湖北2012高考數(shù)學(xué)壓軸題20探索問題

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精20探索問題bx cax2 1(a,c R, a0, b是自然數(shù))是奇函數(shù),f(x)有最大12值2,且 f(1) 5(1)求函數(shù)f (x)的解析式；(2)是否存在直線l與y=f (x)的圖象交于P、Q兩點，并且使得 P、Q兩點關(guān)于點(1 0)對稱，若存在，求出直線l的方程，若不存在, 說明理由 命題意圖 本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、最值問題、直線方 程及綜合分析問題的能力知識依托 函數(shù)的奇偶性、重要不等式求最值、方程與不等式的解 法、對稱問題錯解分析 不能把a(bǔ)與b間的等量關(guān)系與不等關(guān)系聯(lián)立求 b；忽視b 為自然數(shù)而導(dǎo)致求不出b的具體值；P、Q兩點的坐標(biāo)關(guān)系列不出解

2、 技巧與方法充分利用題設(shè)條件是解題關(guān)鍵本題是存在型探索題目，注意在假設(shè)存在的條件下推理創(chuàng)新，若由此導(dǎo)出矛盾，則否定 假設(shè)，否則，給出肯定的結(jié)論，并加以論證轉(zhuǎn)化思想 解 (1) .7僅)是奇函數(shù).f( x)= - f (x),即bx c bx c 22ax 1 ax 1二bx+c= - bx - c二 c=0學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精bx.f(x)=a由aQb是自然數(shù)得當(dāng)xw。時，f (x) w。,當(dāng) x。時,f (x)。，f (x)的最大值在x。時取得f（x），x。時，a-f（x），x。時，a-x當(dāng)且僅當(dāng)b1bx11bxX /,一即、a時，f(x)有最大值1121. .、. .、b2 =1,

3、: a=b2又 f（1）5,5b2a+2又 f（1）5,5b2a+2把代入得2b2- 5b+21。解得 2Vb21。解得 2Vb2x又 bWN,，b=1, a=1, . f(x)= x2 1(2股存在直線l與y=f(x)的圖象交于(1,。)對稱，P、Q兩點，且P、Q關(guān)于點P （x。，y。）貝P （x。，y。）貝I Q（2 x。, y。），.x。x 2 1xQ2XQV。2（2 x。）2 1y。,消去 y。,得 xQ2- 2xQ-1=。解之，得xQ=1 2,學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精 TOC o 1-5 h z 一 ，1.2 t 1.2 ABa，P點坐標(biāo)為（4）或（4） pt不一b 2PiMN1.

4、2. .2-ic進(jìn)而相應(yīng)Q點坐標(biāo)為Q （4 ）或Q過P、Q的直線l的方程 x-4y- 1=0即為所求2如圖，三條直線a、b、c兩兩平行，直線a、b間的距離為p,直線_pb、c間的距離為2 , A、B為直線a上兩定點，且| AB | =2p, MN是在直線b上滑動的長度為2P的線段(1)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求 AMN的外心C的軌跡E;(2)接上問，當(dāng) AMN的外心C在E上什么位置時，d+ | BC |最小，最小值是多少？(其中d是外心C到直線c的距離)命題意圖 本題考查軌跡方程的求法、拋物線的性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合思 想及分析、探索問題、綜合解題的能力知識依托 求曲線的方程、拋物線及其性質(zhì)、直線的

5、方程錯解分析建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是解決本題的關(guān)鍵，如何建系是難點，第二問中確定 C點位置需要一番分析技巧與方法本題主要運(yùn)用拋物線的性質(zhì)，尋求點C所在位置，然后加以論證和計算，得出正確結(jié)論，是條件探索型題目數(shù)形結(jié)合思想解(1)以直線b為x軸，以過A點且與b直線垂直的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系設(shè)4AMN 的外心為 C (x,y),則有 A (0, p)、M (x-p,0), N(x+p,0),學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精由題意，有|CA | = | CM| (y p)2x p)2 y2,化簡，得 x2=2py它是以原點為頂點，y軸為對稱軸，開口向上的拋物線(2)由(1)得，直線c恰為軌跡E的準(zhǔn)線p由拋

