常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)演示文稿

1、常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)演示文稿第一頁，共三十九頁。常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)第二頁，共三十九頁。常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì) 二、常數(shù)項級數(shù)的概念 三、無窮級數(shù)的基本性質(zhì) 四、級數(shù)收斂的必要條件 第一節(jié) 第九章 一、問題的提出 第三頁，共三十九頁。一、問題的提出1. 計算圓的面積正六邊形的面積正十二邊形的面積正 形的面積第四頁，共三十九頁。二、級數(shù)的概念1. 級數(shù)的定義:(常數(shù)項)無窮級數(shù)一般項部分和數(shù)列級數(shù)的部分和第五頁，共三十九頁。2. 級數(shù)的收斂與發(fā)散:第六頁，共三十九頁。余項第七頁，共三十九頁。解第八頁，共三十九頁。 收斂 發(fā)散 發(fā)散 發(fā)散 綜上第九頁，共三十九頁。解已知級數(shù)為等比級數(shù)，第十頁，

2、共三十九頁。解第十一頁，共三十九頁。第十二頁，共三十九頁。 例4.判別級數(shù)的斂散性 .解:故原級數(shù)收斂 , 其和為第十三頁，共三十九頁。三、基本性質(zhì)結(jié)論: 級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù),斂散性不變.結(jié)論: 收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減.第十四頁，共三十九頁。解第十五頁，共三十九頁。第十六頁，共三十九頁。性質(zhì)3.在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項, 不會影響級數(shù)的斂散性.證: 將級數(shù)的前 k 項去掉,的部分和為數(shù)斂散性相同. 當級數(shù)收斂時, 其和的關(guān)系為類似可證前面加上有限項的情況 .極限狀況相同, 故新舊兩級所得新級數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十七頁，共三十九頁。性質(zhì)4. 收斂級

3、數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級數(shù)的和.證: 設(shè)收斂級數(shù)若按某一規(guī)律加括弧,則新級數(shù)的部分和序列 為原級數(shù)部分和序列 的一個子序列,推論: 若加括弧后的級數(shù)發(fā)散, 則原級數(shù)必發(fā)散.因此必有例如機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十八頁，共三十九頁。注意收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂. 收斂 發(fā)散第十九頁，共三十九頁。例6.判斷級數(shù)的斂散性:解: 考慮加括號后的級數(shù)發(fā)散 ,從而原級數(shù)發(fā)散 .第二十頁，共三十九頁。四、級數(shù)收斂的必要條件 設(shè)收斂級數(shù)則必有證: 可見: 若級數(shù)的一般項不趨于0 , 則級數(shù)必發(fā)散 .例如,其一般項為不趨于0,因此這個級數(shù)發(fā)散.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

4、第二十一頁，共三十九頁。注意:并非級數(shù)收斂的充分條件.例如, 調(diào)和級數(shù)雖然但此級數(shù)發(fā)散 .事實上 , 假設(shè)調(diào)和級數(shù)收斂于 S , 則但矛盾!所以假設(shè)不真 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二十二頁，共三十九頁。五、小結(jié)常數(shù)項級數(shù)的基本概念基本審斂法第二十三頁，共三十九頁。一、正項級數(shù)及其審斂法1.定義:這種級數(shù)稱為正項級數(shù).2.正項級數(shù)收斂的充要條件:定理部分和數(shù)列 為單調(diào)增加數(shù)列.第二十四頁，共三十九頁。證明即部分和數(shù)列有界3.比較審斂法第二十五頁，共三十九頁。不是有界數(shù)列定理證畢.比較審斂法的不便:須有參考級數(shù). 第二十六頁，共三十九頁。解由圖可知第二十七頁，共三十九頁。重要參考級數(shù): 幾何級數(shù), P-級數(shù), 調(diào)和級數(shù).第二十八頁，共三十九頁。證明第二十九頁，共三十九頁。4.比較審斂法的極限形式:設(shè)=1nnu與=1nnv都是正項級數(shù),如果則(1) 當時,二級數(shù)有相同的斂散性; (2) 當時，若收斂,則收斂; (3) 當時, 若=1nnv發(fā)散,則=1nnu發(fā)散;第三十頁，共三十九頁。證明由比較審斂法的推論, 得證.第三十一頁，共三十九頁。第三十二頁，共三十九頁。解原級數(shù)發(fā)散.故原級數(shù)收斂.第三十三頁，共三十九頁。證明第三十四頁，共三十九頁。收斂發(fā)散第三十五頁，共三十九頁。比值審斂法的優(yōu)點:不必找