2022年福建省廈門松柏中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末檢測(cè)試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知奇函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，函數(shù)是其導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則使成立的的取值范圍是（）ABCD2已知的三邊滿足條件，則（ ）ABCD3已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),滿足.若，則（ ）ABC

2、D4復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限5函數(shù)fx=aexx，x1,2，且x1A-,4e2B4e6函數(shù)的圖象可能是（ ）ABCD7冪函數(shù)y=kxa過(guò)點(diǎn)（4，2），則ka的值為A1BC1D8一個(gè)口袋內(nèi)有12個(gè)大小形狀完全相同的小球，其中有n個(gè)紅球，若有放回地從口袋中連續(xù)取四次（每次只取一個(gè)小球），恰好兩次取到紅球的概率大于，則n的值共有（ ）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)9設(shè)aR，則“a=3”是“直線ax+2y+3a=0和直線3x+(a-1)y=a-7平行”的A充分不必要B必要不充分C充要條件D既不充分也不必要10等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，且4S26

3、，15S421，則a2的取值范圍為（ ）ABCD11如圖，由函數(shù)的圖象，直線及x軸所圍成的陰影部分面積等于（ ）ABCD12如圖，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)依次為，記線段、以及的圖象圍成的區(qū)域（圖中陰影部分）為，若向矩形內(nèi)任意投一點(diǎn)，則點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的概率為( )ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知函數(shù)，則的值為_(kāi)14各棱長(zhǎng)均相等的正三棱錐，其任意兩個(gè)相鄰的面所成的二面角的大小為_(kāi).15滿足不等式組的點(diǎn)所圍成的平面圖形的面積為_(kāi)16已知函數(shù)則的最大值是_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）已知是拋物線上一點(diǎn)，為的焦點(diǎn)（1）若，是上的兩點(diǎn)，證

4、明：，依次成等比數(shù)列（2）若直線與交于，兩點(diǎn)，且，求線段的垂直平分線在軸上的截距18（12分）已知雙曲線，為上的任意點(diǎn)（1）求證：點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的最小值.19（12分）如圖，是通過(guò)某城市開(kāi)發(fā)區(qū)中心O的兩條南北和東西走向的街道，連結(jié)M，N兩地之間的鐵路線是圓心在上的一段圓弧，若點(diǎn)M在點(diǎn)O正北方向3公里；點(diǎn)N到的距離分別為4公里和5公里.（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求鐵路線所在圓弧的方程；（2）若該城市的某中學(xué)擬在點(diǎn)O的正東方向選址建分校，考慮環(huán)境問(wèn)題，要求校址到點(diǎn)O的距離大于4公里，并且鐵路上任意一點(diǎn)到校址的距離不能小于公里，求該校址距點(diǎn)O的最短

5、距離（注：校址視為一個(gè)點(diǎn)）20（12分）已知曲線.(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求與直線平行的曲線的切線方程.21（12分）某工廠擬生產(chǎn)并銷售某電子產(chǎn)品m萬(wàn)件（生產(chǎn)量與銷售量相等），為擴(kuò)大影響進(jìn)行銷售，促銷費(fèi)用x（萬(wàn)元）滿足（其中，為正常數(shù)）已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本萬(wàn)元（不含促銷費(fèi)用），產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為元/件（1）將該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為促銷費(fèi)用x萬(wàn)元的函數(shù)；（2）促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，此工廠所獲利潤(rùn)最大？22（10分）已知命題p：函數(shù)的定義域?yàn)镽；命題q：雙曲線的離心率，若“”是真命題，“”是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在

6、每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】將不等式變形，并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)可判斷在時(shí)的取值情況；根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)，即可判斷當(dāng)時(shí)的符號(hào)，進(jìn)而得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，即；令，則，由題意可知，即在時(shí)單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時(shí)，由于此時(shí)，則不合題意；當(dāng)時(shí)，由于此時(shí)，則不合題意；由以上可知時(shí)，而是上的奇函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，恒成立，所以使成立的的取值范圍為，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，利用構(gòu)造函數(shù)法分析函數(shù)單調(diào)性，奇函數(shù)性質(zhì)解不等式，屬于中檔題.2、D【解析】由題意首先求得的值，然后確定的大小即可.【詳解】由可得：，則，據(jù)此可得.本題選擇D選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定

7、理及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.3、C【解析】分析：先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)以及對(duì)稱性確定函數(shù)周期，再根據(jù)周期以及對(duì)應(yīng)函數(shù)值求結(jié)果.詳解：因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，所以,因此，因?yàn)?，所以，從而，選C.點(diǎn)睛：函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問(wèn)題多考查求值問(wèn)題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解4、A【解析】把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案【詳解】解：由，得復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限故選A【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題5、A【解析】構(gòu)造函數(shù)Fx=fx

