淺析動力學問題的求解方法

1、淺析動力學問題的求解方法作者：趙麗霞來源：科技視界2014年第29期趙麗霞（安徽理工大學理學院力學系，安徽淮南232001）【摘要】本文針對動力學的研究內(nèi)容，論述了牛頓力學與分析力學兩種求解方法的特點及聯(lián)系，通過對比分析兩種方法在研究動力學問題中的優(yōu)缺點，表明在動力學分析求解過程中應根據(jù)具體題目類型選擇最佳解決方法。同時也說明分析力學比牛頓力學具有更寬泛的適用范圍。因此，本文有一定的理論及工程實際意義?！娟P(guān)鍵詞】動力學；牛頓力學；分析力學；廣義坐標動力學是研究物體運動與力之間關(guān)系的學科，生活日益發(fā)展的今天，動力學已經(jīng)涉及到各個領域，生產(chǎn)方面：石油的開采、汽車的研發(fā)、航空航海、機械的研發(fā)等。生活

2、方面：足球動力學、排球動力學、高爾夫動力學等。因此，隨著動力學的廣泛應用，研究該問題的求解方法不僅有著重要的理論意義，而且具有重要的工程實踐意義。在經(jīng)典力學的發(fā)展中，對動力學問題的研究主要有兩個角度：牛頓力學和分析力學。1牛頓力學牛頓力學大量運用幾何方法和矢量作為研究工具，因此它又被稱為矢量力學。其求解動力學問題時主要依據(jù)的就是我們比較熟悉的動量定理、動量矩定理、動能定理三大動力學普遍定理。1.1主要內(nèi)容（1）動量定理在某一時間間隔內(nèi)，質(zhì)點系動量的改變量等于在這段時間內(nèi)作用于質(zhì)點系外力沖量的矢量和。即（2）動量矩定理質(zhì)點系對某固定點0的動量矩對時間的導數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的外力對于同一點的矩的

3、矢量和。即（3）動能定理質(zhì)點系在某一運動過程中，起點和終點的動能的改變量，等于作用于質(zhì)點系的全部力在這一過程中所作的功之和。即1.2動力學三大定理的對比分析（1）動量定理反應力對時間的累積效應，而動能定理反應力對路程的累積效應。（2）動量和動能定理無需對過程是怎樣變化的細節(jié)深入的研究，而更關(guān)心的是運動狀態(tài)變化即改變結(jié)果量及其引起變化的原因。對任何過程的恒力、變力；勻變速、非勻變速；直線運動、曲線運動；時間長、瞬間過程；單、多過程都能運用。但動量矩定理只適用于瞬時狀態(tài)。（3）動量和動量矩定理表達式均是矢量形式，且內(nèi)力不參與計算；動能定理表達式為標量形式，并且若系統(tǒng)內(nèi)力做功，方程中也必須包含該內(nèi)力

4、。1.3使用動力學三大定理解題的優(yōu)先順序（1）在涉及力、位移時優(yōu)先考慮能量途徑。（2）在涉及力、時間時優(yōu)先考慮動量途徑。（3）若研究對象做定軸轉(zhuǎn)動或平面運動，則一般先考慮動量矩定理。2分析力學分析力學是理論力學的一個分支，它通過用廣義坐標為描述質(zhì)點系的變數(shù)，運用數(shù)學分析的方法，研究宏觀現(xiàn)象中的力學問題，是對經(jīng)典力學的高度數(shù)學化的表達。分析力學是獨立于牛頓力學的描述力學世界的體系。分析力學的基本原理同牛頓運動三定律之間可以互相推出。分析力學又分為拉格朗日力學或哈密頓力學。前者以拉格朗日量刻劃力學系統(tǒng)，運動方程稱為拉格朗日方程，后者以哈密頓量刻劃力學系統(tǒng)，運動方程為哈密頓正則方程。2.1主要內(nèi)容（

