淺析動(dòng)力學(xué)問題的求解方法

1、淺析動(dòng)力學(xué)問題的求解方法作者：趙麗霞來源：科技視界2014年第29期趙麗霞（安徽理工大學(xué)理學(xué)院力學(xué)系，安徽淮南232001）【摘要】本文針對(duì)動(dòng)力學(xué)的研究?jī)?nèi)容，論述了牛頓力學(xué)與分析力學(xué)兩種求解方法的特點(diǎn)及聯(lián)系，通過對(duì)比分析兩種方法在研究動(dòng)力學(xué)問題中的優(yōu)缺點(diǎn)，表明在動(dòng)力學(xué)分析求解過程中應(yīng)根據(jù)具體題目類型選擇最佳解決方法。同時(shí)也說明分析力學(xué)比牛頓力學(xué)具有更寬泛的適用范圍。因此，本文有一定的理論及工程實(shí)際意義?！娟P(guān)鍵詞】動(dòng)力學(xué)；牛頓力學(xué)；分析力學(xué)；廣義坐標(biāo)動(dòng)力學(xué)是研究物體運(yùn)動(dòng)與力之間關(guān)系的學(xué)科，生活日益發(fā)展的今天，動(dòng)力學(xué)已經(jīng)涉及到各個(gè)領(lǐng)域，生產(chǎn)方面：石油的開采、汽車的研發(fā)、航空航海、機(jī)械的研發(fā)等。生活

2、方面：足球動(dòng)力學(xué)、排球動(dòng)力學(xué)、高爾夫動(dòng)力學(xué)等。因此，隨著動(dòng)力學(xué)的廣泛應(yīng)用，研究該問題的求解方法不僅有著重要的理論意義，而且具有重要的工程實(shí)踐意義。在經(jīng)典力學(xué)的發(fā)展中，對(duì)動(dòng)力學(xué)問題的研究主要有兩個(gè)角度：牛頓力學(xué)和分析力學(xué)。1牛頓力學(xué)牛頓力學(xué)大量運(yùn)用幾何方法和矢量作為研究工具，因此它又被稱為矢量力學(xué)。其求解動(dòng)力學(xué)問題時(shí)主要依據(jù)的就是我們比較熟悉的動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理、動(dòng)能定理三大動(dòng)力學(xué)普遍定理。1.1主要內(nèi)容（1）動(dòng)量定理在某一時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的改變量等于在這段時(shí)間內(nèi)作用于質(zhì)點(diǎn)系外力沖量的矢量和。即（2）動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某固定點(diǎn)0的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力對(duì)于同一點(diǎn)的矩的

3、矢量和。即（3）動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系在某一運(yùn)動(dòng)過程中，起點(diǎn)和終點(diǎn)的動(dòng)能的改變量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的全部力在這一過程中所作的功之和。即1.2動(dòng)力學(xué)三大定理的對(duì)比分析（1）動(dòng)量定理反應(yīng)力對(duì)時(shí)間的累積效應(yīng)，而動(dòng)能定理反應(yīng)力對(duì)路程的累積效應(yīng)。（2）動(dòng)量和動(dòng)能定理無需對(duì)過程是怎樣變化的細(xì)節(jié)深入的研究，而更關(guān)心的是運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化即改變結(jié)果量及其引起變化的原因。對(duì)任何過程的恒力、變力；勻變速、非勻變速；直線運(yùn)動(dòng)、曲線運(yùn)動(dòng)；時(shí)間長(zhǎng)、瞬間過程；單、多過程都能運(yùn)用。但動(dòng)量矩定理只適用于瞬時(shí)狀態(tài)。（3）動(dòng)量和動(dòng)量矩定理表達(dá)式均是矢量形式，且內(nèi)力不參與計(jì)算；動(dòng)能定理表達(dá)式為標(biāo)量形式，并且若系統(tǒng)內(nèi)力做功，方程中也必須包含該內(nèi)力

4、。1.3使用動(dòng)力學(xué)三大定理解題的優(yōu)先順序（1）在涉及力、位移時(shí)優(yōu)先考慮能量途徑。（2）在涉及力、時(shí)間時(shí)優(yōu)先考慮動(dòng)量途徑。（3）若研究對(duì)象做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)或平面運(yùn)動(dòng)，則一般先考慮動(dòng)量矩定理。2分析力學(xué)分析力學(xué)是理論力學(xué)的一個(gè)分支，它通過用廣義坐標(biāo)為描述質(zhì)點(diǎn)系的變數(shù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的方法，研究宏觀現(xiàn)象中的力學(xué)問題，是對(duì)經(jīng)典力學(xué)的高度數(shù)學(xué)化的表達(dá)。分析力學(xué)是獨(dú)立于牛頓力學(xué)的描述力學(xué)世界的體系。分析力學(xué)的基本原理同牛頓運(yùn)動(dòng)三定律之間可以互相推出。分析力學(xué)又分為拉格朗日力學(xué)或哈密頓力學(xué)。前者以拉格朗日量刻劃力學(xué)系統(tǒng)，運(yùn)動(dòng)方程稱為拉格朗日方程，后者以哈密頓量刻劃力學(xué)系統(tǒng)，運(yùn)動(dòng)方程為哈密頓正則方程。2.1主要內(nèi)容（

