高數(shù)(下)期中復習課件

1、高數(shù)(下)期中復習課件高數(shù)(下)期中復習課件期中復習基本概念,基本定理,基本方法期中復習基本概念,基本定理,基本方法第0章 空間解幾與向量代數(shù)向量的概念與運算,+,-,數(shù)乘,數(shù)量積,向量積;直角坐標系下向量的運算;向量的夾角,平行與垂直;平面,直線;曲面, 柱面,投影柱面, 旋轉(zhuǎn)面,二次曲面圖形;曲線,投影,參數(shù)方程.第0章 空間解幾與向量代數(shù)向量的概念與運算,+,-,數(shù)乘1.向量:既有大小,又有方向的量,稱為向量.(或矢量) 2.向量的幾何表示法: 用一條有方向的線段來表示向量.AB向量AB的大小叫做向量的模. 記為 |AB| 或 二、 向量的運算一、向量的基本概念1.向量:既有大小,又有方

2、向的量,稱為向量. 2.向量1、向量加法(1) 平行四邊形法則設有(若起點不重合, 可平移至重合). 作以為鄰邊的平行四邊形, 對角線向量, 稱為的和, 記作(2) 三角形法則二、 向量的加減法2.向量加法的運算規(guī)律.交換律, 結(jié)合律1、向量加法(1) 平行四邊形法則設有(若起點不重合1. 定義實數(shù)與向量的為一個向量.其中: 當 0時, 當 0時, 當 = 0時, 2. 數(shù)與向量的乘積的運算規(guī)律:結(jié)合律,分配律( 0)三、數(shù)與向量的乘法定理1:兩個非零向量平行存在唯一實數(shù)，使得(方向相同或相反)設表示與非零向量同向的單位向量.則1. 定義實數(shù)與向量的為一個向量.其中: 當 四. 空間直角坐標系

3、與空間向量的坐標表示1. 空間直角坐標系的建立ozxyzxy x軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸)組成了一個空間直角坐標系,又稱笛卡爾(Descarstes)坐標系，點O叫做坐標原點.o(一) 空間直角坐標系四. 空間直角坐標系與空間向量的坐標表示1. 空間直角坐標系向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運算的坐標表達式引入直角坐標系后,向量的運算:向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運算的坐標表達式引入直角坐標系后兩向量平行的充要條件.注: 在(*) 式中, 規(guī)定若某個分母為零相應的分子也為零. a / b兩向量平行的充要條件.注: 在(*) 式中, 規(guī)定若某個分母1. 方向角: 非零向量a 與x, y,

4、 z 軸正向夾角, , 稱為a 的方向角.2. 方向余弦: 方向角的余弦 cos, cos, cos 稱為方向余弦.3. 向量的模與方向余弦的坐標表達式ayzx0向量的模與方向余弦的坐標表示式cos2 +cos2 +cos2 = 11. 方向角: 非零向量a 與x, y, z 軸正向夾角,a0= (cos , cos , cos )設a0是與a同向的單位向量a0= (cos , cos , cos )設a0是與設有兩個向量 a、b, 它們的夾角為,即: a b = |a| |b| cos定義:將數(shù)值|a |b|cos 稱為a與b的數(shù)量積( 或 點積 ),記作 a b .內(nèi)積五、 向量的數(shù)量積a

5、 b = ax bx + ay by + az bz推論: 兩個向量垂直ax bx + ay by + az bz = 0坐標表示式設有兩個向量 a、b, 它們的夾角為,即: a abc = ab(1) | c | = | a | | b | sin(2) c 與a、b所在的平面垂直, (即 c a且c b). c 的指向按右手規(guī)則從 a 轉(zhuǎn)向 b 來確定.則將向量c 稱為 a 與 b 的向量積, 記作: a b.即: c = a b注: 向量積的模的幾何意義.以a、b為鄰邊的平行四邊形, 其面積等于| a | | b |sin, 所以a b的模, 等于以a、b為鄰邊的平行四邊形的面積.定義:

