2002年全國入學統(tǒng)一考試數(shù)學一真題及答案

1、2002入數(shù)學一試一、填空題（本題共5 小題，每小題3 分，滿分15 分填在題中橫線上（1）xln2 】【考點】反常(廣義)積【難易度】11b【詳解：2002入數(shù)學一試一、填空題（本題共5 小題，每小題3 分，滿分15 分填在題中橫線上（1）xln2 】【考點】反常(廣義)積【難易度】11b【詳解： ln2 lnxelim lnb 1b b 方程ey xyx2 0（2）y y x )】【考點】隱函數(shù)的導【難易度】【詳解：由ey 6xyx2 10兩邊對x求導，將y看成由此式確定的x的函數(shù)有ey y6xy6y2x y6y2xey (ey 6) 6y2）-(6y2x)(ey yy ,(ey x0y(

2、0)0.yy(0)0.y(0)2 1的特解2（3）yy y2 0滿足始條】yx【考點】可降階的高階微分方【難易度】【詳解】本題涉及到的主要知識點；缺x的可降階的高階微分方程，令y 1yyy2 0改寫為yy)0yyC .1y(0)1y(0) 1 代入，有11 C yy 1.2yy1，改寫為y2)；缺x的可降階的高階微分方程，令y 1yyy2 0改寫為yy)0yyC .1y(0)1y(0) 1 代入，有11 C yy 1.2yy1，改寫為y2)1.解1222y xC2, y xC2 .再以初值代入，1 C2 所以應取且C2 1.于是特解yx12xy fyy.y py dp dp dy p dp d

3、y yyy2 0ypdp p2 0，p0或 p p0dy 0y 1ydp p0 xC得 1y 1 可將C 1 C1 C 1 .11xx2dy 2y2 xC y xC .1代入，得1 C2 號且C2 1.于是特解是yx1x3 a x1 （4）已知實二次型 f xxPy可化成標準形f 6y2，則a1】【難易度】2001：二f A2A 【詳解33故有aii 3ai 6006 a22a22001：二f A2A 【詳解33故有aii 3ai 6006 a22a22A2 02a2a2222a1(a4)12a222a(a4)(a2)2 0 0 A的特征值，Aa4a26 A的特征值，666 (2a)2 (2a

4、)(8a) 26E 6 6a2a（1（2） 2a23f A2 A 6，個二重根應是 0 (a4)1 2 (a4)(a2)E a46a20a22a24A2 rA) r() 2a222a2a22 A222a222a2a22 A2222a0a22a0a22(a2 2a2(a 2)(a rA1a 2（5）設量X服從正態(tài)分布N(,2)(0)，且二次方程y24yX 0無實1的概率為 ，則2【】【考點】正態(tài)分【難易度】【詳解：二次方程無實根，即y2 4yX 0的判別式164X0，也就有X 4此事發(fā)生概率為 ，即PX 4，所以422二、選擇題（本題共 5 小題，每小題 3 分，滿分 15 分每小題給出的四個選

5、項中，只有項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括（1）f(xy4 條性質f (xy在點(x0y0處連續(xù) f (x, y) 在點(x0 , y0 處的兩個偏導數(shù)連續(xù)f (xy在點(x0y0處可微 f (x, y) 在點(x0 , y0 處的兩個偏導數(shù)存在若用PQP推出性質Q，則有（ （A）（C）（B）（D）【】【考點】二元函數(shù)的連續(xù)的概念、全微分存在的必要條件、全微分存在的充分條【難易度】【詳解】本題涉及到的主要知識點（必要條件）z f(xy在點(xy可微分，則該函數(shù)在點(xy的偏導z xy z f(xy在點(xydz xdx y dyz （充分條件）z f(xyxy 在點(xy連續(xù)，則函

