高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)考點(diǎn)知識(shí)及題型專題講義16同角三角函數(shù)的關(guān)系式及誘導(dǎo)公式

1、高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)考點(diǎn)知識(shí)及題型專題講義十六同角三角函數(shù)的關(guān)系式及誘導(dǎo)公式知識(shí)梳理1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：Sin2a+ COS2 a= 1.,一 sin “ ，（2）商數(shù)關(guān)系： 姿=tan a2.誘導(dǎo)公式角函數(shù)2k 兀+ a(kJ)兀+ a一 a兀一 a兀22+ “正弦sin a一sin a一sin asin aCOS aCOS a余弦COS aCOS aCOS aCOS asin asin a正切tan atan a tan atan a口訣函數(shù)名不義符號(hào)看象限函數(shù)名改變符號(hào)看象限統(tǒng)一記憶口訣：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”， k對(duì)于角“萬(wàn)a（kC Z）的三角函數(shù)記憶口訣奇變偶不變

2、， 符號(hào)看象限”，“奇變偶不變 是指“當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng) k為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變”.“符號(hào)看 象限”是指“在 a的三角函數(shù)值前面加上當(dāng) a為銳角時(shí)，原函數(shù)值的符號(hào)”.典例剖析題型一同角三角函數(shù)關(guān)系應(yīng)用例1已知a是第二象限角，tan a= 則Sin a=.15答案看_817.Sin2 a+ COS2_817.解析 由 Sin a 8 解得 sin a=8a為第二象限角，sin o0,Sin a=cos oT 15變式訓(xùn)練已知 代 二，兀，sin 則tan a=.254答案43解析tan.代 2t,兀，.cos a =-Wsinsin2 0+ sin 9cos 0- 2cos

3、2 0 tan2 0+ tan 0- 2 4+2 2 4 =解析tansin2 0+ sin 9cos 0- 2cos2 0 tan2 0+ tan 0- 2 4+2 2 4 =- sin2 0+ cos2 0tan2 0+ 14+15sin 0 cos 0 tan 9 sin2 0+ cos2 0 tan2 0+ 1解題要點(diǎn)(1)利用sin2a+ cos2 a= 1可以實(shí)現(xiàn)角”的正弦、余弦的互化，禾U用sn=tan a可cos a以實(shí)現(xiàn)角a的弦切互化.(2)注意公式逆用及變形應(yīng)用：1 = sin2 a+ cos2 a, sin2 a= 1 cos2 a, cos2 a= 1 sin2 a.(

4、3)應(yīng)熟練掌握齊次式問(wèn)題求值，通過(guò)代數(shù)式變形，把所求值化為關(guān)于tan。的齊次式，從而使問(wèn)題得解.題型二sin a+ cos a, sin acos a, sin a cos a “三姊妹問(wèn)題例 3 已知 sin a+ cos a= 5 ,且 aC (0,兀)；求(1)sin a cos a；(2)sin a cos a； (3)tan a.解析(1)因?yàn)?sin a+ cos a=,5所以(sin a+ cos a)2 = 1 + 2sin a cos a= ()2,即 2sin a cos a= ,所以 sin a cos a= TOC o 1-5 h z sin a4a=一 一cos a3

5、.(1)已知 tan 0= 2,則 sin2 0+ sin Qcos。一 2cos2 9=(2)已知 tan 0= 2,則 sin 0cos 0=，-42答案(1)4(2)2解析 (1)sin2 e+ sin ecos o- 2cos2 0(2)sin 0cos 0=sin2 0+ sin 9cos 0- 2cos2 0(2)sin 0cos 0=故 sin a cos a=7514sin a+ cosa 5,sin a= ,得7sin a cosa 5,cos a= 一由35所以 tan a=-3.變式訓(xùn)練已知 sin。+ cos 0=乎(0 Q 7),求 tan3。的值.解析 將已知等式兩

6、邊平方，得 sin 9cos 0= - -7-,18齊口,sin 0 cos 0= yj sin 0 cos42sin Qcos 0=- 3. 八.2sin 0+ cos 0= -3-, 解方程組sin一八4sin 0 cos 0=q,3cos.2+4 卜6，42 40=6，一 一 9一 4.2, 八 sin 0 tan 0=:cos 0解題要點(diǎn)對(duì)于sin a+ cos a,sin acos a,sin a COS a這二個(gè)式子,基本解題策略是借助方%可以知一求二.%可以知一求二.程思想，利用(sin aicos a)2= 1 i2sin acos題型三三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用例4 cos 一5