6、設有兩個向量 a、b, 夾角為, 作一個向量c, 使得六、兩向量的向量積abc = ab(1) | c | = | a | | 向量積的性質(zhì)反交換律 a b = b a a b = ( aybz azby) i+( azbx axbz) j+ ( axby ay bx) k向量積的坐標表示式向量積的性質(zhì)反交換律 a b = b a1 點法式方程2 一般方程3 截距式方程七、空間平面方程1 點法式方程2 一般方程3 截距式方程八、空間直線方程1 一般方程2 對稱式方程八、空間直線方程1 一般方程2 對稱式方程3 直線的參數(shù)方程( 為參數(shù))4 直線的兩點式方程3 直線的參數(shù)方程( 為參數(shù))4 直線

7、的兩點式方程解析幾何的基本問題:1.已知空間圖形,建立和研究它的代數(shù)方程.2.已知代數(shù)方程,想象出它的幾何圖形.解析幾何的基本問題:1.已知空間圖形,建立和研究它的代數(shù)方程2顯函數(shù)形式 2顯函數(shù)形式 十、空間曲線1 空間曲線的一般方程2 空間曲線的參數(shù)方程十、空間曲線1 空間曲線的一般方程2 空間曲線的參 十一. 柱面 給定空間一定曲線 ，如果直線 沿曲線 平行移動，則動直線 所形成的曲面稱為柱面；動直線 稱為柱面的母線，定曲線 稱為柱面的準線。 特殊情況：柱面的母線平行于某坐標軸，而準線在與母線垂直的坐標平面上的柱面。 設柱面的母線平行于 軸，準線 是 平面上的一曲線. ，求柱面方程。 十一

8、. 柱面 特殊情況：柱面的母線平行于某坐標軸， 只含 而缺 的方程 表示母線平行于 軸，準線是 的柱面； 類似地，只含 而缺 的方程 表示母線平行于 軸，準線是 的柱面； 只含 而缺 的方程 表示母線平行于 軸，準線是 的柱面。 只含 而缺 的方程 曲線曲線 十二旋轉(zhuǎn)曲面 給定空間一直線 與空間曲線 ，曲線 繞直線 旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面，定直線 稱為旋轉(zhuǎn)曲面的旋轉(zhuǎn)軸。 特殊情況：坐標平面上的平面曲線繞該坐標平面上的某坐標軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)曲面. 設在 平面上的曲線 ， 繞 軸旋轉(zhuǎn)一周，求旋轉(zhuǎn)曲面 的方程。 十二旋轉(zhuǎn)曲面 (1) 曲線 ，繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面 的方程，只要

9、在方程 中，作如下改動 ，可得旋轉(zhuǎn)曲面 的方程 高數(shù)(下)期中復習課件 (2) 曲線 ，繞 軸旋轉(zhuǎn)一周 所成的旋轉(zhuǎn)曲面 的方程， 只要在方程中 ，作如下改動，可得旋轉(zhuǎn)曲面 的方程高數(shù)(下)期中復習課件 (3) 曲線 ，繞 軸旋轉(zhuǎn)一周 所成的旋轉(zhuǎn)曲面 的方程， 只要在方程中 ，作如下改動，可得旋轉(zhuǎn)曲面 的方程高數(shù)(下)期中復習課件 (4) 曲線 ，繞 軸旋轉(zhuǎn)一周 所成的旋轉(zhuǎn)曲面 的方程， 只要在方程中 ，作如下改動，可得旋轉(zhuǎn)曲面 的方程高數(shù)(下)期中復習課件 (5) 曲線 ，繞 軸旋轉(zhuǎn)一周 所成的旋轉(zhuǎn)曲面 的方程， 只要在方程中 ，作如下改動，可得旋轉(zhuǎn)曲面 的方程高數(shù)(下)期中復習課件 (6)