8、-x，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到Fx0在1,2【詳解】不妨設(shè)x1x2，令Fx=fx-x，則Fx在1,2Fx當(dāng)x=1時(shí)，aR，當(dāng)x1,2時(shí)，ax2所以gx在1,2單調(diào)遞減，是gxmin【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，恒成立問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)Fx=f6、A【解析】求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)函數(shù)值的正負(fù)，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)單調(diào)性判斷選項(xiàng).【詳解】解：當(dāng)時(shí)，則，若，若，則恒成立，即當(dāng)時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞減，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象，可以通過(guò)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行排除，屬于中檔題.7、B【解析】先根據(jù)冪函數(shù)的定義得到k=1,再根據(jù)冪函數(shù)y=kxa過(guò)點(diǎn)（4，2）求出a的值，即得ka的值.【詳解】?jī)绾瘮?shù)y=

9、kxa過(guò)點(diǎn)（4，2），2=k4a，且k=1，解得k=1，a=，ka=1故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查冪函數(shù)的概念和解析式的求法，考查冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.8、C【解析】設(shè)每次取到紅球的概率為p，結(jié)合獨(dú)立事件的概率的計(jì)算公式，求得，再由，即可判定，得到答案.【詳解】由題意，設(shè)每次取到紅球的概率為p，可得，即，解得，因?yàn)椋裕曰?或7.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了獨(dú)立事件的概率的計(jì)算公式及其應(yīng)用，其中解答中正確理解題意，合理利用獨(dú)立事件的概率的計(jì)算公式，求得相應(yīng)的概率的取值范圍是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于中檔試題.9、C

10、【解析】先由兩直線平行解得a的值，再通過(guò)檢驗(yàn)是否重合可得a=3，從而得兩命題的關(guān)系.【詳解】若直線ax+2y+3a=0和直線3x+(a-1)y=a-7平行，可得：aa-1=23，解得當(dāng)a=3時(shí)，兩直線分別為：3x+2y+9=0和3x+2y+4=0，滿足平行；當(dāng)a=-2時(shí)，兩直線分別為：x-y+3=0和x-y+3=0，兩直線重合；所以“a=3”是“直線ax+2y+3a=0和直線3x+(a-1)y=a-7平行”的充要條件.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩直線平行求參數(shù)值的問(wèn)題。已知兩直線的一般方程判定兩直線平行的一般方法為：已知l1:A1x+10、B【解析】首先設(shè)公差為，由題中的條件可得和，利用待

11、定系數(shù)法可得，結(jié)合所求的范圍及不等式的性質(zhì)可得.【詳解】設(shè)公差為，由，得，即；同理由可得.故可設(shè)，所以有，所以有，解得，即，因?yàn)?，.所以，即.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)及等差數(shù)列的運(yùn)算，利用不等式求解范圍時(shí)注意放縮的尺度，運(yùn)算次數(shù)越少，范圍越準(zhǔn)確.11、A【解析】試題分析：因?yàn)椋?0時(shí)，x=1，所以，由函數(shù)的圖象，直線及x軸所圍成的陰影部分面積等于，故選A考點(diǎn)：本題主要考查定積分的幾何意義及定積分的計(jì)算點(diǎn)評(píng)：簡(jiǎn)單題，圖中陰影面積，是函數(shù)在區(qū)間1,2的定積分12、D【解析】分析：利用定積分的幾何意義求出陰影部分的面積，由幾何概型的概率公式，即可得結(jié)果.詳解：陰影部分的面積是，矩

12、形的面積是，點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的概率，故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查定積分的幾何意義以及幾何概型概率公式，屬于中檔題.一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、曲線以及直線之間的曲邊梯形面積的代數(shù)和 ，其中在軸上方的面積等于該區(qū)間上的積分值，在軸下方的面積等于該區(qū)間上積分值的相反數(shù),所以在用定積分求曲邊形面積時(shí)，一定要分清面積與定積分是相等還是互為相反數(shù)；兩條曲線之間的面積可以用兩曲線差的定積分來(lái)求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】，解得，故，故答案為.14、【解析】取AB中點(diǎn)D，連結(jié)SD、CD，則SDAB，CDAB，從而SDC是二面角的平面角，由此能求出結(jié)果【詳解】解：取A

