過程特性及其數(shù)學(xué)模型

1、過程特性及其數(shù)學(xué)模型第1頁，共23頁，2022年，5月20日，18點38分，星期三對象特性是指對象輸入量與輸出量之間的關(guān)系(數(shù)學(xué)模型)即對象受到輸入作用后，被控變量是如何變化的、變化量為多少 輸入量？控制變量各種各樣的干擾變量由對象的輸入變量至輸出變量的信號聯(lián)系稱為通道控制變量至被控變量的信號聯(lián)系通道稱控制通道干擾至被控變量的信號聯(lián)系通道稱干擾通道對象輸出為控制通道輸出與各干擾通道輸出之和 控制通道干擾通道干擾變量控制變量被控變量被控對象第2頁，共23頁，2022年，5月20日，18點38分，星期三對象特性的分類與研究方法所謂研究對象的特性，就是用數(shù)學(xué)的方法來描述出對象輸入量與輸出量之間的關(guān)系

2、數(shù)學(xué)建模。對象的數(shù)學(xué)模型：對象特性的數(shù)學(xué)描述；對象的數(shù)學(xué)模型可以分為靜態(tài)數(shù)學(xué)模型和動態(tài)數(shù)學(xué)模型。靜態(tài)數(shù)學(xué)模型描述的是對象在穩(wěn)定時（靜態(tài)）的輸入與輸出關(guān)系；動態(tài)數(shù)學(xué)模型描述的是在輸入量改變以后輸出量跟隨變化的規(guī)律；動態(tài)數(shù)學(xué)模型是更精確的模型，靜態(tài)數(shù)學(xué)模型是動態(tài)數(shù)學(xué)模型在對象達到平衡時的特例。第3頁，共23頁，2022年，5月20日，18點38分，星期三數(shù)學(xué)模型的表示方法：參量模型：通過數(shù)學(xué)方程式表示常用的描述形式：微分方程(組)*、傳遞函數(shù)*、頻率特性等參量模型的微分方程的一般表達式： y(t)表示輸出量，x(t)表示輸入量，通常輸出量的階次不低與輸入量的階次(nm) 當(dāng)n=m時，稱對象是正則的

3、；當(dāng)nm時，稱對象是嚴(yán)格正則的；nm的對象是不可實現(xiàn)的。通常n=1，稱該對象為一階對象模型；n=2，稱二階對象模型。 非參量模型：采用曲線、表格等形式表示。 特點：形象、清晰，缺乏數(shù)學(xué)方程的解析性質(zhì)（必要時須進行數(shù)學(xué)處理獲得參量模型）。 第4頁，共23頁，2022年，5月20日，18點38分，星期三建模的方法：機理建模、實驗建模、混合建模 機理建模根據(jù)物料、能量平衡、化學(xué)反應(yīng)、傳熱傳質(zhì)等基本方程，從理論上來推導(dǎo)建立數(shù)學(xué)模型。 由于工業(yè)對象往往都非常復(fù)雜，物理、化學(xué)過程的機理一般不能被完全了解，而且線性的并不多，再加上分布元件參數(shù)（即參數(shù)是時間與位置的函數(shù)）較多，一般很難完全掌握系統(tǒng)內(nèi)部的精確關(guān)

4、系式。另外，在機理建模過程中，往往還需要引入恰當(dāng)?shù)暮喕?、假設(shè)、近似、非線性的線性化處理等，而且機理建模也僅適用于部分相對簡單的系統(tǒng)。 實驗建模在所要研究的對象上，人為的施加一個輸入作用，然后用儀表記錄表征對象特性的物理量隨時間變化的規(guī)律，得到一系列實驗數(shù)據(jù)或曲線。這些數(shù)據(jù)或曲線就可以用來表示對象特性。 這種應(yīng)用對象輸入輸出的實測數(shù)據(jù)來決定其模型的方法，通常稱為系統(tǒng)辨識。其主要特點是把被研究的對象視為一個黑箱子，不管其內(nèi)部機理如何，完全從外部特性上來測試和描述對象的動態(tài)特性。有時，為進一步分析對象特性，可對這些數(shù)據(jù)或曲線進行處理，使其轉(zhuǎn)化為描述對象特性的解析表達式。 混合建模將機理建模與實驗建模