10、曲線 ，繞 軸旋轉(zhuǎn)一周 所成的旋轉(zhuǎn)曲面 的方程， 只要在方程中 ，作如下改動，可得旋轉(zhuǎn)曲面 的方程高數(shù)(下)期中復習課件第八章 多元函數(shù)微分學多元函數(shù)概念(多個自變量),多元初等函數(shù);多元函數(shù)極限的概念及求法;連續(xù)性,多元初等函數(shù)的連續(xù)性;偏導數(shù)及幾何意義,高階偏導數(shù),方向?qū)?shù);全微分及與各導數(shù),連續(xù)的相互關系;復合函數(shù)求導，注意區(qū)分 和；隱函數(shù)和方程組求導，注意用公式和不用公式的區(qū)別；曲面的切平面與法線，曲線的切線與法平面；極值，最值，條件極值；梯度及性質(zhì)第八章 多元函數(shù)微分學多元函數(shù)概念(多個自變量),多元初等一.二元函數(shù)的定義類似地可定義三元及三元以上函數(shù)二、多元函數(shù)的極限一.二元函數(shù)的

11、定義類似地可定義三元及三元以上函數(shù)二、多元函點P0的 鄰域內(nèi)點,外點,邊界點,聚點(極限點),孤立點邊界,開集,連通集,有界集,開(閉)區(qū)域二.求極限方法與一元類似:不同處:洛必達法則,單調(diào)有界法則不再有用;相同處:四則運算,夾逼,有界與無窮小,連續(xù)等.可代換化成一元;不能用y=kx代入來求極限.點P0的 鄰域二.求極限方法與一元類似:不同處:洛必達注:二元函數(shù)要比一元復雜得多.關鍵在于一元中 方式簡單;而二元中 的方式 是任意的；這可用來證明二重極限不存在.注:二元函數(shù)要比一元復雜得多.關鍵在于一元中 連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì) 多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積均為連續(xù)函數(shù)當分母不為零時，商也是連續(xù)函數(shù) 多

12、元連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)三、多元函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì) 多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積均為連續(xù)函數(shù)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上必有最大值和最小值 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理（2）介值定理一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)偏導數(shù)偏導數(shù)一、偏導數(shù)的定義及其計算法一、偏導數(shù)的定義及其計算法注 f x（x0，y0）即是對一元函數(shù) f （x，y0）在 x0 處求導數(shù)； f y（x0，y0）即是對一元

13、函數(shù) f （x0，y）在 y0 處求導數(shù)；注 f x（x0，y0）即是對一元函數(shù) f （x，y0）在偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如 在 處 具體求偏導數(shù)時，僅對涉及的變量求導，其余變量當作常數(shù)因此，同一元偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如 1、偏導數(shù)存在與連續(xù)的關系一元函數(shù)中在某點可導 連續(xù)，多元函數(shù)中在某點偏導數(shù)存在 連續(xù)，連續(xù) 偏導數(shù)存在2、偏導數(shù)不再是微商.1、偏導數(shù)存在與連續(xù)的關系一元函數(shù)中在某點可導 連3、偏導數(shù)的幾何意義如圖設 M0（x0，y0，z0）是曲面 zf（x，y）上的一點.3、偏導數(shù)的幾何意義如圖設 M0（x0，y0，z0）幾何意義:幾何意義:混合偏導數(shù)二、高階偏

14、導數(shù)定義 二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù).混合偏導數(shù)二、高階偏導數(shù)定義 二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高注 對于高階混合偏導數(shù)，若連續(xù)，則混合偏導數(shù)與求導順序無關. 此時，z 的 n 階偏導可記為注 對于高階混合偏導數(shù)，若連續(xù)，則混合偏導三.全微分的定義三.全微分的定義四、可微的條件習慣上，記全微分為因此，微分的，同一元四、可微的條件習慣上，記全微分為因此，微分的，同多元函數(shù)的各偏導數(shù)存在并不能保證全微分存在，全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)多元函數(shù)的各偏導數(shù)存在并不能保證全微分存在，全微分的定義可推多元復合函數(shù)的求導法則多元復合函數(shù)的求導法則求導法則(鏈式法則)如圖示1.可推廣至

15、任意中間變量和自變量情形;2.求導時,要兼顧到每一個中間變量.求導法則(鏈式法則)如圖示1.可推廣至任意中間變量和自變量情隱函數(shù)存在定理及求導法則隱函數(shù)存在定理及求導法則高數(shù)(下)期中復習課件高數(shù)(下)期中復習課件高數(shù)(下)期中復習課件高數(shù)(下)期中復習課件用隱函數(shù)求導公式時須注意:1.用隱函數(shù)求導公式求導,在分子中出現(xiàn)對函數(shù)變量求導數(shù)時,函數(shù)作為常數(shù).2.不用隱函數(shù)求導公式求導,只是用思想方法求導,當出現(xiàn)對函數(shù)變量求導數(shù)時,函數(shù)作為中間變量,用隱函數(shù)求導公式時須注意:1.用隱函數(shù)求導公式求導,在分子中微分法在幾何上的應用微分法在幾何上的應用曲線在 M0 處的切線方程切向量：切線的方向向量稱為