6、物線的定義知d= | CF | ,其中F (0,萬)是拋物線的焦點 d+ | BC|= | CF | +|BC |由兩點間直線段最短知，線段BF與軌跡E的交點即為所求的點 TOC o 1-5 h z 11直線BF的方程為y 4X 2P聯(lián)立方程組1X - p(1. 17)14y -x -p29172y p.x 2py 得 161 .179 .17此時d+ BC 的最小值為 BF即C點坐標(biāo)為(4 p, 16 p此時d+ BC 的最小值為 BF,17Tp3,在數(shù)列an3,在數(shù)列an中,若a1,a2是正整數(shù)，且an|an 1an21，n 345,，則稱an為“絕對差數(shù)列”(I)舉出一個前五項不為零的“

7、絕對差數(shù)列”(只要求寫出前十項);(II)若“絕對差數(shù)列” an中，a20 3，a21 0，數(shù)列出滿足A an an 1 an 2,n 1,2,3,，分別判斷當(dāng)n 時，4與*的極限是否存在，如果存在，求出其極限值；(4)證明:任何“絕對差數(shù)列”中總含有無窮多個為零的項。分析：本題主要考查數(shù)列的概念和性質(zhì)、不等式的性質(zhì)，綜合運(yùn)送 知識分析問題和解決問題、探索問題的綜合能力。學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精分類討論思想方法答案：(I)解:ai答案：(I)解:ai3, a21,832, a41, a1, a60, a71,3g1刀90,810(答案不惟一)數(shù)列是a203,a21(n)解：因為絕對差數(shù)列an

8、中但。3數(shù)列是a203,a210,3223,8233,3240,3253, 3263,3270,即自第20項開始，每三個相鄰的項周期地取值 3, 0,3,所以當(dāng)n時,3n的極限不存在.7 n 205t,bn 3n 3nl 3n 26,所以 lim bn 6當(dāng)n(4)證明：根據(jù)定義，數(shù)列 同必在有限項后出現(xiàn)零項，證明如下：假設(shè)3n中沒有零項，由于4 * *,所以對于任意的h ,都有3。從而3n 133n 13n2 時，3n3n 13n 23n 1 1 n 3即3n的值要么比至少小1,那么比3n 2至少小1Cn令32n 1 Cn令32n 1 32n 132n 32n 132n ,n 1,2,3,3

9、2n貝（j 0CnCn 1 1 n 2,3,4,由于c1是確定的正整數(shù)，這樣減少下去，必然存在某項c10,這與 cn0 (n=1,2, 3,)矛盾，從而3n必有零項。若第一次出現(xiàn)的零項為第n項，記3n1 AA 0,則自第n項開始，每 三個相鄰的項周期地取值0, A, A即3n 3k 0,所以絕對差數(shù)列3n中有無窮多個零的項所以絕對差數(shù)列3n中有無窮多個零的項3n 3k 2A4.設(shè)f(x)是定義在0,1上的函數(shù)，若存在x*G (0, 1),使得f(x)學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精在0, x*上單調(diào)遞增，在x*, 1上單調(diào)遞減，則稱f (x)為 0,1上的單峰函數(shù)，x*為峰點，包含峰點的區(qū)間為含峰區(qū)

10、間.對任意的0, I上的單峰函數(shù)f (x),下面研究縮短其含峰區(qū)問 長度的方法.(I)證明：對任意的 x1, x2G (0,1), x1x2,若 f(x1)Af(x2),貝(0, x2)為含峰區(qū)間；若f (x1) Wf (x2),貝J (x*,1)為含峰區(qū)間；(II)對給定的r (0 r2r,使得由(I)所確定的含峰區(qū)間的長度不大于0。5+r;(III)選取x1, x2G (0, 1), x1f (x2)時，假設(shè) x* (0, x2),則 x1 f(x1),這與f (x1) f(x2)矛盾，所以x*G (0, x2),即(0, x2層含峰 區(qū)間。學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精當(dāng) f (x1)wf

11、(x2)時，假設(shè) x*( x2, 1),貝1x*Wx1x2,從而 f(x*) f(x1) f(x2),這與f (x1)wf(x2)矛盾，所以x* (x1, 1)即(x1, 1)是含峰區(qū)間。(II)證明：由(I)的結(jié)論可知：當(dāng)f(x1戶f(x2)時，含峰區(qū)間的長度為l1 = x2;當(dāng)f(x1)wf (x2)時，含峰區(qū)間的長度為12=1-x1;對于上述兩種情況，由題意得 x2 0,5 r TOC o 1-5 h z 1 x1 0.5 r由得 1 + x2x1w 1+2r,即 x1-x12r.又因為x2x1A2r所以x2x1=2r,將代入得x1W0.5 r, x2A0.5 r,由和解得 x1 = 0.5 r, x2= 0.5+ r.所以這時含峰區(qū)間