6、數(shù)在該點可分f (xy)與f (xy)fx(xyfy(xy) 連續(xù) f (x, y可微 xyf (x, y)連1(1)n1( 1 （必要條件）z f(xy在點(xy可微分，則該函數(shù)在點(xy的偏導z xy z f(xy在點(xydz xdx y dyz （充分條件）z f(xyxy 在點(xy連續(xù)，則函數(shù)在該點可分f (xy)與f (xy)fx(xyfy(xy) 連續(xù) f (x, y可微 xyf (x, y)連1(1)n1( 1 1 （ n0(n1,2,)（2）設nn un （A）發(fā)散（B）絕對收斂（C）條件收斂（D）【】【考點】絕對收斂與收斂的關【難易度】n【詳解：由1知，當n充分大時，un

7、 0，() 為正項級數(shù)n unn用比較判別法的極限形式，由題設條件 1知n nnun1 1) 1lim(1 n) 1 lim unlim nnn1 n 2un2unn1n12n 11而級數(shù)()是發(fā)散的，所以() 也發(fā)散n1n1 n(nunn 項部分S (1 1 )( 1 1 )( 1 1 )(1)n1( 1 111) unuuuuu2334n1n1由1知，當n充分大時，u 0，且limu .所以limS （收斂nnnn un1所以選（3）y f(x在(0,內有界且可導，則）（A）lim f(x0lim f(x（B）lim f(x所以選（3）y f(x在(0,內有界且可導，則）（A）lim f(

8、x0lim f(x（B）lim f(xlim f(x（C）lim f(x0lim f(x0（D）lim f(xlim f(x0【】【難易度】【詳解：方法 1：排2f2, lim f (x) 0 ，（A）f . fx0,lim fx) 10（C） （D）.（A（C x 0 x x f(x A,在區(qū)間x xf(x用拉格朗日0002值定理知,f (x f (x0 f ()(xx0) f xf(xf(x有x0 0.A 0.（4）設有三張不同平面的方程 ai1xai2yai3zbi，i1，2，3，它們所組成的線性方程2，則這三張平面可能的位置關系為（ 【】【難易度】【詳解：由于方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣

9、的秩都是2 3 （未知量的個數(shù)所方程組有無窮多解，應排除（A）三平面唯一交點（唯一解（D）三平面沒有公共點故應選（5）設X1 和 X2 是任意兩個相互獨立的連續(xù)型量，它們的概率密度分別為 【難易度】【詳解：由于方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都是2 3 （未知量的個數(shù)所方程組有無窮多解，應排除（A）三平面唯一交點（唯一解（D）三平面沒有公共點故應選（5）設X1 和 X2 是任意兩個相互獨立的連續(xù)型量，它們的概率密度分別為 f1(x) f2(xF1(xF2(x，則（ （A） f1(x) f2x) 量的概率密度（B） f1(x) f2x) 量的概率密度（C）F1(x) F2x)量的分布函數(shù)（D）F1

10、(x)F2x) 量的分布函數(shù)】【難易度】【詳解】本題涉及到的主要知識點量的概率密度，則必有 f (x)dx f (x為某一若F(x) 為某一量的分布函數(shù)，則必有F()0,F()1;F(x00) F(x01（A） f1(x) f2(x)dx f1(x)dx f2(x)dx 1121 x其0 x其（B f 12f1(x)，f2(x均是均勻分布的概率密度.f1(xf2(x) 0 f1(xf2(x)dx 1條件(C)當然也不正確，因為limFx1) Fx2) 11 2 根據(jù)排除法應選2)，顯然X 也是一個量.X 的分布函數(shù)2F(x) PX x P P2 xPX1 x2)，顯然X 也是一個量.X 的分布

