最新高階方程的降階技巧

1、高階方程的降階技巧目 錄一高階方程的引入及定義1二幾類常見(jiàn)的可降階的高階微分方程2一型的微分方程2二型的微分方程3三型的微分方程4四二階方程的冪級(jí)數(shù)解5三其他情況的高階微分方程7四總結(jié)12參考文獻(xiàn)12高階方程的降階技巧摘要:對(duì)于高階方程的解法問(wèn)題，降階是普遍的求解方法，利用變換把高階方程的求解問(wèn)題化為較低階的方程的求解問(wèn)題。對(duì)于不同高階微分方程給出了相應(yīng)的降階方法。關(guān)鍵詞:線性微分方程，降階，非零特解 一高階方程的引入及定義所謂階,就是導(dǎo)數(shù)(或微分)的最高階數(shù).函數(shù)未知，但知道變量與函數(shù)的代數(shù)關(guān)系式，便組成了代數(shù)方程，通過(guò)求解代數(shù)方程解出未知函數(shù).同樣，如果知道自變量，未知函數(shù)及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微

2、分組成的關(guān)系式，得到的便是微分方程，通過(guò)求解微分方程求出未知函數(shù)自變量只有一個(gè)的微分方程稱為常微分方程。自變量的個(gè)數(shù)為兩個(gè)或兩個(gè)以上的微分方程稱為偏微分方程.而高階微分方程,即階數(shù)大于二或者等于二的方程.一般的高階微分方程沒(méi)有普遍的解法，處理問(wèn)題的根本原那么是降階，利用變換把高階微分方程的求解問(wèn)題化為較低階的方程來(lái)求解。因?yàn)橐话銇?lái)說(shuō)，低階微分方程的求解會(huì)比求高階的微分方程方便些。特別地，對(duì)于二階變系數(shù)齊次線性微分方程，如能知道它的一個(gè)非零特解，那么可利用降階法求得與它線性無(wú)關(guān)的另一個(gè)特解，從而得到方程的通解，對(duì)于非齊次線性微分方程，只需再運(yùn)用常數(shù)變易法求出它的一個(gè)特解，問(wèn)題也就解決了。因此，問(wèn)

3、題的關(guān)鍵就在于尋找齊次線性微分方程的一個(gè)非零特解。一些相關(guān)定義如果方程1的左端為y及的一次有理整式。那么稱1為n階線性微分方程.不是線性方程的方程稱為非線性微分方程.如果函數(shù)代入方程1后,能使它變?yōu)楹愕仁?那么稱函數(shù)為方程1的解.我們把含有n個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)的解稱為n階方程1的通解.所謂n階微分方程(1)的初值條件是指如下的n個(gè)條件:當(dāng)時(shí),這里是給定的n+1個(gè)常數(shù),初值條件有時(shí)寫(xiě)為求微分方程滿足定解條件的解.二幾類常見(jiàn)的可降階的高階微分方程二階微分方程的求解：型的微分方程特點(diǎn):等式右端不含,僅是x的函數(shù).解法:將作為新的未知函數(shù),然后對(duì)原方程降階,令,那么有，方程兩邊同時(shí)積分得即再積分得同理對(duì)

4、于,令,積分得:那么原方程變形為n-1階,對(duì)其繼續(xù)積分得那么方程變?yōu)閚-2階,如此連續(xù)積分n次即得原方程的含有n個(gè)任意常數(shù)的通解.例1解三階方程:解:：等式兩端同時(shí)積分再積分再積分這就是所給方程的通解.型的微分方程特點(diǎn):右端不含y.解法:降階.令代入原方程得:2假設(shè)為如下一些一些類型,可分別求得2降階式的解.通解: ,通解: (方法兩邊同時(shí)除以,將拿到中,即)令,那么,即求出u與x的關(guān)系,再將u代回,即得答案.假設(shè),那么令假設(shè),那么令再令,已上求得的解為.回代,得變量可別離的一階方程,積分得例2解:令，那么, 那么方程變?yōu)?,因?yàn)? , 那么,因?yàn)? , 所以所求特解為: .型的微分方程特點(diǎn):

5、右端不含x.解法:降階.令.由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么得:代入原方程得:這是一個(gè)關(guān)于y,p的一階方程,假設(shè)以求得它的通解為:變量可別離的一階方程,積分得: 即原方程得通解.例3求滿足的特解解:令，那么,那么方程變?yōu)?即別離變量得:,等式兩端同時(shí)積分化簡(jiǎn)得:,即, 把時(shí),代入上式得，那么方程化為,別離變量得:積分得:將代入解得, 故原方程的特解為:二階線性方程的冪級(jí)數(shù)解對(duì)帶初值條件的二階齊次線性方程這里,否那么可引進(jìn)新變量化為.有如下定理i.定理假設(shè)方程中系數(shù)或能展成收斂區(qū)間為的冪級(jí)數(shù),那么二階齊次線性方程有收斂區(qū)間為的冪級(jí)數(shù)特解或這里為待定常數(shù).iin階貝塞爾方程(n為非負(fù)常數(shù)),有特解,.n階貝塞