13、B中點(diǎn)D，連結(jié)SD、CD，三棱錐SABC是各棱長(zhǎng)均相等的正三棱錐，SDAB，CDAB，SDC是二面角的平面角，設(shè)棱長(zhǎng)SC2，則SDCD，cosSDC，SDCarccos故各棱長(zhǎng)均相等的正三棱錐任意兩個(gè)相鄰的面所成的二面角的大小為arccos故答案為：arccos【點(diǎn)睛】本題考查二面角的大小的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題15、.【解析】分析：畫出約束條件表示的可行域，利用微積分基本定理求出可行域的面積詳解：畫出約束條件表示的可行域，如圖中陰影部分，由題意不等式組，表示的平面圖形的面積為：故答案為點(diǎn)睛：用定積分求平面圖形的面

14、積的步驟：（1）根據(jù)已知條件，作出平面圖形的草圖；根據(jù)圖形特點(diǎn)，恰當(dāng)選取計(jì)算公式；（2）解方程組求出每?jī)蓷l曲線的交點(diǎn)，以確定積分的上、下限；（3）具體計(jì)算定積分，求出圖形的面積16、【解析】分別在、和三種情況下求解在區(qū)間內(nèi)的最大值，綜合即可得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，此時(shí)：當(dāng)時(shí)，此時(shí)：當(dāng)時(shí)，此時(shí)：綜上所述：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)最值的求解，關(guān)鍵是能夠通過(guò)函數(shù)每一段區(qū)間上的解析式分別求解出在每一段區(qū)間上的最值.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）由在拋物線上，求出拋物線方程；根據(jù)拋物線焦半徑公式可得，的長(zhǎng)度，從而證得依

15、次成等比數(shù)列；（2）將直線代入拋物線方程，消去，根據(jù)韋達(dá)定理求解出，從而可得中點(diǎn)坐標(biāo)和垂直平分線斜率，從而求得垂直平分線所在直線方程，代入求得結(jié)果.【詳解】（1）是拋物線上一點(diǎn) 根據(jù)題意可得：，依次成等比數(shù)列（2）由，消可得， 設(shè)的中點(diǎn)，線段的垂直平分線的斜率為故其直線方程為當(dāng)時(shí)，【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線綜合問(wèn)題，關(guān)鍵在于能夠通過(guò)直線與拋物線方程聯(lián)立，得到韋達(dá)定理的形式，從而準(zhǔn)確求解出斜率.18、（1）證明見(jiàn)解析（2）的最小值為【解析】試題分析：（1）求出雙曲線的漸近線方程，設(shè)點(diǎn)利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可得到結(jié)論，寫出距離的乘積，再利用點(diǎn)在雙曲線上得出定值；（2）用點(diǎn)點(diǎn)

16、距公式表示出|PA|，利用配方法，求得函數(shù)的最值，即可求得結(jié)論（1）設(shè)點(diǎn)，由題意知雙曲線的兩條漸近線方程分別為和，則點(diǎn)到兩條漸近線的距離分別為和，則，得證；（2）設(shè)點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，有最小值.19、（1）（；（2）.【解析】（1）以垂直的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)圓心坐標(biāo)為，由圓心到兩點(diǎn)的距離相等求出，即圓心坐標(biāo)，再求出半徑，可得圓方程，圓弧方程在圓方程中對(duì)變量加以限制即可。（2）設(shè)校址坐標(biāo)為，根據(jù)條件列出不等式，由函數(shù)單調(diào)性求最值解決恒成立問(wèn)題。【詳解】（1）以直線為軸，為軸，建立如圖所求的直角坐標(biāo)系，則，設(shè)圓心為，則，解得。即，圓半徑為，圓方程為，鐵路線所在圓弧的方程為（。（2）設(shè)校址為，是

17、鐵路上任一點(diǎn)，則對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，整理得對(duì)恒成立，記，在上是減函數(shù)，即，解得。即校址距點(diǎn)最短距離是?！军c(diǎn)睛】本題考查求點(diǎn)的軌跡方程、求圓的方程，考查不等式恒成立問(wèn)題。不等式恒成立可轉(zhuǎn)化為通過(guò)求函數(shù)的最值得以解決，屬于中檔題。20、 (1) (2)或.【解析】(1)由題意可得，切線的斜率為，據(jù)此可得切線方程為.(2)設(shè)與直線平行的切線的切點(diǎn)為，由導(dǎo)函數(shù)與切線的關(guān)系可得，則切線方程為或.【詳解】(1)，求導(dǎo)數(shù)得，切線的斜率為，所求切線方程為，即.(2)設(shè)與直線平行的切線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為.又所求切線與直線平行，解得，代入曲線方程得切點(diǎn)為或，所求切線方程為)或)，即或.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線方程及其應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的幾何意義等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.21、（1）（2）當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)最大值為17萬(wàn)元，當(dāng)時(shí)，最大利潤(rùn)萬(wàn)元【解析】（1）利潤(rùn)為單價(jià)乘以產(chǎn)品件數(shù)減去促銷費(fèi)用再減去投入成本；（2）可有對(duì)