模糊數(shù)學(xué)讀書筆記

1、模糊數(shù)學(xué)讀書筆記、模糊子集及其運(yùn)算 模糊子集與隸屬函數(shù)設(shè)U是論域，稱映射A(x)： LQ0,1確定了一個(gè)U上的模糊子集A,映射A(x)稱為A的隸屬函數(shù)，它表示x對(duì)A的隸 屬程度.經(jīng)典集合的隸屬函數(shù)的值不是0就是1。A(x)三0 ,則A = 0 ; A(x)三1 ,則A為全集。注：1:使A(x) = 0.5 的點(diǎn)x稱為A的過渡點(diǎn)，此點(diǎn)最具有模糊性.隸屬度為 0.5的點(diǎn)是模糊性最高的點(diǎn)。2 :當(dāng)映射A(x)只取0或1時(shí)，模糊子集A就是經(jīng)典子集，而Ax)就是它的 特征函數(shù).可見經(jīng)典子集就是模糊子集的特殊情形.例：設(shè)論域 U = x1(140), x2(150), x3 (160), x4(170),

2、 x5(180), x6 (190)(單位：cm)表示人的身高，那么U上的一個(gè)模糊集“高個(gè)子”(A)的隸屬函數(shù)A(x)可定義為A (x)可定義為A (x)=x -140190 -140也可用也可用Zadeh表示法:A=00.20.40.60.81x1x2&x4%模糊集的運(yùn)算(模糊集的運(yùn)算都轉(zhuǎn)化到了他的隸屬函數(shù)上)相等：A = B ：= A(x) = B(x);包含：庫(kù)B = A( x) Z 0模糊集的九-截集A九是一個(gè)經(jīng)典集合， 由隸屬度不小于人的成員構(gòu)成.(人為置信水平)例：論域U=u1, u2, u3, u4 , u5 , u6(學(xué)生集)，他們的成績(jī)依次為 50,60,70,80,90,9

3、5 , A= ”學(xué)習(xí)成績(jī)好的學(xué)生”的隸屬度分別為0.5,0.6,0.7,0.8, 0.9,0.95 ,則A0.9(90 分以上者)= /,A).6 (60 分以上者)=也,“4-A為模糊集合，但A0.9 A0.6為經(jīng)典集合.定理1設(shè)A, BW(U )( A B是論域U的兩個(gè)模糊子集)，九,NW0,1,于是有 九-截集的性質(zhì)： A B = A. B.；A九二人；( AU E)尸 A.UB, (AH B)尸 ACB,.定理2 (分解定理)設(shè)A亡3(U ), VxwA,則A(x) = V,三人0,1 , xwA)定義(擴(kuò)張?jiān)?設(shè)映射f : X tY,定義f (A) ( y ) = VA(x) ,

4、f (x) = y 隸屬函數(shù)的確定模糊數(shù)學(xué)的基本思想就是隸屬函數(shù)的思想，應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)方法建立模型的關(guān)鍵是構(gòu)造隸屬函數(shù)。.模糊統(tǒng)計(jì)方法：與概率統(tǒng)計(jì)類似，但有區(qū)別：若把概率統(tǒng)計(jì)比喻為“變動(dòng)的 點(diǎn)”是否落在“不動(dòng)的圈”內(nèi)，則把模糊統(tǒng)計(jì)比喻為“變動(dòng)的圈”是否蓋住 “不動(dòng)的點(diǎn)”。此法構(gòu)造隸屬函數(shù)的步驟：(1)作模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)(如發(fā)放調(diào)查表) 對(duì)獲得的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)區(qū)間進(jìn)行分組處理，并求組號(hào)，組中距，覆蓋頻率等。(3)列統(tǒng)計(jì)表，并求各分組區(qū)間的覆蓋頻率或隸屬頻率。(4)畫隸屬函數(shù)曲線圖(即為所求的隸屬函數(shù)的曲線).指派方法一種主觀方法，一般給出隸屬函數(shù)的解析表達(dá)式。3,擇優(yōu)比較法4,二元對(duì)比排序法(用于實(shí)際不容易

5、量化的指標(biāo))5,利用Matlab中的模糊工具箱(模糊數(shù)學(xué)及其應(yīng)用P7)二、模糊聚類分析模糊矩陣定義1設(shè)R = ( rj)$n,若0& rj &1,則稱R為模糊矩陣.當(dāng)rj只取0或1時(shí)， 稱R為布爾(Boole)矩陣.(設(shè)X = 為？2,，Xm, Y= 乂/，yn,R為從X到Y(jié)的二元關(guān)系，記yjrij =R(Xi,yj)， R=(rij)mxn,則R為布爾矩陣(Boole),稱為R的關(guān)系矩陣.布爾矩陣(Boole)是元素只取0或1的矩陣)當(dāng)模糊方陣R = ( rj)nxn的對(duì)角線上的元素rj都為1時(shí)，稱R為模糊自反矩陣.定義2設(shè)A=(aj)m n,B=(bj)m n都是模糊矩陣，相等：A = B

6、u aj = bj ；包含：a b u ajbj ;并：AU B = ( aj V bij)亦n；交：AH B = ( aj A bj)詐n；余：Ac = (1- aj)rn.模糊矩陣的并、交、余運(yùn)算性質(zhì)幕等律：AU A = A, AH A = A;交換律：AU B = BU A,AHB = BA A;結(jié)合律：(AU B) UC = AU (BU C),吸收律：AU (An B) =A,(An B) nc = An (Bn q；a n(Au B) = a；分配律：(AuB) nc = ( Anc ) u(Bnq； 0-1 律：auo = a, Ano = o；( An B) UC = ( AU