6、爾方程有通解,其中為任意常數(shù).(或)是由貝塞爾方程所定義的特殊函數(shù),成為n(或-n)階(第一類)貝塞爾函數(shù). 的定義:當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí)且非整數(shù).有性質(zhì): ;對(duì)正整數(shù)n,有一般情況型的微分方程特點(diǎn):不顯含未知函數(shù)及.解法:令,那么求得z,將連續(xù)積分k次,可得通解.型的微分方程特點(diǎn):右端不顯含自變量x.解法:設(shè),那么, 代入原方程得到新函數(shù)p(y)的n-1階方程,求得其解為:原方程通解為:齊次方程特點(diǎn): 解法: 可通過(guò)變換將其降階,得新未知函數(shù).,代入原方程并消去得新函數(shù)z(x)的n-1階方程例4求方程的通解.解:設(shè),代入原方程,得,解得其通解為,原方程得通解為注：解二階可降階微分方程初值問(wèn)題需注意：一

7、般情況，邊解邊定常數(shù)計(jì)算簡(jiǎn)便；遇到開(kāi)平方時(shí)，要根據(jù)題意確定正負(fù)號(hào)。三其他情況的高階微分方程N(yùn)階微分方程一般地可寫(xiě)為下面討論幾類特殊方程的降階問(wèn)題。.方程不顯含未知函數(shù)x，或更一般地，設(shè)方程不含，即方程呈形狀可降低k階.令,方程降為y的n-k階方程.假設(shè)求得上面所示方程的通解,即,再經(jīng)過(guò)k次積分得到,其中為任意常數(shù).可以驗(yàn)證,這就是方程的通解.例5求方程的解.解:令,那么方程化為,即方程化為一階方程.方程積分后得,即,其中為任意常數(shù),這就是原方程的通解.不顯含自變量t的方程令y=x,視x為新自變量，而視x為新自變量,那么方程就可可降低一階，事實(shí)上,在所作的假定下,采用數(shù)學(xué)歸納法可以證明, 可用表

8、出().將這些表達(dá)式代入原式可得.齊次線性微分方程.其求解問(wèn)題歸結(jié)為尋求方程的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解,但如何求這些特接呢?沒(méi)有普遍的方法可循.這是與常系數(shù)線性微分方程的極大差異之處.但是我們指出,如果知道方程的一個(gè)非零特解,那么利用變換,可將方程降低一階;或更一般地,假設(shè)知道方程的k個(gè)無(wú)關(guān)的特解,那么可通過(guò)一系列同類型的變換,使方程降低k階.并且得到的n-k階方程也是齊次線性的.設(shè)是上述方程的k個(gè)線性無(wú)關(guān)解,顯然不恒等于0(i=1,2,k),令,直接計(jì)算可得,將這些關(guān)系式代入中,可得,這是關(guān)于y的n階方程,且各項(xiàng)系數(shù)是t的函數(shù),而y的系數(shù)恒等于零,因?yàn)槭谴朔匠痰慕?因此,如果引入新未知函數(shù),并在的

9、區(qū)間上用除方程的各項(xiàng),我們便得到形狀如的n-1階齊次線性微分方程.因有關(guān)系或.因此,對(duì)于上述方程我們就知道它的k-1個(gè)線性無(wú)關(guān)解.事實(shí)上，是的解,假設(shè)這k-1個(gè)解之間存在關(guān)系式,或,其中是常數(shù),那么就有,或,由于線性無(wú)關(guān),故必有.這就是說(shuō)是線性無(wú)關(guān)的.因此,假設(shè)對(duì)仿上做法,可進(jìn)一步令,那么可將方程化為關(guān)于u的n-2階齊次線性微分方程,并且還知道方程此方程的k-2個(gè)線性無(wú)關(guān)解,利用k個(gè)線性無(wú)關(guān)特解當(dāng)中的一個(gè)解，可以把方程降低一階,成為n-1階齊次線性微分方程并且知道它的k-1個(gè)線性無(wú)關(guān)解;而利用兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解,那么又可以把方程降低兩階，成為n-2階齊次線性微分方程,同時(shí),也知道了它的k-2個(gè)線性無(wú)關(guān)解.依此類推,繼續(xù)上面的做法,假設(shè)利用了方程的k個(gè)線性無(wú)關(guān)解,那么最后就得到一個(gè)n-k階的齊次線性微分方程.這就是說(shuō)把降低了k階.對(duì)于二階齊次線性微分方程來(lái)說(shuō),如果知道它的一個(gè)非零特解,那么方程的求解問(wèn)題就解決了.設(shè)是二階齊次線性微分方程的解,那么由上面討論知道,經(jīng)變換后,方程就化成解得,非零特解時(shí),方程可解.其通解為(3)其中為任意常數(shù).當(dāng)取得到方程的一個(gè)特解.例6是方程的解,試求方程的通解.解這里,由(3)可得:其中是任意常數(shù),這就是方程的通解四總結(jié)：高階微分方程的求解技巧，一般是借助定積分進(jìn)行變量代換，降