中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)微專題：圖形翻折問題的解法探究與啟示

1、圖形翻折問題的解法探究與啟示 一道關(guān)于圖形翻折的問題，值得大家分析探究. 一、試題與分析 試題在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將沿直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，且，則 (用和含的三角比的代數(shù)式表示) 分析 這道有關(guān)圖形翻折的問題，其難點(diǎn)主要體現(xiàn)在以下三個(gè)方面:第一，雖然是一道關(guān)于圖形翻折的問題，但并沒有圖形，需要學(xué)生自己作出符合要求的圖形;第二，題目中已知條件的分析與運(yùn)用，需要添加必要的合理的輔助線;第三，有關(guān)基本圖形的組合與分離需要觀察分析到位.綜合以上三點(diǎn)，此題確有一定的難度. 二、解法與啟示 解法1 “四點(diǎn)共圓”顯神威如圖1，連結(jié)，由，可知是直角三角形，且.,.由,得. ,. 故可知、四點(diǎn)共圓. 由，知為該圓

2、的直徑，可得，則. 評注與啟示 解法1利用了“四點(diǎn)共圓”，解答過程干凈、利落，實(shí)為非常巧妙的解答.判定四點(diǎn)共圓有兩個(gè)基本方法:1.若四點(diǎn)連成的四邊形對角互補(bǔ)或有一外角等于它的內(nèi)對角，則這四點(diǎn)共圓;2.若點(diǎn)、在線段的同側(cè)，且，則、四點(diǎn)共圓. 解法2 “補(bǔ)全”圖形，巧用相似 如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上分別延長，相交于點(diǎn).如解法1得到,此時(shí)，這兩個(gè)角的補(bǔ)角相等，即.這樣，于是有，進(jìn)而,.而, 于是，從而. 評注與啟示 解法2的生成得益于圖形的“補(bǔ)全”.這一點(diǎn)在2015年上海中考題中也有所體現(xiàn): 已知在中，.將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在原的點(diǎn)處，此時(shí)點(diǎn)落在點(diǎn)處.延長線段，交原的邊的延長線于點(diǎn)，那么線段的長等于 .

3、簡析 如圖3所示 此題雖為三角形的旋轉(zhuǎn)問題，但由于所旋轉(zhuǎn)的角度恰為該等腰三角形的頂角度數(shù)，實(shí)質(zhì)我們還是可以看成是沿邊所在直線翻折，得到.圖3中，分別延長、相交于點(diǎn)，類似于將不完整的圖形進(jìn)行了“補(bǔ)全”.就本題而言，過點(diǎn)或點(diǎn)向作垂線段，我們很容易得到結(jié)果為，只要學(xué)生可以將圖3的圖形“遷移”過來，那么解法2的圖形“補(bǔ)全”;就可以自然生成了.另外，我們將解法2中兩對相似三角形的圖形分離出來.我們會發(fā)現(xiàn)這是典型的相似三角形中“兩高”型基本圖形的運(yùn)用，如圖4、圖5所示. 如圖5，這是相似三角形中“兩高”型基本圖形，即: 若， 則. 正是基于這樣一種基本圖形的分離，所以我們在圖4中才可以比較容易得到. 解法

4、3 “共邊共角”基本圖形的運(yùn)用 在圖3中，我們?nèi)菀椎玫?，這兩個(gè)三角形形成的是“共邊共角”型相似基本圖形，可以得到，問題是要求長，那么只需要求出長或者用表達(dá)出.如圖6,易知，從而.設(shè).我們可以得到方程，解得(負(fù)限舍去).上述解法的思維方法值得鑒賞，尤其“共邊共角”型基本圖形的運(yùn)用，還是大有可為之處. 評注與啟示 解法3從分析己知條件出發(fā)，在原圖中構(gòu)造出“共邊共角” 型基本圖形.得到的關(guān)系式，通過設(shè)未知數(shù)的方法最終得到相關(guān)方程.將“共邊共角” 型基本圖形利用好、發(fā)揮好，就一定可以得到問題的解答.這在2016年上海中考題中也有所體現(xiàn): 如圖7所示，梯形中，點(diǎn)是邊上的動點(diǎn)，點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，射線和射線交于點(diǎn)，且二. (1)略;(2)略;(3)如果點(diǎn)在邊上 (不與點(diǎn)、重合)，設(shè)，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出的取值范圍. 簡析(3) 易知.從而有.這樣，在中就可以形成“共邊共角”型基本圖形，得.利用比例關(guān)系有，所以.只要表達(dá)出，很容易就可以得到問題的答案為. 綜上可見，我們在實(shí)際教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)將學(xué)生容易接受的、