5、結(jié)合起來，稱為混合建模。 混合建模是一種比較實用的方法，它先由機理分析的方法提出數(shù)學(xué)模型的結(jié)構(gòu)形式，把被研究的對象視為一個灰箱子，然后對其中某些未知的或不確定的參數(shù)利用實驗的方法給予確定。這種在已知模型結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，通過實測數(shù)據(jù)來確定數(shù)學(xué)表達式中某些參數(shù)的方法，稱為參數(shù)估計。 第5頁，共23頁，2022年，5月20日，18點38分，星期三對象機理數(shù)學(xué)模型的建立 問題：處于平衡狀態(tài)的對象加入干擾以后，不經(jīng)控制系統(tǒng)能否自行達到新的平衡狀態(tài)？ 左圖：假設(shè)初始為平衡狀態(tài)qi=qo，水箱水位保持不變。當(dāng)發(fā)生變化時(qiqo)，此時水箱的水位開始升高根據(jù)流體力學(xué)原理，水箱出口流量與H是存在一定的對應(yīng)關(guān)系的

6、： 因此，qi H qo，直至qi=qo可見該系統(tǒng)受到干擾以后，即使不加控制，最終自身是會回到新的平衡狀態(tài)，這種特性稱為“自衡特性”。 右圖：如果水箱出口由泵打出，其不同之處在于：qi當(dāng)發(fā)生變化時，qo不發(fā)生變化。如果qiqo ，水位H將不斷上升，直至溢出，可見該系統(tǒng)是無自衡能力。絕大多數(shù)對象都有自衡能力，一般而言有自衡能力的系統(tǒng)比無自衡能力的系統(tǒng)容易控制。 第6頁，共23頁，2022年，5月20日，18點38分，星期三2.2 對象理論數(shù)學(xué)模型的建立一階對象：系統(tǒng)輸入、輸出關(guān)系（動態(tài)特性）可以用一階微分方程來表示的控制對象。積分對象系統(tǒng)動態(tài)特性可以用一階積分方程來表示的控制對象。二階對象：系統(tǒng)

7、動態(tài)特性可以用二階微分方程來表示的控制對象。第7頁，共23頁，2022年，5月20日，18點38分，星期三一階線性對象 問題：求右圖所示的對象模型（輸入輸出模型）。 解： 該對象的輸入量為qi 被控變量為液位h根據(jù)物料平衡方程： 單位時間內(nèi)水槽體積的改變輸入流量 輸出流量 由于出口流量可以近似地表示為： (i)式是針對完全量的輸入輸出模型，(ii)式是針對變化量的輸入輸出模型，二者的結(jié)構(gòu)形式完全相同。由于在控制領(lǐng)域中，特性的分析往往是針對變化量而言的，為了書寫方便在以后的表達式中不寫出變化量符號。 第8頁，共23頁，2022年，5月20日，18點38分，星期三對上式作拉氏變換：對象的傳遞函數(shù)：

8、該對象的階躍響應(yīng)：如果qi為幅值為A的階躍輸入，則 這是最典型的一階對象的傳遞函數(shù)第9頁，共23頁，2022年，5月20日，18點38分，星期三一階線性對象（總結(jié)）典型的微分方程 典型的傳遞函數(shù) 典型的階躍響應(yīng)函數(shù) 典型的階躍響應(yīng)曲線 h()h(t)T0.632h()qita從微分方程的解析解來看 K放大系數(shù)，在階躍輸入作用下，對象輸出達到新的穩(wěn)定值時，輸出變化量與輸入變化量之比，也稱靜態(tài)增益。K越大，表示輸入量對輸出量的影響越大。T時間常數(shù)，在階躍輸入作用下，對象輸出達到最終穩(wěn)態(tài)變化量的63.2所需要的時間，時間常數(shù)T是反映響應(yīng)變化快慢或響應(yīng)滯后的重要參數(shù)。用T表示的響應(yīng)滯后稱阻容滯后（容量