11、函數(shù)2F(x) PX x P P2 xPX1 xPX2 xF1(x)F2 (x)所應選（本題滿6 分f x x0f(0 , f(0 af(h bf 2h f(0)h0h高階的無窮小，試確, 【考點】無窮小的比較，洛必達法【難易度】【詳解：方法1：由題設條件知有l(wèi)imaf(h)bf(2h) f(0)(ab1)f(0)f(0)0ab10limaf(hbf(2h f h0a2b0ab10a2,b12：分別將 f (h), f (2h) 按佩亞諾余項泰勒公式展開到o(h)，f(h) f(0) f (0)hf(2h) f(0)2f (0)haf(h)bf(2h) f(0)(ab1)f(0)(a2b)f

12、(0)ho從ab10a2b0a2,b13：由題設條件，有l(wèi)imaf(hbf(2h f(0ab1f(0)f(0)0ab10.再將lim1af(hbf(2h fh0 a 1 b 0limaf(h)bf(2h) f(0) lim(1b)f(h)bf(2h) fhhlim f(h) f(0)b f(h) f(0)2b f(2h) fhh a 2,b1（本題滿7 分arctan y f(xy 在點(0,0) 02limnf( n【難易度】 a 2,b1（本題滿7 分arctan y f(xy 在點(0,0) 02limnf( n【難易度】 yy(0)0dt 【詳解01y e(arctan x)2 1因此

13、過點(00)yy f(x在點(00)f(0)0, f(0)12f( ) f2limnf( ) 22f (0) 2nn（本題滿7 分emaxx2 y2dxdy D x,y0 x 1,0 y D【難易度】maxx2 , y2【詳解：應先將寫成分塊表達式.D1 (x,y)0 x1,0yx,D2 (x,y)0 x1,x y(x,y)D 22max x ,1e2(x,y)D 2maxx2 , y2maxx2 , y2 maxx2,y2Dd d d e d e 從1x1122e dye xy0000e xdxe ydy 1(e1) 1(e1)e1122xy2200（本題滿8 分設函數(shù) f (x) 在(,)

14、 內具有一階連續(xù)導數(shù)，L 是上半平面y 0) 滑曲線，其起點為(ab), 終點為(c, d) I 11e xdxe ydy 1(e1) 1(e1)e1122xy2200（本題滿8 分設函數(shù) f (x) 在(,) 內具有一階連續(xù)導數(shù)，L 是上半平面y 0) 滑曲線，其起點為(ab), 終點為(c, d) I 11 y2f(xy)dxy2f(xy)1dyxyyILabcdI 【考點】第二類曲線積分的計【難易度】P(x,y) 11 y2 f (xy),Q(x,y) x y2 f (xy)【詳解（1）yyQ f (xy) xyf (xy),P f(xy)xyf 11yyQ P(當y所以在上半平面 y

15、0，該曲線積分與路徑無關(2)方法1：用計算I .先從點(a,b)到點(c,b),再到點(c,d) .c I 1b2 f (bx)dxydy2 f (cy)bab acccdbf(bx)dxbabca經(jīng)積分變量變換后， I f(tc aabcdI 方法 2:原函數(shù)法I 11 y2 f (xy)dx x y2 f (xy)yyL xf(xy)(ydx xdy) d( ) f (xy)d2yyLLLL由原函數(shù)法計算第二型曲線積分的公式（與定積分的牛頓公式類似(c,dxxyL d(y)(a,(c,df (xy)d(xy) F(xy)F(cd)F(ab)0, (a,b)c aF(uf(u xf(xy)

16、(ydx xdy) d( ) f (xy)d2yyLLLL由原函數(shù)法計算第二型曲線積分的公式（與定積分的牛頓公式類似(c,dxxyL d(y)(a,(c,df (xy)d(xy) F(xy)F(cd)F(ab)0, (a,b)c aF(uf(uF(u f(u.I 3：由于與路徑無關abcd的啟發(fā)xykkab.點(ak與點(c,d) 都在此路徑上.于是將x 代入之后y1kkdI (1 y f(k)(y f (k)22yyyad )dy c adbb（本題滿7 分3( （1）y(x ( x 滿足微分方 yex( （2）利用（1）的結果求冪級數(shù) 項為指數(shù)函數(shù)的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程、簡單冪級數(shù)