16、曲線的切向量. 法平面：過 M0 點且與切線垂直的平面.一、空間曲線的切線與法平面曲線在 M0 處的切線方程切向量：切線的方向向量稱為曲線的切空間曲線方程為切線方程為法平面方程為空間曲線方程為切線方程為法平面方程為切平面在M處的法向量:也稱為曲面在M處的法向量.二、曲面的切平面與法線切平面在M處的法向量:也稱為曲面在M處的法向量.二、曲面的切法線方程為切平面方程為法線方程為切平面方程為方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度 稱此極限為 f 在 P（x，y）處沿方向 的方向?qū)?shù). 或 存在，記為 或 .一、方向?qū)?shù)的定義 二方向?qū)?shù)的求法：二方向?qū)?shù)的求法：三.三元函數(shù)情形三.三元函數(shù)情形四.多元函數(shù)連續(xù)

17、、可導、可微的關系函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)注 判斷一個函數(shù)是否可微，先看是否連續(xù)； 再看偏導是否存在；最后用定義.方向?qū)Т嬖谄珜Т嬖谒?多元函數(shù)連續(xù)、可導、可微的關系函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)五、梯度的概念五、梯度的概念注六、梯度的性質(zhì)注六、梯度的性質(zhì) 類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量,其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數(shù) 類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量,其方向與取得最大方向多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及其求法一、極值1、定義一、極值1、定義2、多元函數(shù)取得極值的條件定義 使一階偏導數(shù)同時為零的點,稱為函數(shù)的駐點.駐點極值點注

18、意：2、多元函數(shù)取得極值的條件定義 使一階偏導數(shù)同時為零的點,稱高數(shù)(下)期中復習課件高數(shù)(下)期中復習課件求最值的一般方法： 將函數(shù)在 D 內(nèi)的所有駐點處的函數(shù)值及在 D 的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.二、多元函數(shù)的最值求最值的一般方法：二、多元函數(shù)的最值三、條件極值、拉格朗日乘數(shù)法條件極值：對自變量有附加條件的極值三、條件極值、拉格朗日乘數(shù)法條件極值：對自變量有附加條件的極高數(shù)(下)期中復習課件再解方程組: 再解方程組: 第九,十章 多元函數(shù)積分重積分，線積分的定義：和式的極限；性質(zhì)同定積分，即：線性，區(qū)域可加性，的積分，單調(diào)性，估值，中值定理；

19、二重積分計算：1)先x后y，2)先y后x，3)極坐標；三重積分計算：1)先后，2)先后，3)柱面坐標，)球面坐標；第一類曲線積分計算：代入，下限小,上限大；第二類曲線積分計算：代入，下限起點,上限終點第九,十章 多元函數(shù)積分重積分，線積分的定義：和式的極限；重積分重積分一、二重積分的概念可積的必要條件一、二重積分的概念可積的必要條件積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達式面積元素積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達式面積元素對二重積分定義的說明：二重積分的幾何意義當被積函數(shù)大于零時,二重積分是曲頂柱體的體積當被積函數(shù)小于零時,二重積分是曲頂柱體的體積的負值總之，二重積分是曲頂柱體體積的代數(shù)和

20、對二重積分定義的說明：二重積分的幾何意義當被積函數(shù)大于零時,性質(zhì)當 為常數(shù)時，性質(zhì)（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）二、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)當 為常數(shù)時，性質(zhì)（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）二性質(zhì)對區(qū)域具有可加性性質(zhì) 4若在D上特殊地則有性質(zhì)對區(qū)域具有可加性性質(zhì) 4若在D上特殊地則有性質(zhì) 5性質(zhì) 6（二重積分中值定理）（二重積分估值定理）性質(zhì) 5性質(zhì) 6（二重積分中值定理）（二重積分估值定理）如果積分區(qū)域為：其中函數(shù) , 在區(qū)間 上連續(xù).三、利用直角坐標系計算二重積分X型如果積分區(qū)域為：其中函數(shù) , 在區(qū)間 如果積分區(qū)域為：Y型如果積分區(qū)域為：Y型二重積分化為累次積分的公式（）區(qū)域D特征如圖多