7、237t(2)已知 cos 6+乎,求 cos 5T-答案-2(2)解析cos52兀352.工 二=cos 3 = cos(17 計(jì)3)=co$3二12.5_k65_k6a=(2) .-5,兀一a .65兀- cos -65=cos兀一6 + a = cos 6+ a口口 5兀即 cos 6變式訓(xùn)練化簡(jiǎn):tan 兀一a cos 2 Tt a sin a+ 安cos a兀 sin Tt atan (X cos (X , cos 民解析 原式=cos 兀+ a ,sin 兀+ atan : cos . cossin a coscos一cos a sin asin a121213解題要點(diǎn) (1)應(yīng)熟

8、練應(yīng)用誘導(dǎo)公式.誘導(dǎo)公式的應(yīng)用原則是：負(fù)化正、大化小、化到銳角為終了.誘導(dǎo)公式的應(yīng)用是求任意角的三角函數(shù)值，其一般步驟：負(fù)角變正角，再寫成2kTt+a(kCZ), 0a0 ,2541所以 sin a+ cos a= 一 5-課后作業(yè)、填空題1. tan150的值為L(zhǎng) 兀2.已知代（2,7t解析 tan150 = tan(180 - 30 ) = - tan30 =- )tan a= L 兀2.已知代（2,7t4答案-35解析由題意可知sin a3cos a-4sin2解析由題意可知sin a3cos a-4sin2 a+ COS2 a= 19,由此斛付sin = 25,又代7t35sin( a

9、+ 句=- sin a= 一35.3,已知cos a=看角a是第二象限角，則tan（2啟a）等于答案125解析cos a= 13，a是第二象限角,sina= J - cos2 答案125解析cos a= 13，a是第二象限角,sina= J - cos2 后 72, 13tan(2 亡 o) = tan(一 力=tansin a 12a=cos a 5 .一 .一 .3是第一象限角，由=4,則sink答案解析tank第=3, sin2COs2k 1，且是第一象限角，所以sink 3.若1 一 兀 一cos a= 3, 慶 2，0，貝U tan a 等于解析 由已知得 sin a=Ji - co

10、s2 a=1 9 =- 23tan a=sin acos a2 2.6.若sin a+ cos aSin a COS a2,貝U tan2 a等于解析sin a+ cos a tan a+ 1sin a cos a tan 51tan a= - 3. tan2 a=-an 0c =.解析 由已知得 sin a=Ji - cos2 a=1 9 =- 23tan a=sin acos a2 2.6.若sin a+ cos aSin a COS a2,貝U tan2 a等于解析sin a+ cos a tan a+ 1sin a cos a tan 51tan a= - 3. tan2 a=-an

11、0c =.21 tan2 a 47.已知答案_23解析sin 0+ cos 0= 4-,(sin 0+ cos 2= 1 + sin2 0= 16s sin2 0= -7,又 00,貝U cos 9=sin。0, tan 肛。為第三象限角，cos0= -111 - ：2= 5. .兀 1. 一 一。為第二象限角，若tan（。+ 4）= 2，則sin時(shí)cos仁sin。+ cos 0= 4 0 長(zhǎng)4，貝U sin。一 cos 0 的值為 34tt 1 + tan 0 1 _1 一 ，、一 一 。.一r、H0解析 tan（時(shí)3=1J2,解得tan仁一3,又。位于第二象限得sin仁專0,cos 0=一

12、嚼，所以sine+ cose一千tt 1 + tan 0 1 _1 一 ，、一 一 。.一r、H0解析 tan（時(shí)3=1J2,解得tan仁一3,又。位于第二象限得sin仁專0,cos 0=一嚼，所以sine+ cose一千二、解答題112.若tan+嬴T3,計(jì)算下列各式的值: sin acos 區(qū)2 . 1匕n什tan2”.一一1解析.，+而 3,sin a cos a +=3, cos a sin asin2 a+ cos2 a1即 :=3. sin acos a=二sin acosa3.，2 ,1,，工 tan 計(jì)審=tana+tana2 2tana；- tan一 =9一 2=7. a13.已知長(zhǎng)（0,兀：3 1)sin 0+ cos 仁2一，求 tan。的值.解析 由 sin 0+ cos 0=木2 1,兩邊平方得sin 0 cos 0=亞, 4(sin 0 cos 2= 1 2sin 0cos 0= 1 +2/34+2/3V3+1 22-長(zhǎng)(0,7t)sin 0+ cos 0=1)0,sin sin 0+ co