高考自主招生講義：第16講概率與統(tǒng)計

1、第十六講概率與統(tǒng)訃、知識方法拓展1、離散型隨機變量的分布列：一般地，設離散型隨機變量可能取的值為召，兀，兀，g取每一個值兀(i=1,2，)的概率P(A=xi)=p，則稱下表為隨機變量g的概率分布，簡稱為g的分布列。gV:?PPlP2?Pi?2、數(shù)學期望：一般地，若離散型隨機變量的概率分布為g?PPlPl?Pn?則稱Eg=Xi必+X2P2+-+如幾+為的數(shù)學期望(平均數(shù)，均值)，簡稱為期望它反映了離散型隨機變量取值的平均水平。若二項分布)，則Eg=?二、熱身練習1、(武大)口袋里裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中隨機摸出一個球，摸出紅球的概率為0.4，摸出白球或紅球的概率為0.58，那么摸

2、出黑球的概率是【詳解】易知摸出黑球是摸出白或紅的對立事件，即摸出黑球的概率是1-0.58=0.42o2、(南大)設A、B是隨機事件，且P(A)=|,P(B)=t,P(AUA)=|則P(AU豆卜【詳解】易知P(可=1一廣|,故P(AnB)=P(A)+P(B)-P(AUB)=|+八一|=而P(AU可(亦8)=*(08復旦)一批襯衣中有一等品和二等品，其中二等品率為0J將這批襯衣逐漸檢測后放回，在連續(xù)三次檢測中，至少有一件是二等品的概率為()(A)0.271(B)0.243(C)0(D)0.081【詳解】看到“至少”字眼，從反而入手更容易，沒有一件二等品的概率為(1-0.1/=0.729,則至少有一

3、件二等品的概率為1-0.729=0.271，故選Ao(09華南理工)甲、乙兩人下圍棋，下三盤棋，甲：平均能贏兩盤，某日，甲、乙進行五打三勝制比賽，那么甲勝出的概率為【詳解】甲勝出有三種情況，【詳解】甲勝出有三種情況，1、連勝三局,E ?方：2、第四局勝出&(3x席；3、第五局勝出，C;|1一日x-=&(3 TOC o 1-5 h z 13J381八88166427278181三、真題精講：例1、(1)(09復旦)某種細胞如果不能分裂則死亡，弁且一個細胞死亡和分裂為兩個細胞的概率都為，現(xiàn)有兩個這樣的細胞，則兩次分裂后還有細胞存活的概率是()239?531?9(A)(B)(C)(D)一646464

4、64【解析】首先要經(jīng)過兩次分裂，再考慮細胞存活，兩個條件缺一不可，而兩個細胞比較麻煩，我們可以先從一個細胞入手?！驹斀狻恳粋€細胞經(jīng)過兩次分裂還有存活即第一次分裂，分裂得的兩個細胞中至少有一個分裂了，即|xlX，I-則兩個細胞至少一個兩次分裂后還有存活的概率是39喬，故選A(2013復旦)一幢樓房共有11層，從一樓出發(fā)，有三名乘客，每人在每一層出電梯的概率相同,問三名乘客在不同層出電梯的概率(7A、25B、7A、25B、182511812?D、90n答案：B【詳解】三名乘客分別在211層共10層中選一層出電梯，而易知每人在每一層出電梯的概率是命，則三名乘客在不同層出電梯的概率是召18率是命，則三

5、名乘客在不同層出電梯的概率是召1825例2、(2012華約)系統(tǒng)內(nèi)有2R-1個元件，每個元件正常工作的概率為/八0p-時，A遞增，當/?4):概率顯然單調(diào)遞減。248(3)存在為0,當投擲的次數(shù)足夠多時，不出現(xiàn)連續(xù)三次正而向上的次數(shù)非常少，兩者比值趨近于0。例4、(2013華約)口袋中有7個黑球和8個紅球，一次從中取出4個，求恰有1個紅球的概率；設取出的黑球數(shù)為X,求X的分布列和EX:如果要求取出的4個球均同色，計算取出的球全是黑球的概率?！窘馕觥勘绢}考查隨機變雖的分布列及數(shù)學期望，難度一般?！驹斀狻?1)取出的4個球恰有個紅球的概率P=-八=一:C；195*。P(X?知)號淆片訃晉，懵叱56