9、滯后）。 T大，反應(yīng)慢，難以控制；T小，反應(yīng)塊。 第10頁，共23頁，2022年，5月20日，18點38分，星期三二階線性對象 問題：求右圖所示的對象模型（輸入輸出模型）。 解： 該對象的輸入量為qi 被控變量為液位h2（同樣利用物料平衡方程）槽1：槽2：聯(lián)立方程求解：傳遞函數(shù)：第11頁，共23頁，2022年，5月20日，18點38分，星期三二階線性對象（總結(jié)）典型的微分方程 典型的階躍響應(yīng)函數(shù)典型的階躍響應(yīng)曲線 qita不相關(guān)雙容第12頁，共23頁，2022年，5月20日，18點38分，星期三二階線性對象(相關(guān)和不相關(guān)） 若各特性參數(shù)不變，則二者的階躍響應(yīng)曲線示意圖如下： qita不相關(guān)雙容

10、 響應(yīng)曲線比較 單容相關(guān)雙容第13頁，共23頁，2022年，5月20日，18點38分，星期三純滯后一階對象在工業(yè)過程中常有一些輸送物料的中間過程，如圖所示，qi為操縱變量，但需要經(jīng)過導(dǎo)流槽才送入水箱。如果把水箱入口的進料量記為qf，并設(shè)：導(dǎo)流槽長度l，流體平均速度v，流體流經(jīng)導(dǎo)流槽所需的時間，所以當(dāng)qi發(fā)生改變以后，經(jīng)過時間以后qf才有變化： 對于qf與h來說，根據(jù)前面的推導(dǎo)，可知：傳遞函數(shù)為：第14頁，共23頁，2022年，5月20日，18點38分，星期三純滯后對象（總結(jié)）典型的微分方程 典型的傳遞函數(shù)典型的階躍響應(yīng)函數(shù) 典型的階躍響應(yīng)曲線 qitah()hT0.632h()純滯后產(chǎn)生的主要

11、原因： 物料輸送等中間過程產(chǎn)生純滯后 （大時間常數(shù)表現(xiàn)出來的等效滯后） 由于純滯后的出現(xiàn)，控制作用必須經(jīng)歷一定的時間延遲（滯后）才能在被控變量上得到體現(xiàn)，致使當(dāng)被控變量的反饋反映出控制作用時，可能會輸入過多的控制量，導(dǎo)致系統(tǒng)嚴(yán)重超調(diào)甚至失穩(wěn)。 第15頁，共23頁，2022年，5月20日，18點38分，星期三對象特性的實驗建模 在被控對象上人為加入輸入量，記錄表征對象特性的輸出量隨時間的變化規(guī)律。 被控對象輸入量輸出量系統(tǒng)辨識對象模型階躍信號脈沖信號偽隨機信號表格數(shù)據(jù)響應(yīng)曲線階躍輸入t0At0A矩形脈沖t1加測試信號前，要求系統(tǒng)盡可能保持穩(wěn)定狀態(tài)，否則會影響測試結(jié)果；輸入量/輸出量的起始時間是相

12、同的，起始時間是輸入量的加入時間，輸出量的響應(yīng)曲線可能滯后于輸入量的響應(yīng)，其原因是純滯后或容量滯后；在測試過程中盡可能排除其它干擾的影響，以提高測量精度；在相同條件下重復(fù)測試多次，以抽取其共性；在測試和記錄的過程中，應(yīng)持續(xù)到輸出量達到新的穩(wěn)態(tài)值；許多工業(yè)對象不是真正的線性對象，由于非線性關(guān)系，對象的放大倍數(shù)是可變的，所以作為測試對象的工作點應(yīng)該選擇正常的工作狀態(tài)（一般要求運行在額定負荷、正常干擾等條件下）。第16頁，共23頁，2022年，5月20日，18點38分，星期三對象特性的混合建模 由于機理建模和實驗建模各優(yōu)特點，目前比較實用的方法是將二者結(jié)合起來，成為混合建模。混合建模的過程：先通過機

