏固】（天津市競賽題）如圖，已知AABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD 上的一點，且BE = AC，延長BE交AC于F。求證：AF = EF?！纠?】（寧德市中考題）如圖，AABC中，d為BC邊的中點，延長AD至E，延長AB交CE的延長線于p。若AD = 2DE，求證：AP = 3AB?！眷柟獭浚?jì)南市中考題；安徽省中考題）如圖，阪BC中，BC = a，若D1, E1分別是AB，AC的中點，則DS2a 別是AB，AC的中點，則D

10、S2a ；2211若D、E分別是D B、E C的中點，- a則V DE = - - a + a- a則V DE = - - a + a = -a ；3 3 2 4) 8【例8】如圖，在四邊形【例8】如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，直線l平行于BD，且與AB、DC、 BC、AD及AC的延長線分別相交于點M、N、R、S和P .求證：PM - PN = PR - PS【鞏固】已知，如圖，四邊形ABCD，兩組對邊延長后交于E、F，對角線BD EF， AC的延長線交EF于G .求證：EG = GF .【例9】已知：P為AABC的中位線MN上任意一點，BP、CP的延長線分別交對 邊AC、A

11、B于D、E，求證：AD + 竺 =1DC EB【例10】在AABC中，底邊BC上的兩點E、F把BC三等分，BM是AC上的中線，AE、AF分別交BM于G、H兩點，求證：BG: GH : HM = 5:3: 2【例11】如圖，M、N為 AABC邊BC上的兩點，且滿足BM = MN = NC，一條 平行于AC的直線分別交AB、AM和AN的延長線于點D、E和F .求證：EF = 3DE .【例12】已知：如圖，在梯形ABCD中，AB /CD，M是AB的中點，分別連接AC、BD、MD、MC，且AC與MD交于點E，DB與MC交于F .（1）求證：EF /CD（2）若 AB = a , CD = b，求 EF 的長 【鞏固】如圖，在梯形ABCD中，AD BC，AD = 3，BC = 9，AB = 6 , CD = 4，若EF BC，且梯形AEFD與梯形EBCF的周長相等，求EF的長。【例13】 （山東省競賽題）如圖，YABCD的對角線相交于點O，在AB的延 長線上任取一點E，連接OE交BC于點F，若AB = a，AD = c，BE = b，求BF的值?！纠?4】已知等腰直角AABC中，E、D分別為直角邊BC、AC上的點，且CE = CD，過E、D分別作AE的垂線，交斜邊AB于L，K .求證：BL = LK