6、195r410*。P(X?知)號淆片訃晉，懵叱56195r410P(X=4)=升 1952)唱 i 195X01234P540845610195195195195195C15EX=0 x + lx + 2x195195(3)若取出的841954個球全是同色，是黑球的概率為尹 =C_ _2 c；+c;飛例5、(2012卓越)G:y=QY+/?(a,bw12345),C2:F+)=2,求：(1)CC有交點的概率P(A);(2)求交點個數(shù)的數(shù)學期望E(A)0【解析】本題將概率與平而幾何相結(jié)合，靈活性變大，但本質(zhì)不變，直線與圓有交點依然是圓心到直線的距離做為運算標準，概率與期望的汁算也屈常規(guī)，以平常心

7、對待即可。【詳解】(1)圓心到直線的距離為d=即日222+,故(dQ)不可取的J1+/值是(1,3),(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,5)共6種，故可取的有5x5-6=19種，故P(A)=|:(2)設A為交點個數(shù)，則相切時只有1個交點，即(1,2),1)=右，相交時P(2)=一,則或A尸lx一+2x=.v725v7252525例6、(10五校)已知基因型為必、Aa.m的比例為u:2v:w,且u+2v+w=.求子一代必、Ad、aa的比例；子二代與子一代比例是否相同？【解析】由題意知各種基因型出現(xiàn)的概率即n,2v,vv,則由生物學上基因遺傳的法則，易知出現(xiàn)子一代三種基因型的方

8、法如下：(A4,Aa)or(Aa,AA)or(AA,AA)or(Aa,Aa),AaAa),且A4基因型提供下一代的一泄是A,“基因型提供下-代的-定謝，而加基因型提供下-代的*的概率浙，1的概率是Ao【詳解】(1)子一代為A4的概率為：2X/X1X2V+m2+|lx2vfir；二，=2(/+v)(vv+v):為的概率i概率為2xhx-x2v+2uw+2xx2v+2vvxx2v2(1VI(1VI為一x2v +2x x2vvv +W = (v + w)，即比例為(w + v) 2:2(w + v)(v+ w) :(v + w)2:(2)(2)記+ u = v + w = y,2(/+v)(v+vv

9、)=2,ry,貝ij(x+y)=l。記2A=2v,r=iv-,則由(1)的結(jié)論可知則子二代的比例為(w,+V,)2：2(Z/，+V,)(V,+VV,)：(V,+VVI代入運算可得即與子一代比例相同。四、重點總結(jié)概率與統(tǒng)訃中考查形式多有不同，概率部分考查與排列組合相結(jié)合，考查小題居多，需要注意的是理科拓展部分中獨立事件積的概率；而統(tǒng)計中考查重點則多為隨機變量分布列及其數(shù)學期望。五、強化訓練A組1、(交大)6名考生坐在兩側(cè)各有通道的同一排座位上應考，考生答完試卷的先后次序不泄，且每人答完后立即交卷離開座位，則其中一人交卷時為到達通道而打擾英余尚在考試的考生的概率為0【詳解】本題從反而考慮，如不打擾

10、其余同學，則只有兩邊的同學先交卷，即1-(C)_43.2、(交大)甲乙兩廠生產(chǎn)同一種商品，甲廠生產(chǎn)的此商品占市場上的80%,乙廠生產(chǎn)的占20%；甲廠商品的合格率為95%,乙廠商品的合格率為90%,若某人購買了此商品發(fā)現(xiàn)為次品，則此次品為甲廠生產(chǎn)的概率為、刀80%x(1-95%)_2【詳解】80%x(l-95%)+20%x(l-90%)33、(09科大)已知正方體各個而的中心，甲乙分別相互獨立地從這6個點中取出3個，則構(gòu)成兩個三角形全等的概率是.【詳解】這6個點組成的等邊三角形有8個，等腰直角三角形有12個，故構(gòu)成兩個三角形Q-.11Q全等的概率是上。(呀254、(武大)某工廠新招了8需工人，其