13、理建模獲取數(shù)學(xué)模型的結(jié)構(gòu)形式，通過實驗建模（辨識）來求?。ü烙嫞┠Ｐ偷膮?shù)。 第17頁，共23頁，2022年，5月20日，18點38分，星期三對象特性對過渡過程的影響 對象模型由三個基本參數(shù)決定：K、T、 K 對過渡過程的影響 階躍輸入作用下，對象輸出達到新的穩(wěn)定值時，輸出變化量與輸入變化量之比，稱為靜態(tài)增益（輸出靜態(tài)變化量與輸入靜態(tài)變化量之比）。 u廣義對象fyK其它參數(shù)不變控制通道放大系數(shù) 干擾通道放大系數(shù) KO 越大 控制變量u對被控變量y的影響越靈敏 控制能力強Kf 越大 干擾f對被控變量y的影響越靈敏。在設(shè)計控制系統(tǒng)時，應(yīng)合理地選擇KO使之大些，抗干擾能力強，太大會引起系統(tǒng)振蕩。 第

14、18頁，共23頁，2022年，5月20日，18點38分，星期三 T 對過渡過程的影響 時間常數(shù)：在階躍輸入作用下，對象輸出達到最終穩(wěn)態(tài)變化量的63.2所需要的時間。一般情況希望TO小些，但不能太小，Tf大些。T（其它參數(shù)不變）時間常數(shù)T是反映響應(yīng)變化快慢或響應(yīng)滯后的重要參數(shù)。用T表示的響應(yīng)滯后稱阻容滯后（容量滯后），T大反應(yīng)慢，難以控制；T小反應(yīng)塊。 控制通道TO大 響應(yīng)慢、控制不及時、過渡時間tp長、超調(diào)量大控制通道TO小 響應(yīng)快、控制及時、過渡時間tp短、超調(diào)量小控制通道TO太小 響應(yīng)過快、容易引起振蕩、降低系統(tǒng)穩(wěn)定性。干擾通道的時間常數(shù)對被控變量輸出的影響也是相類似的。第19頁，共23頁

15、，2022年，5月20日，18點38分，星期三 對過渡過程的影響 產(chǎn)生純滯后的原因：物料輸送等中間過程產(chǎn)生 大時間常數(shù)對象所表現(xiàn)出來的等效純滯后。 物料輸送產(chǎn)生的純滯后比較容易理解，實際對象由于多容的存在也會使響應(yīng)速度變慢，尤其是初始響應(yīng)被大大延遲，在動態(tài)特性上也可近似作為純滯后看待。事實上，廣義等效的等效純滯后就包括了以上二個部分之和。 控制通道純滯后對控制肯定不利，純滯后增大控制質(zhì)量惡化、超調(diào)量大 干擾通道的純滯后對系統(tǒng)響應(yīng)影響不大，因為干擾本身是不確定的，可以在任何時間出現(xiàn)。 在工藝設(shè)計時，應(yīng)盡量減少或避免純滯后時間。如：簡化工藝、減少不必要的環(huán)節(jié)，以利于減少控制通道的滯后時間，在選擇控

16、制閥與檢測點的安裝位置時，應(yīng)選取靠近控制對象的有利位置。第20頁，共23頁，2022年，5月20日，18點38分，星期三一階對象的放大倍數(shù)和時間常數(shù)(Q1-Q2)dt=Adh 其中 Q2h/Rs對于任意Q1輸入，最終總能形成一定的h，使得：Q1 = Q2h/Rs一個Q1對應(yīng)一個確定的h。參數(shù)Rs實際上決定了穩(wěn)定液位高度與給料量之間的對應(yīng)關(guān)系比例系數(shù)或放大倍數(shù)。當(dāng)某一瞬間Q1從a增加/減少到b時，h需要經(jīng)過一段時間才能從對應(yīng)的h1增加/減少到h2。時間常數(shù)T即用于描述此過程的快慢。hQ1Q2第21頁，共23頁，2022年，5月20日，18點38分，星期三當(dāng)Q1發(fā)生變化后，需要經(jīng)過時間t1，其新流量才能進入被控系統(tǒng)傳遞滯后。 Q1變化后的流量進入被控系統(tǒng)后，首先使h1逐步發(fā)生變化；經(jīng)過時間t2后，h1有了較大變化，才引起Q12發(fā)生明顯變化，并進而導(dǎo)致h2開始發(fā)生顯著變化容積滯后。h1Q1Q12Q2h2二階對象傳遞滯后與容積滯