21、用于D是圓及圓的一部分,f含x2+y2.四、利用極坐標系計算二重積分二重積分化為累次積分的公式（）區(qū)域D特征如圖多用于D是圓及五、三重積分的定義與性質(zhì)五、三重積分的定義與性質(zhì)的體積 V的體積 V高數(shù)(下)期中復習課件直角坐標系中將三重積分化為三次累次積分六、直角坐標系下三重積分的計算如圖，方法一：穿線法或稱先一后二直角坐標系中將三重積分化為三次累次積分六、直角坐標系下三重注意注意方法二：切片法(截面法)或稱先二后一Z（3）方法二：切片法(截面法)或稱先二后一Z（3）七、利用柱面坐標計算三重積分規(guī)定：七、利用柱面坐標計算三重積分規(guī)定： 柱面坐標與直角坐標的關系為如圖，三坐標面分別為圓柱面；半平面

22、；平面 柱面坐標與直角坐標的關系為如圖，三坐標面分別為圓柱面；半柱面坐標系中的體積元素為柱面坐標系中的體積元素為柱坐標系(先一后二)特殊, f寫成一個一元函數(shù)和一個二元函數(shù)的乘積,D是圓的一部分.柱坐標系(先一后二)特殊, f寫成一個一元函數(shù)和一個二元函數(shù)柱坐標系(先二后一)特殊, f寫成一個一元函數(shù)和一個二元函數(shù)的乘積,Dz是圓的一部分或Dz與z無關.柱坐標系(先二后一)特殊, f寫成一個一元函數(shù)和一個二元函數(shù)八、利用球面坐標計算三重積分八、利用球面坐標計算三重積分如圖，三坐標面分別為圓錐面；球 面；半平面球面坐標與直角坐標的關系為如圖，三坐標面分別為圓錐面；球 面；半平面球面坐標與直角坐規(guī)

23、定：則規(guī)定：則球面坐標系球面坐標系特殊,是旋轉(zhuǎn)面包圍的部分,則在某固定平面上定r和的限.特殊,是旋轉(zhuǎn)面包圍的部分,則在某固定平面上定r和的限.第一型曲線積分 第一型曲線積分 九、對弧長的曲線積分的概念1.定義九、對弧長的曲線積分的概念1.定義被積函數(shù)積分曲線積分和被積函數(shù)積分曲線積分和2.存在條件：3.推廣2.存在條件：3.推廣4.性質(zhì)(同定積分,重積分) 4.性質(zhì)(同定積分,重積分) 十、對弧長曲線積分的計算定理注意:簡言之:代入十、對弧長曲線積分的計算定理注意:簡言之:代入空間:空間:第二型曲線積分 第二型曲線積分 十一、對坐標的曲線積分的概念1.定義十一、對坐標的曲線積分的概念1.定義類

24、似地定義類似地定義2.存在條件：3.向量形式2.存在條件：3.向量形式4.推廣4.推廣5.性質(zhì)即對坐標的曲線積分與曲線的方向有關.其它:線性,連續(xù)是積分存在的充分條件等.5.性質(zhì)即對坐標的曲線積分與曲線的方向有關.其它:線性,連續(xù)十二、對坐標的曲線積分的計算定理十二、對坐標的曲線積分的計算定理特殊情形簡言之:1)代入特殊情形簡言之:1)代入十三、兩類曲線積分之間的關系：十三、兩類曲線積分之間的關系：Green公式及其應用Green公式及其應用一、區(qū)域連通性的分類 設D為平面區(qū)域, 如果D內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于D, 則稱D為平面單連通區(qū)域, 否則稱為復連通區(qū)域.復連通區(qū)域單連通區(qū)域DD一、區(qū)域連通性的分類 設D為