11、中有2需車工和3需鉗工，現(xiàn)將這8需工人平均分配 TOC o 1-5 h z 給甲.乙兩個車間，那么車工和鉗工均不能分配到同一個車間的概率為()(A(B)(Cd(D)935()353535【詳解】車工一邊一個，而鉗工則有一邊是2個，故p=Ul+AdqC；35故選Co5、(復旦)設甲、乙兩個袋子中裝有若干個均勻的白球和紅球，且甲、乙兩個袋子中的球數(shù)為1：3。已知從甲袋中摸到紅球的概率圖而將甲、乙兩個袋子中的球裝在一起后，從2中摸到紅球的概率駕。則從乙袋中摸到紅球的概率小 TOC o 1-5 h z (C)H22(A)?30(D)Y45?28x,.【詳解】設甲袋中有x個球，則乙中3x個球，甲中紅球一

12、個，而總紅球個數(shù)為4xx-=一333lx則乙中紅球個數(shù)為則乙袋中摸到紅球的概率的概率為，=?,故選Ao3333x9(2012復旦)隨機任取一個正整數(shù)，則它的3次方的個位和十位上的數(shù)字都是1的概率是()(A)(B)(C)(D)一259933100【詳解】只有個位為1的數(shù)的3次方的個位才是1,而當個位為1時，只有十位為7時，3次方的十位是1,故所有的正整數(shù)中，只有最后兩位是71時才滿足題意，即概率為，,故選D TOC o 1-5 h z 7.(11復旦)在半徑為1的圓周上隨機選取3點，它們構(gòu)成一個銳角三角形的概率是()(A)-(B)-(C)(D)-A+B+C=180,A90,【詳解】為使出現(xiàn)銳角三

13、角形，三邊對應的圓周角都小于90度，即B90,C=1-1-(1-0.9)X(1-0.95)X0.95XA1-(1-0.94)2J=0.0581529。(10浙大)甲乙兩人輪流擲硬幣，第一局甲先擲，誰先擲出正而誰就勝，上一局的負者下一局先擲。問：(1)第一局甲勝的概率；2n+l - +2n+l - + ?21=2 二二.1-1 r4 171【詳解】=2 二二.1-1 r4 171212J+ 一代二三一；止匕，又斥=用待建(2)設第+ 一代二三一；止匕，又斥=用待建r1)11(1Y系數(shù)法易知化=+=1-2122|k3J(09清華)隨機挑選一個三位數(shù)I。求I含有因子5的概率；求I中恰有兩個數(shù)碼相等的

14、概率?！驹斀狻?1)含有因子5的三位數(shù)共有999T9=180個，而三位數(shù)共900個，從而概率為，；(2)若不含0,設兩個數(shù)碼為“且不相等，則三位可能為aalxaba、baa、abb、bab、bba共6種情況，此時共有C；x6=216個：若含有0,當0有2個時，顯然只有9個符合題意：當0只有一個時，有2x9=18個滿足題意，故共有216+9+18=243個三位數(shù)，概率為蘭=三。900100(11卓越)一袋中有個白球和個黑球。從中任取一球，如果取出白球，則把它放回袋中：如果取出黑球，則該黑球不再放回，另補一個白球放到袋中。在重復”次這樣的操作后.記袋中白球的個數(shù)為兀。(1)求的數(shù)學期望Eq：(2)設P(xn=a+k)=pk,求P(兀兇=d+R),R=0,1,?/?(3)證明：兀泊白數(shù)學期望&曲=(1一，E無+.a+b)【詳解】(1)比可能的取值為“或d+1，分別對應的概率為一匕一和一？一，即a+ba+b廠a2+ab+bExi一;a+b(2)若xn+l=a+k，貝ijxn=a+k或兀r=a+k-l,故P(x/h.|=a+k)=P(xn=a+k)xA-+P(=a+l)xfl=&斗+1- a +Exn +1 O(3)耿+嚴氣+(