5、1）動力學普遍方程在理想約束情況下，任一瞬時，作用于質(zhì)點系上的主動力和慣性力在質(zhì)點系的任意虛位移上所作虛功之和等于零。即（劉帕悴閘曰力砂玳干加蕾旳qkrA乖.J?格削11hfV加由自札企蟲_=皿“隊*rb:k打?qū)澵槃傆憚?chuàng)曲用制口.打酬片：斗也-也rfri曙咸舁.I.JJj劉ff特打.抑bf轄片時汨J；r辭也11.擰I】幻:.*-獸-一斗rrriiji4妣叫JLlJ溝的JfJtJ.力質(zhì)心.茨的動*1.-丁_J叭衍廠理十恤曲.丸廣置堆座ci人廠區(qū)硼st.rlifftWSUJi曰方?jīng)_孫好用晤密敘吐兩方押為=札=U打申毗畑hJT此中E為機氓旳燒愜H敕打工巴乳.如乂對日A-2.2三種方程的對比分析（1

6、）在動力學普遍方程中不會出現(xiàn)約束反力，它提供了具有任意多自由度系統(tǒng)的全部運動方程，但是由于約束的存在，求解時需找出虛位移之間的關(guān)系，有時很不方便。（2）拉格朗日方程采用廣義坐標建立，它提供了與廣義坐標數(shù)目相同的一組獨立微分方程,對于解決復雜質(zhì)點系的動力學問題是比較簡便和有效的。（3）哈密頓正則方程與拉格朗日方程是等價的，將廣義動量引入到方程中，方程數(shù)目比拉格朗日方程數(shù)目更多，但是它的形式是簡單而對稱的，而且微分方程階數(shù)低，更易于求解。3牛頓力學與分析力學的對比分析（1）牛頓力學以牛頓定律為理論基礎，分析力學的基本原理主要是虛功原理和達朗伯原理,而前者是分析靜力學的基礎；前后兩者結(jié)合，便可得到動

7、力學普遍方程，從而導出分析力學各種系統(tǒng)的動力方程。（2）牛頓力學主要采用幾何法求解問題，而分析力學主要是運用分析的方法。（3）在研究觀點上牛頓力學側(cè)重力，分析力學則是側(cè)重更廣泛意義的能量，所以它具有高度的統(tǒng)一性和普遍性。（4）分析力學引入了廣義坐標、廣義力、廣義動量等，使分析力學的方法與結(jié)論所適用的范圍可以超出力學的領域。它廣泛用于結(jié)構(gòu)分析、機器動力學與振動、航天力學、多剛體系統(tǒng)和機器人動力學以及各種工程技術(shù)領域，也可推廣應用于連續(xù)介質(zhì)力學和相對論力學。（5）牛頓力學與分析力學的研究對象都可以是質(zhì)點系，質(zhì)點系可視為一切宏觀物體組成的力學系統(tǒng)的理想模型。例如剛體、彈性體、流體等以及它們的綜合體都

8、可看作質(zhì)點系，質(zhì)點數(shù)可由1到無窮。但在牛頓力學中的質(zhì)點系主要是剛體，而分析力學中的質(zhì)點系可以推廣到彈性體、流體等以及它們的綜合體。（6）對于自由質(zhì)點或比較簡單的質(zhì)點系，牛頓力學與分析力學兩種方法無優(yōu)劣之分，有時后者反而顯得麻煩一些，但是分析力學對于具有約束的復雜質(zhì)點系的求解更為優(yōu)越，因為有了約束方程，系統(tǒng)的自由度就可減少，運動微分方程組的階數(shù)隨之降低，更易于求解。4結(jié)論通過前面的分析，我們知道動力學問題的求解方法比較多，在工程實際中，應根據(jù)具體問題類型選擇最佳的求解方法，這就需要我們熟悉各種求解方法的適用范圍及優(yōu)缺點。同時，通過牛頓力學與分析力學的對比，從對運動方程建立的方法的研究，可以看出分析力學具有更高的統(tǒng)一性和普遍性，它的適