17、的和函數(shù)的求【難易度】9x3x3+1 ： (1) y(x) 1【詳解,3n1 ！ 6！x3n 3nx3n1 x3n y(x) (1)(3n)!,(3n n1 n1 (3ny(x) y(x) y(x) 1 e從y(x) yy y ex n0 y(0)1,y(0)（2）yy y ex yy(x) y(x) y(x) 1 e從y(x) yy y ex n0 y(0)1,y(0)（2）yy y ex y y y 0r2r10r 1 23i2133所以齊次微分方程的通解為y C1xC2 222y* Cexy* Cexy* Cex3Cex ex，解得C 13x331y y y* e 2C xxex 122

18、23從中找出滿足初始條件 y(0) 1, y(0) 0 的解.C 1 1, 1C 31 01123223于是得到惟一的一組解：C 2,C 0.yyyex 123y(0)1y(0)0 x231y e 2 xe3另一方面，由（1）已知 y(x) yy y ex n0 y(0)1y(0)0 x2311e 2 xex( xn1 八（7 分設有一小山，取它的底面所在的平面為 xOy Dxyx2 y2 xy75h(xy75x2 y2 xy（1）M (x0 y0設有一小山，取它的底面所在的平面為 xOy Dxyx2 y2 xy75h(xy75x2 y2 xy（1）M (x0 y0 D 上一點，問h(x, y

19、) g(x0 , y0 ) g(x0 , y0 ) （2）現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動，為此需要在山腳尋找一上山坡度最大的點作為攀登Dx2 y2xy75上找出使（1）g(xy達到最【難易度】【詳解：(1)y0 2x0,x0 2y0grad(x,x0,y0 max(y 2x )2 (x 2y )grad(x, x0,y0 x0,y0 5x 2 5y 2 8x g(x y 000 0 （2）f (xy) g2(xy) 5x2 5y2 8xy f 75x2 y2 xy 0下的最大值點.為此，F(xiàn)(x,y,) 5x2 5y2 8xy(75x2 y2 Fx 10 x8y(yFy 10y8x(x2F75x2

20、y2 xy 則0(x y)(2)0 12 兩式相yx或 2，再分之若2，則解(x,y)1 (5 3,或 (xy)2 5 35 (x,y)4 (5,y x，則解得(xy)3 5或4個可能極值點.將(xy)i Mi(i1234).由f4個可能極值點.將(xy)i Mi(i1234).由f(M1) f(M2) 150, f(M3) f(M4) （本題滿6 分4 A (1,2,3,4),1,2,3,4 4 2,3,41 22 3, 12 3 4Ax 的通解【難易度】：方法1：由2,3,4 線性無關，及1 22 3 04,即1,2,3,4 線性相關，及 1 2 3 4 知r1,2,3,4 r(A) 3

21、r A r 1,2,3,4, Ax k k Ax0的通解， Ax 的一個特解1 22 3 04因1 1 22 3 04 1,2,3,4 故0 故 12,10T Ax 0的基礎解系1 2 3 4 1,2 ,3,4 故 1,1,1,1T Axk12,10T 1,1,1,1T （k 是任意常數(shù)2x3x4 T2 3 4 1 2 3 4 ，3 4x4 1 3 4 1 2 3 4 ，3 4x4 1 2 3 將1 22 3 代入上式，1 x3)3 (x4 1)4 由已知2 ,3 ,4 2x1 x2 x x 1 未知量x3 k，則方程組有x4 1,x3 k,x1 x3 k,x2 2kAx k 1 x 2k 2 k .（其中k是任意常數(shù)x3 1 k1x 0 4 （本題滿8 分AB為同階方陣（1）A, B A, B （2）舉一個二階方陣的例子說明（1）（3）當 A, B 均為