5、1）動(dòng)力學(xué)普遍方程在理想約束情況下，任一瞬時(shí)，作用于質(zhì)點(diǎn)系上的主動(dòng)力和慣性力在質(zhì)點(diǎn)系的任意虛位移上所作虛功之和等于零。即（劉帕悴閘曰力砂玳干加蕾旳qkrA乖.J?格削11hfV加由自札企蟲_=皿“隊(duì)*rb:k打?qū)澵槃傆憚?chuàng)曲用制口.打酬片：斗也-也rfri曙咸舁.I.JJj劉ff特打.抑bf轄片時(shí)汨J；r辭也11.擰I】幻:.*-獸-一斗rrriiji4妣叫JLlJ溝的JfJtJ.力質(zhì)心.茨的動(dòng)*1.-丁_J叭衍廠理十恤曲.丸廣置堆座ci人廠區(qū)硼st.rlifftWSUJi曰方?jīng)_孫好用晤密敘吐兩方押為=札=U打申毗畑hJT此中E為機(jī)氓旳燒愜H敕打工巴乳.如乂對(duì)日A-2.2三種方程的對(duì)比分析（1

6、）在動(dòng)力學(xué)普遍方程中不會(huì)出現(xiàn)約束反力，它提供了具有任意多自由度系統(tǒng)的全部運(yùn)動(dòng)方程，但是由于約束的存在，求解時(shí)需找出虛位移之間的關(guān)系，有時(shí)很不方便。（2）拉格朗日方程采用廣義坐標(biāo)建立，它提供了與廣義坐標(biāo)數(shù)目相同的一組獨(dú)立微分方程,對(duì)于解決復(fù)雜質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問題是比較簡(jiǎn)便和有效的。（3）哈密頓正則方程與拉格朗日方程是等價(jià)的，將廣義動(dòng)量引入到方程中，方程數(shù)目比拉格朗日方程數(shù)目更多，但是它的形式是簡(jiǎn)單而對(duì)稱的，而且微分方程階數(shù)低，更易于求解。3牛頓力學(xué)與分析力學(xué)的對(duì)比分析（1）牛頓力學(xué)以牛頓定律為理論基礎(chǔ)，分析力學(xué)的基本原理主要是虛功原理和達(dá)朗伯原理,而前者是分析靜力學(xué)的基礎(chǔ)；前后兩者結(jié)合，便可得到動(dòng)

7、力學(xué)普遍方程，從而導(dǎo)出分析力學(xué)各種系統(tǒng)的動(dòng)力方程。（2）牛頓力學(xué)主要采用幾何法求解問題，而分析力學(xué)主要是運(yùn)用分析的方法。（3）在研究觀點(diǎn)上牛頓力學(xué)側(cè)重力，分析力學(xué)則是側(cè)重更廣泛意義的能量，所以它具有高度的統(tǒng)一性和普遍性。（4）分析力學(xué)引入了廣義坐標(biāo)、廣義力、廣義動(dòng)量等，使分析力學(xué)的方法與結(jié)論所適用的范圍可以超出力學(xué)的領(lǐng)域。它廣泛用于結(jié)構(gòu)分析、機(jī)器動(dòng)力學(xué)與振動(dòng)、航天力學(xué)、多剛體系統(tǒng)和機(jī)器人動(dòng)力學(xué)以及各種工程技術(shù)領(lǐng)域，也可推廣應(yīng)用于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)和相對(duì)論力學(xué)。（5）牛頓力學(xué)與分析力學(xué)的研究對(duì)象都可以是質(zhì)點(diǎn)系，質(zhì)點(diǎn)系可視為一切宏觀物體組成的力學(xué)系統(tǒng)的理想模型。例如剛體、彈性體、流體等以及它們的綜合體都

8、可看作質(zhì)點(diǎn)系，質(zhì)點(diǎn)數(shù)可由1到無窮。但在牛頓力學(xué)中的質(zhì)點(diǎn)系主要是剛體，而分析力學(xué)中的質(zhì)點(diǎn)系可以推廣到彈性體、流體等以及它們的綜合體。（6）對(duì)于自由質(zhì)點(diǎn)或比較簡(jiǎn)單的質(zhì)點(diǎn)系，牛頓力學(xué)與分析力學(xué)兩種方法無優(yōu)劣之分，有時(shí)后者反而顯得麻煩一些，但是分析力學(xué)對(duì)于具有約束的復(fù)雜質(zhì)點(diǎn)系的求解更為優(yōu)越，因?yàn)橛辛思s束方程，系統(tǒng)的自由度就可減少，運(yùn)動(dòng)微分方程組的階數(shù)隨之降低，更易于求解。4結(jié)論通過前面的分析，我們知道動(dòng)力學(xué)問題的求解方法比較多，在工程實(shí)際中，應(yīng)根據(jù)具體問題類型選擇最佳的求解方法，這就需要我們熟悉各種求解方法的適用范圍及優(yōu)缺點(diǎn)。同時(shí)，通過牛頓力學(xué)與分析力學(xué)的對(duì)比，從對(duì)運(yùn)動(dòng)方程建立的方法的研究，可以看出分析力學(xué)具有更高的統(tǒng)一性和普遍性，它的適