7、 C ) n(BU C) ;AU E = E, An E = A；還原律：(Ac)c = A;對(duì)偶律：(AU B)c =AcnB c,(An B)c=AcUB c模糊矩陣的合成運(yùn)算與模糊方陣的幕設(shè)A = (aik)m內(nèi)，B = (bkj) 定義模糊矩陣A與B的合成為：A 0 B =沁九刈其中 Cj= V( a, A bkj) I 1 k 時(shí)，aj (K) =1 ；當(dāng)aj0,1.并稱隸屬度R (x , y )為(x , y )關(guān)于模糊關(guān)系R的相關(guān)程度.特別地，當(dāng)X =Y時(shí)，稱之為X上各元素之間的模糊關(guān)系.模糊關(guān)系的運(yùn)算由于模糊關(guān)系R就是X父Y的一個(gè)模糊子集，因此模糊關(guān)系同樣具有模糊子集 的運(yùn)算及

8、性質(zhì).設(shè)R, R , R2均為從X到Y(jié)的模糊關(guān)系.相等：R= R2 u R ( x, y) = R2 ( x, y);包含：R2 u R ( x, y) & R2 ( x, y);并：R1UR2的隸屬函數(shù)為(R U R )( x, y) = R ( x, y) V R ( x, y);交：RAR2的隸屬函數(shù)為(Bn )( X, y) = R ( x, y) A R2 ( x, y);余：Rc的隸屬函數(shù)為Rc (x, y) = 1- R(x, y).(RU R2 )( x, y)表示(x, y)對(duì)模糊關(guān)系“ Ri或者R2”的相關(guān)程度，(RA R )( x,y)表示(x, y)對(duì)模糊關(guān)系“ R且R

9、2”的相關(guān)程度，Rc (x, y)表示(x, y)對(duì)模糊 關(guān)系“非R的相關(guān)程度.模糊關(guān)系的矩陣表示對(duì)于有限論域X = %?2,，xm和Y=弘加，1,則X到Y(jié)模糊關(guān) 系R可用mx n階模糊矩陣表示，即R = ( rij)mx n,其中廣R (x,力)C0, 1表示(x ,力)關(guān)于模糊關(guān)系R的相關(guān)程度.又若R為布爾矩陣時(shí)，則關(guān)系R為普通關(guān)系，即為與力之間要么有關(guān)系(=1),要么沒有關(guān)系(rj = 0 ).模糊關(guān)系的合成設(shè)R 是X到 Y的關(guān)系，R2是 Y到Z的關(guān)系，則R與R2的合成R,R2是X 到Z上的一個(gè)關(guān)系.(R R)(x, z) = V R (x, y)AR ( y, z)| y Y 當(dāng)論域?yàn)?/p>

10、有限時(shí)，模糊關(guān)系的合成化為模糊矩陣的合成.設(shè)* = 。乂2,，。, Y = %,丫2,，ys , Z= z1, z2,，zn,且X到Y(jié)的模糊關(guān)系Ri =(2k)mxs, Y到Z的模糊關(guān)系R2 = (bkj晟，則X到Z的 模糊關(guān)系可表示為模糊矩陣的合成：RR2=(cj)mM其中 cj = V( aik A bj) | 1 ks.模糊等價(jià)矩陣模糊等價(jià)關(guān)系若模糊關(guān)系R是X上各元素之間的模糊關(guān)系，且滿足:(1)自反性：R(x, x) =1 ；對(duì)稱性：R(x, y) = R(y, x)；傳遞性：R2三R則稱模糊關(guān)系R是X上的一個(gè)模糊等價(jià)關(guān)系.當(dāng)論域X= K,x2,，xn為有限時(shí)，X上的一個(gè)模糊等價(jià)關(guān)系R

11、就是模糊等價(jià)矩陣，即R滿足：2R w R g V ( r,k A rkj) | 1 k n q ).模糊等價(jià)矩陣的基本定理定理1若R具有自反性(I&R)和傳遞性(R2wF),則R2 = R定理2若R是模糊等價(jià)矩陣，則對(duì)任意KC 0, 1 , R,是等價(jià)的Boole矩陣. 定理3若R是模糊等價(jià)矩陣，則對(duì)任意的0&九N&1, R所決定的分類中的每 一個(gè)類是R，決定的分類中的某個(gè)類的子類.模糊相似關(guān)系若模糊關(guān)系R是X上各元素之間的模糊關(guān)系，且滿足：自反性：R x , x ) = 1 ；(2)對(duì)稱性：Rx,y) = R(y,x )； 則稱模糊關(guān)系R是X上的一個(gè)模糊相似關(guān)系.當(dāng)論域X = 、？23%為有限時(shí)，X上的一個(gè)模糊相似關(guān)系 R就是模糊相似矩陣，即R滿足：自反性：I R (u 0=1 )；對(duì)稱性：RT = R (u rj = rji ).模糊相似矩陣的性質(zhì)定理1若R是模糊相似矩陣，則對(duì)任意的自然數(shù)k, Rk也是模糊相似矩陣.定理2若R是n階模糊相似矩陣，則存在一個(gè)最小自然數(shù) k (k-L (i=12.,n, j =1,2,.,m)設(shè)論域X= X1, X2,，xn為被分類對(duì)象，每個(gè)對(duì)象又由m個(gè)指標(biāo)表示其形狀：sj其中-1 J u I 、2XjXij , Sj(xij xj )n i =1 n i =1平移？極差變換， -min8 |1i nmaxXj |1 三 i 三